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2.2.1对数及对数运算(3课时)


棠中优教网校教学设计方案
课 题 课 时 课 程 标 准
2.2.1 对数与对数运算 3 课时

授课时间 指导团队

授课人 审核专家

张勇

理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通 过阅读材料看,了解对数的发明历史以及其对简化运算的

作用.

结构化预习课(课前) 问题 预习提纲
1、阅读教材 62 页至 68 页 2、思考:对数式如何定义的?为什么要引入对数? 3、思考:对数有什么运算性质?你能证明这些性质吗? 4、完成教材 68 页练习 5、你能提出什么问题?

师生活动
教师展示预习提纲 ,提出 预习要求 , 学生阅读教材 , 部 分回答并生成问题.由小组学 科长收集问题并交到课代表 , 再由课代表在当天转交给教 师.

教师整合问题

问题解决课(课中)
第一课时

课 标 分 解

1、理解对数的定义 2、能将指数式与对数式进行互化 3、能求一些特殊的对数值

问题
问题的提出: 1、截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿.如果今后能将人口年 平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为 多少(精确到亿)?到哪一年我国的人口数将达到 18 亿?

师生活动

创 境 设 问

翻译成数学问题:已知 13? (1 ? 1%) ? 18 ,求 x=?
x

2、假设 2006 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年的平均 增长率为 8% , 那么经过多少年我国的国民生产总值是 2006 年 的 2 倍? 翻译:已知 (1 ? 8%) ? 2 ,求 x=?
x

教师提出问题,学生交流、讨 论, 教师引导学生概括问题的 功性:已知底数和幂的值,求 指数,为因此对数定义作铺 垫.

3、上面的数学问题可以归纳为一个什么数学问题? 已知底数和幂的值,求指数

互 动 解 疑

已知底数和幂的值,求指数的问题在某些情况下是很容易的,
x x 如已知 2 ? 4 ,则 x ? 2 ;已知 3 ?

1 ,则 x ? ?2 ,但在多 9

数情况下 x 的值是难以求出的,如前面的问题 1,2.但我们知道, 教师概括对数定义 这样的 x 确实是存在且唯一的,那么怎么将 x 表示出来呢?我

们引入一个新的记号: 一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做 真数. 问题 1 中 x ? log 1.01

18 ,问题 2 中 x ? log1.08 2 13

指数式与对数式的关系: a x ? N ? x ? loga N 式子 名称

a
ax ? N
底数 底数 指数

x
幂值 对数

N
教师引导学生思考两式的联 系,完成下表

?
真数 教师引导学生尝试用对数表 示 2 x ? ?3,2 x ? 0 , 使学生从

x ? loga N
利用这个关系式,思考:每一个数都有对数值吗?

中感受负数与 0 没有对数的 理由 教师引导学生根据指数式与 结论: 负数和 0 没有对数;loga 1 ? 0, loga a ? 1(a ? 0, a ? 1) , 对数式的关系,得出结论

loga 1 ? ? loga a ? ? a loga N ? ?

a loga N ? N .
两个特殊对数:以 10 为底的对数称为常用对数,将 log10 N 的 对数简记为 lg N ;以 e ? 2.71828 ? 为底的对数称为自然对 数,并将 loge N 简记为 ln N . 例 1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式

(1)54 ? 625; (2) 2 ?6 ?

1 1 m ; (3)( ) ? 5.73 64 3 (4) log 1 16 ? ?4 ; (5) lg 0.01 ? ?2 ; (6) ln 10 ? 2.303
2

教师引导学生阅读课本例 1, 并解决课本练习 1,2,.教师注 意引导学生思考指数式与对 数式相互转化的依据.

练习:教材 64 页练习 1,2 例 2 求下列各式中 x 的值

2 (1) log 64 x ? ? ; (2) logx 8 ? 6 ; 3

(3) lg100 ? x ; (4) ? ln e 2 ? x
练习:教材 64 页练习 3,4

教师引导学生独立解答例 2, 并组织学生展示自己的解答 过程, 要求学生说明解答的依 据 学生独立完成练习

拓 展 延 伸

课堂小结: 1、为什么要引入对数?指数与对数有什么关系? 2、你已经知道对数的哪些性质?

