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2012-2015试卷数学分析A


淮北师范大学
2012 年招收硕士研究生考题 (A)
招生专业:基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论 考试科目:数学分析
说明:答案必须写在答题纸上,写在本考题纸上的无效。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、计算极限(每小题 10 分,计 20 分)

1、 lim(
n ??

1 1 1 ? ??? ). 2 2 n (n ? 1) ( 2n ) 2

tan x ? sin x . x ?0 sin x 3 二、 (20 分)下列叙述是否正确,正确的请证明,错误的请举反例:

2、 lim

1、 若对充分小的 ? ? 0 , 函数 f ( x) 在闭区间 [a ? ? , b ? ? ] 上连续, 则 f ( x) 在 开区间 (a, b) 内连续. 2、若对充分小的 ? ? 0 ,函数 f ( x) 在闭区间 [a ? ? , b ? ? ] 上一致连续,则
f ( x) 在开区间 (a, b) 内一致连续.
0?a?b. 三、 (15 分) 设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可微, 证

明: ?? , ? ? (a, b) ,使得
f ?(? ) ? a?b f ?(? ) . 2?

四、 (20 分)判断下面命题是否正确,并说明你的理由:
2 1、若级数 ? an 收敛,则级数 ? a n 收敛. n ?1 n ?1 ? ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

第 1 页 共 7 页

2、若正项级数 ? an 收敛,则级数 ? a n a n ?1 也收敛.
n ?1 n ?1

?

?

五、 (15 分)设 A , B 为非空有上界数集, S ? A ? B .证明:

sup S ? max?sup A, sup B?.
六、 (20 分) 1、证明:若极限 lim f ( x 3 ) 存在,则 lim f ( x ) ? lim f ( x 3 ) .
x ?0
x?0

x ?0

2、 若极限 lim f ( x 2 ) 存在, 试问是否成立 lim f ( x ) ? lim f ( x 2 ) ?并说明理由.
x ?0
x?0

x ?0

七、多元函数问题(每小题 10 分,计 40 分) : 1、设 u ? f ( x ? y, y ? z, z ? x) ,假设 f 对其变量有直到二阶的连续偏导数,

? u ? 2u 求 2, . ?x ?y?z
2

2、计算: ? (2 y ? z)dx ? ( x ? z)dy ? ( y ? x)dz ,其中 L 为平面 x ? y ? z ? 1 与
L

各坐标平面的交线,取逆时针方向为正.
x2 y2 z2 ? ? ? 1 的体积. a2 b2 c2 ?? sin x d x ( p ? 0) 的收敛性,并指出是绝对收敛,还是 4、讨论无穷积分 ? 1 xp 条件收敛.

3、计算椭球体

淮北师范大学
2013 年硕士研究生入学考试试题(A)
科目名称:数学分析 适用专业:数学(一级学科)
说明:答案必须写在答题纸上,写在本考题纸上的无效。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------

科目代码:621

一、极限问题(每小题 10 分,计 20 分):

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

第 2 页 共 7 页

1、 lim(
n ??

1 n2 ? 1

?

1 n2 ? 2

???

1 n2 ? n

).

2、 lim tan x ? sin x .
x ?0

ln ?1 ? x3 ?

二、连续与一致连续问题(每小题 15 分,计 30 分): 1、证明 f ?x? ? sin x 在 ?0, ??? 上一致连续. 2、设 f ( x) 在 ?a, b?上连续,且 f ( x) ? 0, 又 F ? x ? ? ? f ? t ?dt ? ?
a x x

b

1 dt. f ?t ?

证明(1) F ?( x) ? 2; (2) F ? x ? ? 0 在 ?a, b?上有且只有一个实根. 三、微分与积分问题(每小题 10 分,计 30 分): 1、设 f ( x) 在 ?a, b? ?a ? 0? 上连续,在 ?a, b ? 内可导. 证明存在 ? ? ?a, b ? ,使得 bf ?b ? ? af ?a ? ? f ?? ? ? ?f ' ?? ? . 2、设在 ?? ?,??? 内 f ' ' ( x) ? 0 且 f (0) ? 0 .证明函数 F ( x ) ? f ? x ? 在区间 ?? ?,0?
x b?a

与 ?0,??? 内是严格单调增加的.
a ?b? 3、设 f ( x) 是在 ?a, b?上二次可微,且 f ? ? ? ?0. ? 2 ?

(1)求 f ( x) 在 x ? a ? b 处的二阶泰勒展开式;
2

(2)证明 ? f ?x ?dx ? M ?b ? a ? ,其中 M ? max f ' ' ?x ? . a a ? x ?b
b 3

24

四、级数问题(每小题 10 分,计 20 分): ? 1 n 1、讨论级数 ? ? ?1? sin 的收敛性. n n ?0

x n ?1 的收敛域,并求它的和函数 S ( x) . n ?1 n 五、多元函数问题(第 1、2 题 15 分,第 3、4 题 10 分,计 50 分):
2、求级数 ?
?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

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? x2 y ? 1、 证明函数 f ?x, y ? ? ? x 2 ? y 2 , ? 0, ?
可微.

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

在点 ?0,0? 处连续,但在此点不

sin x d x ( p ? 0) 的收敛性. xp 3、计算积分 ?? ? x ? y ? sgn ? x ? y ? dxdy ,其中 D ? ?? x, y ? : 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1?.

2、讨论无穷积分 ?
D

??

1

4、计算曲线积分 I ? ?

