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椭圆,双曲线,抛物线知识点


左老师备战考高基础复习资料

椭圆 (焦点在 x 轴) 标准 方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

(焦点在 y 轴)
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间的 距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫焦点,两定点间距离焦距。

?M MF

1

? MF2 ? 2a? ?2a ? F1F2 ?

y
M

y
F2
M

F1

O

F2

x

O

x

F1

定 义

第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小 于 1 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的 准线。
y y
M M

F2

M

F1

F2

x

F1

M

x

范 围 顶点坐 标 对 称 轴 对称中 心 焦点坐 标

x ?a

y ?b

x ?b

y ?a

(? a,0) (0, ?b)

(0,? a) (?b, 0)

x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b
原点 O(0, 0)

F1 (c,0)

F2 (?c, 0)
焦点在长轴上, c ? a2 ? b2 ;
e? c ( 0 ? e ? 1) a

F1 (0, c)

F2 (0, ?c)

焦距: F1F2 ? 2c
c2 a2 ? b2 ? , a2 a

离 心 率 准线方 程
a2 x?? c

, e2 ?

e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。
a2 y?? c
1

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准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离:

2a 2 c

顶点到 准线的 距离

a2 ?a 顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c

顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为

a2 ?a c

焦点到 准线的 距离

焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为

a2 ?c c a2 ?c c

焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为

椭圆上 到焦点 的最大 (小)距 离 椭圆的 参数方 程 椭圆上 的点到 给定直 线的距 离

最大距离为: a ? c 最小距离为: a ? c 相关应用题:远日距离 a ? c 近日距离 a ? c

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? y ? b sin ? ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ? y ? a sin ? ?

? x ? a cos ? 利用参数方程简便:椭圆 ? ( ? 为参数)上一点到直线 Ax ? By ? C ? 0 的 ? y ? b sin ?
距离为: d ?
|Aa cos ? ? Bb sin ? ? C| A2 ? B 2

椭圆

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a2 b2

直线和 椭圆的 位置

? x2 y 2 ?1 ? ? 利用 ? a 2 b2 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y ? kx ? b ?
相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 通径: AB ? y2 ? y1

2

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过椭圆 上一点 的切线

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 利用导数 a2 b
双曲线 标准方程(焦点在 x 轴)

y0 y x0 x ? 2 ? 1 利用导数 a2 b

标准方程(焦点在 y 轴)
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2

2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1F2 )的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。

?M MF ? MF
1

2

? 2a? ?2a ? F1F2 ?
y

P

y
x

y

y

x
P

F2
x

F1
定义

F2 F1

x

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。 P
y y

P
x

P

x
P

y F2
y x

F1

F2 F1

x

范围 对称轴

x ? a , y?R

y ?a,x?R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b

对 称 中 原点 O(0, 0) 心 焦 点 坐 标

F1 (?c,0)

F2 (c,0)

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a2 ? b2 ;焦距: F1F2 ? 2c (0, ? a ,) (0, a )

顶 点 坐 ( ? a ,0) ( a ,0) 标 c e ? (e ? 1) 离心率 a 准 线 方 a2 x?? c 程

y??

a2 c

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准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c
a 顶 点 到 顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 a ? c 准 线 的 2 顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a ? a 距离 c
a 焦 点 到 焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c ? c 准 线 的 2 焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a ? c 距离 c
2

2

2

渐近线 方程 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方程

y??

b 虚 x ( ) a 实

x??

b y a

(虚)


x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? k(k ? 0) a2 b2

双曲线

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a2 b2

? x2 y2 ?1 ? ? 转化为一元二次方程用判别式确定。 直 线 和 利用 ? a 2 b 2 ? y ? kx ? b 双 曲 线 ? 的位置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 通径: AB ? y2 ? y1 过 双 曲 线 上 一 点 的 切 线

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 或利用导数 a2 b

y0 y x0 x ? 2 ? 1 或利用导数 a2 b

抛物线
y 2 ? 2 px ( p ? 0)
抛 物 线
l y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y l

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l

O

F

x

F

O

x O

F x l

O F

x

定义

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, F 叫 点 做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}
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范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (
p ,0) 2

关于 y 轴对称
p p ,0) (0, ) 2 2 焦点在对称轴上

(?

(0, ?

p ) 2

O(0, 0)

e =1
x?? p 2 x? p 2 y?? p 2 y? p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2
p

设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 ? 2 px( p >0)交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

y
焦点弦的 几条性质

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

则: (1) x1 x2 =

o

p2 4

(2) y1 y2 ? ? p 2 (3)通径长: 2 p (4)焦点弦长 AB ? x1 ? x2 ? p

直线与抛 物线的位 置 切线 方程

抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 y ? kx ? b 的位置关系:
? y ? kx ? b 利用 ? 2 转化为一元二次方程用判别式确定。 y ? 2 px ?
y0 y ? p( x ? x0 ) y0 y ? ? p( x ? x0 ) x0 x ? p( y ? y0 ) x0 x ? ? p( y ? y0 )

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