教师组织学生讨论、交流,引 导学生自己归纳总结所学知 识.

第二课时

课 标 分 解

1、掌握对数运算的三个计算公式 2、能利用对数运算法则求对数的值

问题 创 境 设 问

师生活动

问题的提出:指数和对数都是一种运算,而且它们互为逆运算, 通过计算特殊值, 让学生探究 指数运算有一系列性质,那么对数运算有哪些性质呢? 对数性质,引导学生得出 探究一:求下列三个对数的值: log2 4, log2 8, log2 32 .你能发 现这三个对数之间有什么内在联系? 易发现: log2 4 ? log2 8 ? log2 32 ,而 4 ? 8 ? 32 ,猜想:

loga (MN ) ? loga M ? loga N
, 并让学生感受从特殊导一般 地研究方式

loga (MN ) ? loga M ? loga N ,如何证明该式?
变形: log2 32 ? log2 8 ? log2 4 猜想: log a M ? log a N ? log a 引申:

M ,如何证明该式? N

loga M 1 ? loga M 2 ? ? ? loga M n ? loga (M 1 M 2 ? M m )
学生小组交流、讨论,由特殊 值得计算猜想一般公式, 并尝 试证明,推举代表展示,教师 点评

互 动 解 疑

探究二: log2 3 与 log2 81有什么关系?你能由这个关系得到什 么猜想? 猜想: loga M n ? n loga M ,如何证明? 注 意 : log2 x ? 2 log2 x 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 吗 ?
2

log2 [(?3) ? (?5)] ? log2 (?3) ? log2 (?5) 成立吗?
上面的每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数符 合都有意义时,等式才成立. 指数与对数对比表: 式子 名称 师生共同归纳指数对对数的 特征及运算性质, 从对比中加 深理解.

ab ? N
a——幂的底数 b——幂的指数 N——幂值

b ? loga N
a——对数的底数 b——对数值 N——真数

a m ? a n ? a m?n
运算性质

loga M ? loga N ? loga MN loga M ? loga N ? loga loga M
p

am ? a m?n n a ( a m ) n ? a mn

M N

? p loga M

例 1 用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

(1) log a

xy ; z

(2) loga

x2 y
3

学生代表回答, 其他同学及教 师补充,纠正.

z

例 2 求下列各式的值:

1 (1) log2 (47 ? 25 ) ; (2) lg 5 100 ; (3) log 3 18 ? log 3 4 ; 2

(4)31?2 log3 5 ; (5)

2 log5 2 ? log5 3 1 1 log5 10 ? log5 0.36 ? log5 8 2 3
学生独立完成,教师巡视,个 别辅导.

练习:教材 68 页练习 1,2,3.

拓 展 延 伸

课堂小结: 1、对数运算三法则 2、对数问题的处理往往可从指数问题的处理中寻找启发 3、对数运算法则可以将大数据化小,大大方便了对数式的化简 和求值

第三课时

课 标 分 解

1、能根据换底公式将已知对数换成其它对数 2、掌握对数的倒数公式 3、能用对数解决简单的实际问题

问题
复习旧知: 对数运算的三个基本结论: loga 1 ? 0, loga a ? 1, a
loga M

师生活动

?M

loga M ? loga N ? loga MN
创 境 设 问
三个运算法则: loga M ? loga N ? loga

M N
师生共同回顾旧知, 由对数的 运算法则引导学生思考对数 是否可以进行乘除, 同时回顾 第一课时提出的问题, 为换底 公式作铺垫

loga M

p

? p loga M

问题的提出: 1、同底数的两个对数可以进行加、减,可以进行乘、除吗? 2、由 1.01 ?
x

18 18 ,可得 x ? log 1.01 ,但这只是一种表示, 13 13

如何求得 x 的值?

教师:大家知道吗,300 年前的数学家花费了无数的心血得到 了一个常用对数表,每一个对数值都可以通过这个表查出,那 么为什么只编写以 10 为底的对数表? 师生共同查一些常用对数值, 如 lg 2, lg 3.15, lg 22.8 等,通 过参与调动学习并引导学生 思考.

