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第二讲 因式分解


第二讲 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平 方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式: (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) 这就是说, 两个数的立方和(差), 等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x 3 (2) 0.125 ? 27b 3 3 分析: (1)中, 8 ? 2 ,(2)中 0.125 ? 0.5 , 27b ? (3b) . 3 3 3 解:(1) 8 ? x ? 2 ? x ? (2 ? x)(4 ? 2 x ? x ) 3 3 3 2 (2) 0.125 ? 27b ? 0.5 ? (3b) ? (0.5 ? 3b)[0.5 ? 0.5 ? 3b ? (3b) ] 3 3 3 2 2 ? (0.5 ? 3b)(0.25 ? 1.5b ? 9b2 ) 说明: (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时, 经常要逆用幂的运算法则, 如 8a b ? (2ab) , 3 3 3 这里逆用了法则 (ab) ? a b ; (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时, 一定要看准因式中各项的 n n n 符号. 【例 2】分解因式: (1) 3a b ? 81b 3 4 (2) a ? ab 7 6 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可 6 6 看着是 (a ) ? (b ) 或 (a ) ? (b ) . 3 2 3 2 2 3 2 3 1 解:(1) 3a3b ? 81b4 ? 3b(a3 ? 27b3 ) ? 3b(a ? 3b)(a2 ? 3ab ? 9b2 ) . (2) a7 ? ab6 ? a(a6 ? b6 ) ? a(a3 ? b3 )(a3 ? b3 ) ? a(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ab ? b2 ) 二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项 以上的多项式,如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先 将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如 何分组. 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式. 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然

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