A(2, 0) 到 O(0, 0) 的上半圆周 x2 ? y2 ? 2x ? y ? 0? .

ABO

?e

x

sin y ? my ?dx ? ? e x cos y ? m ? dy, 其中 ABO 是从

2014
科目名称:

年硕士研究生入学考试试题(A)
数学分析
科目代码:

621

注:答案必须写在答题纸上,写在本试题纸上的无效! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、计算极限(每小题 10 分,计 30 分):
1 1 ?. 1. lim ? ? ? ? x ?1 x ? 1 ln x ? ?

2.利用定积分的定义计算 lim ? ?
n ? ??

n n n ? 2 ??? 2 2 2 n ?2 n ? n2 ? n ?1
2

?. ? ?
n ? ?? n

3.设 x1 ? 2, x2 ? 2 ? 2 , …, xn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ??? ? ???? ?
n个根号

? n ? 1, 2,?? ,求 lim x

.

二、设 f ( x) 在有限开区间 ?a, b ? 上连续. 1. 叙述函数 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续的定义.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

第 4 页 共 7 页

2.证明 f ( x) 在 ?a, b ? 上一致连续 ? 极限 lim f ( x) 和 lim f ( x) 均存在. (20 分)
x?a ? x ?b ?

三、设 f ( x) 在 ?a, b?上连续,且 f ( x) ? 0, 又 F ? x ? ? ? f ? t ?dt ? ?
a

x

x

b

1 dt. f ?t ?

证明 1. F ?( x) ? 2; 2. F ? x ? ? 0 在 ?a, b?上有且只有一个实根. (15 分) 四 、 设 f ( x) 在 ?a, b? 上 连 续 , 在 ?a, b ? 内 可 导 , f ?a ? ? f ?b? ? 0 . 对 任 意 的
? ? ?? ?,???

1. 求 F ?x? ? f ?x?e ??x 的导数; 2. 证明存在 ? ? ?a, b ? ,使得 f ' ?? ? ? ?f ?? ? .(15 分)

五、 (每小题 10 分,计 20 分) 1 1 1 1 1 1 1.判别级数 ? ? ? ? ? ? ? 的敛散性. 2 ?1 2 ?1 3 ?1 3 ?1 4 ?1 4 ?1 ? x 2 sin nx 2.利用 M 判别法证明函数项级数 ? 在 ? ??, ??? 上一致收敛. 2 2 n ?1 1 ? n x 六、考察函数 f ? x, y ? ?
xy 在点 ?0,0? 处的可微性. (15 分)

七、设函数 ? ? z ? 和? ? z ? 均具有二阶连续导数,并设

u ? x? ? x ? y ? ? y? ? x ? y ? ,证明

? 2u ? 2 u ? 2u ? 2 ? ? 0 .(10 分) ?x 2 ?x?y ?y 2

八、计算椭球体

x2 y2 z2 ? ? ? 1 的体积. (15 分) a2 b2 c2

2 2 九、利用 Gauss 公式计算 I ? ? ?? y( x ? z )dydz ? x dzdx ? ( y ? xz )dxdy, s

其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧为正. (10 分)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

第 5 页 共 7 页

2015
科目名称:

年硕士研究生入学考试试题(A)
数学分析
科目代码:

621

注:答案必须写在答题纸上,写在本试题纸上的无效! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、 (每小题 10 分,计 30 分)计算极限: 1. lim (
n ???

1 1 1 ? ?? ? ). 2 2 n (n ? 1) ( 2n) 2
x?

1 1? 2. lim? ? ?. ?
x ?0

? sin x

3.设 x1 ? 10, xn?1 ? 6 ? xn ? n ? 1, 2,?? , 证明数列 ?xn ? 收敛,并求其极限.

二、 (20 分)设函数 f ( x) 在有限区间 (a, b) 上连续. 证明 f ( x) 在 ?a, b ? 上一致连续 ? 极限 lim f ( x) 和 lim f ( x) 均存在.
x?a ? x ?b ?

三、 (15 分)设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,在 (a, b) 上可导, 0 ? a ? b . 证明 ?? , ? ? (a, b) ,使得 f ?(? ) ?
a?b f ?(? ) . 2?

四、(10 分)证明 I ? ? 2 0

?

? 1 1 ? dx ? ? 2 dx ? . 0 1 ? cot x 1 ? tan x 4

五、 (每小题 10 分,计 20 分)
2 1. 设级数 ? a n 收敛,证明 ? n ?1 ?

an (an ? 0) 也收敛. n ?1 n

?

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淮北师范大学 2012 年硕士研究生招生考试考题纸

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2. 求级数 ?

xn 的收敛域,并求它的和函数 S ( x) . n ?0 n ? 1

??

? xy , x 2 ? y 2 ? 0, ? 2 2 六、(15 分)讨论函数 f ( x, y ) ? ? x ? y 在原点 (0,0) 处的 ? 2 2 x ?y ?0 ?0,

连续性和可微性.
?z ? 2 z , . ? x ?x ? y

七、(15 分)设方程 z 3 ? 3xyz ? a 3 确定隐函数 z ? z ( x, y ) ,求

八、(15 分)求 ?? e
D

x? y x? y

dxdy,其中 D 是由 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 所围区域.

九、 (10 分)计算: ? ( y ? z)dx ? ( z ? x)dy ? (2 y ? x)dz ,其中 L 为平面
x ? y ? z ? 1 与各坐标平面的交线,取逆时针方向为正.
L

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