互 动 解 疑
那么,如果我们想知道 log2 3 的值,应怎么查表呢? 探究一:你能用 lg 2 和 lg 3 表示 log2 3 吗? 一般地, loga b ? 学生独立完成证明, 教师点评

logc b ,我们把这个公式称为换底公式. logc a

问题:怎样理解换底公式的作用? 从左往右看,通过换底公式可以通过引入一个新的底数,将对 数化为其他对数值;从右往左看,是同底数对数的除法。 解决之前的问题:通过查表求出 x ? log 1.01 探究二:换底公式的变形:

18 ? 32.8837 . 13
学生交流、讨论,并推举代表 进行展示,其他同学补充.

loga b 与 logb a 有什么关系? loga n b 与 loga b 有什么关系?
loga b ?
拓 展 延 伸

1 1 m , loga n b ? loga b, loga n b m ? loga b logb a n n

例 1 求值:

(1) log8 9 ? log27 32 ; (2) log2 3 ? log3 4 ? ?? log63 64 ; (3)(log4 3 ? log8 3) ? (log3 2 ? log9 2)
例 2 设 3 ? 4 ? 6 ,求证:
a b c

学生独立完成,教师巡视,个 别辅导

1 1 1 ? ? c a 2b

例 3 已知 log2 3 ? a, log3 7 ? b ,用 a , b 表示 log14 56 课堂小结:换底公式及其变形

学生先独立思考, 然后小组交 流、讨论,合作完成,再由教 师点评.

训练设计(课后)
第一课时 1、把下列指数式写成对数式

x (1) 3 ? 1 ; (2) 4 ?
x

1 x x x ; (3) 4 ? 2 ; (4)2 x ? 0.5 ; (5) 10 ? 25 ; (6) 5 ? 6 6 1 ; (5)x ? lg 0.3 ; (6)x ? ln 3 3 1 1 log 3 ; (5) ( ) 2 4 2

2、把下列对数式写成指数式 (1)x ? log5 27 ; (2)x ? log8 7 ; (3)x ? log4 3 ; (4)x ? log 7 3、求下列各式的值 (1) log9 27 ; (2) log4 3 81; (3) log ( 2? 4、求下列式中 x 的值 (1) log 3 x ? ?
3)

(2 ? 3 ) ; (4) log 8

1 2 ; (2) logx 5 ? 2 ; (3) log(3x?1) x 2 ? 0 ; (4) log ( 2 x 2 ?1) (3 x ? 2 x ? 1) ? 1 ; 2

(5) log2 [log3 (log2 x)] ? 0 第二课时 1、求下列式中的 x 的值 (1) lg x ? lg a ? lg b ; (2) loga x ? loga m ? loga n ; (3) lg x ? 3 lg n ? lg m ; (4) log a x ? 2、若 lg x ? lg a ? 3 lg b ? 5 lg c ,则 x ? A、 a ? 3b ? 5c

1 log a b ? log a c 2

3ab B、 5c

ab3 C、 5 c

D、 a ? b ? c
3

5

3、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a 2 ) ? f (b 2 ) ? _______ 4、已知 loga x ? loga c ? b ,则 x ? ______ 5、计算: (1) lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ; (2) (1 ? log6 3) 2 ? log6 2 ? log6 18
2

6、设 lg a ? lg b ? 2 lg(a ? 2b) ,求 log 4 第三课时

a 的值 b

1、 (1) 利用换底公式求值:log2 25? log3 4 ? log5 9 ; (2) 利用换底公式证明 loga b ? logb c ? logc a ? 1 2、已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,用 a , b 表示下列各式的值: (1) lg 6 ; (2) log3 4 ; (3) log2 12 ; (4) lg 3、若 x log3 4 ? 1 ,求 4 ? 4 的值
x ?x

3 ; (5) log12 5 2

4、设 3 ? 4 ? m ,若
a b

2 1 ? ? 1 ,则 m ? _______ a b

5、若正整数 m 满足 10

m?1

? 2512 ? 10m ,则 m ? ______ .(lg 2 ? 0.3010 )
d

6、已知 b ? 0, log5 b ? a lg b ? c,5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是( A. d ? ac B. a ? cd C. c ? ad D. d ? a ? c



教学反思


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