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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结


圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 当常数等于

F1 F2



F1 F2

时, 轨迹是线段 F 1 F 2 , 当常数小于

F1 F2

时, 无轨迹; 双曲线中, 与两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ,

且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条 射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
2 2 2 2

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时

x2 y2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ( ) ,焦点在 轴上时 y a2 b2 a2 b2

=1( a

2 2 ? b ? 0) 。方程 Ax ? By ? C

表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。 若 x, y ? R ,且 3x
2

? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 )

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x2 y2 ? a2 b2

=1,焦点在

y 轴上:

y2 x2 ? a2 b2

=1( a

2 2 ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示双曲线

的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e

? 2 的双曲线

C 过点 P(4,?

10) ,则 C 的方程为_______(答:

x ? y ? 6)
2 2

(3)抛物线:开口向右时

y 2 ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上时 x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时

x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x 如已知方程
2

,

y

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

3 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2 m ?1 2 ? m
2

(2)双曲线:由 x

,

y

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
2

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a 4.圆锥曲线的几何性质:

? b2 ? c 2 ,在双曲线中, c 最大, c2 ? a 2 ? b2 。

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两个焦点 ( ?c, 0) ;③对称性: a2 b2 两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线
(1)椭圆(以

a2 x?? c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a 25 x2 y2 10 如(1)若椭圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5
; ⑤离心率: e

?

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2
2 2

2)

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两个焦点 ( ?c, 0) ;③对称 2 a b 性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 ( ? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的
(2)双曲线(以

c a2 ; ⑤离心率:e ? ,双曲线 ? e ? 1 , a c b 等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a
长相等时,称为等轴双曲线, 其方程可设为 x 2

? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ?

1

p :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) 2 c p 的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物 a 2 线? e ?1。
(3)抛物线(以 如设 a

? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

2 2 x0 y0 x2 y2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1; ( )的关系 : ( 1 )点 在椭圆外 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭 P ( x , y ) ? 0 0 a 2 b2 a2 b2 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 圆上 ? 2 ? 2 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b

5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的 ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物 线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是
渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? 直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (1)相交: ?

? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。
(2)相切: ? 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与

x2 y2 双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交, 也只有一个交点; (2 )过双曲线 2 ? 2 =1 外一点 a b P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原 点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: 时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 S

S ? b 2 tan

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点

?

b2 t an

?
2

。 如

(1)短轴长为

5,

练习:点 P 是双曲线上 x

2

?

y ? 1 上一点, F1 , F2 为双曲线的两个焦点,且 PF 1 PF 2 12

2

=24,求 ?PF 1 F2 的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的 交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长 线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 9、弦长公式: 若直线

y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 B, 且 x1 , x2 分别为 A、 B 的横坐标, 则 AB



1 ? k 2 x1 ? x2


, 若

y1 , y2
。特别

分别为 A、B 的纵坐标,则

AB



1?

1 y1 ? y 2 k2

,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则

AB

1 ? k 2 y1 ? y2

地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 a b a y0
弦所在直线的方程:
2 2



垂直平分线的方程: ;在抛物线

b 2 x0 x y 在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 a b a y0

y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点
2

的弦所在直线的斜率 k= 提醒:因为 ?

p y0



? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !

11.了解下列结论

x y x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 ? ? 0 ; 2 a b a b b x2 y2 x2 y2 (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 2 a a b a b
(1)双曲线 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 焦准距为
2

? ny 2 ? 1 ;
b2 c
,抛物线的通径为 2 p ,

p;
2

2b 2 a

,焦准距(焦点到相应准线的距离)为

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

p2 , y1 y2 ? ? p 2 (6 ) 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB,A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则① | AB |? x1 ? x2 ? p ; ② x1 x2 ? 4 2 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4

2 )与到准线的距离和最小,则点

P 的坐标为______________ 。

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和

PH ? PF

,因而易发现,当 A、

A Q H P F B

P、F 三点共线时,

最小。 解: (1) (2,

1 2) (2 ) ( ,1 ) 4

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C 的左、右焦点分别为 C 的左、右顶点,而 C 的左、右顶点分别是 C 的左、右焦点。 1、已知椭圆 C 的方程为 4
1 2 1 2 1

(1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y

? kx ? 2 与椭圆 C 及双曲线 C 恒有两个不同的交点,且 l 与 C 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为
1 2 2

原点),求 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为

x2 y2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 ,则 a ? 4 ? 1 ? 3, 再由a ? b ? c 得b ? 1. 2 a b

x2 x2 2 ? y ? 1. (II)将 y ? kx ? 2代入 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 故 C 的方程为 3 4
2

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

1 ?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即 k 2 ? . 4



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 由直线 3

l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A , B 得

3

2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 2 即 k ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

6 2k ?9 , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? 3k 2 ? 7 ? 2 . 3k ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1
1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15



由①、②、③得

故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) (? ,? ) ( , ) ( ,1) 15 3 2 2 3 15

2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA = (-x,-1-y) , 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= 方程为

MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知 ( MA + MB ) ? AB =0,

1 4

x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y=

2

1 4

x -2 上一点,因为 y =

2

'

1 2

x,所以 l 的斜率为

1 2

x 0 因此直线 l 的

y ? y0 ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2

则 O 点到 l 的距离 d

?

2 | 2 y0 ? x0 |

1 2 x0 ? 4 1 2 1 4 2 2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 2 2 4 x0 ?4 x0 ?4 2 x0 ?4

当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

2

3 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x a 2 b2

2

+1 相切,则该双曲线的离心率等于(

)

x2 y 2 4、过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F 1PF 2 ? 60 a b

,则椭圆的离心率为

4

5 、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上 . 则 2 b2
)0

PF1 · PF2

=(

6、已知直线

y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A、 B 两点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? (
: x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(

)

7、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2



8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程 为_____________.

9、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2

; ?F 1PF 2 的大小为

.

10、 过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 P( x0 , y0 )

的直线交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 的长为 8, 则

p ? ________________
y0 ? x02 ? 1
解 得 :

【 解 析 】 设 切 点

, 则 切 线 的 斜 率 为

y ' |x ? x0 ? 2 x0

. 由 题 意 有

y0 ? 2 x0 x0



b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 a a
b ? b x2 y2 ? y? x 双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 a a b 2 ? ? y ? x ?1

2

y,得 x

?

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 ? 0 ,所 a a

b c a 2 ? b2 b ? 2,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 a a a a
, 且 P( 3,1) y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) .不妨去

由渐近线方程为



P( 3,?1)

P( 3,1)

,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1)



PF2 ? (2 ? 3,?1) .


PF1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?

【解析】设抛物线 C :

y 2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线
P

y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点

? ?2,0?

. 如图过

A、 B 分

别作

AM ? l



5

M , BN ? l 于 N
? | OB |?| BF |

, 由 | FA |? 2 | FB | ,则 |

AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |?

1 | AF | , 2

点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , ? 1 ? (?2) 3

故选 D

2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x

6


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