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广东省汕头市潮南区东山中学2013届高三上学期第四次月考数学(理)试题


潮南区东山中学高三第四次月考试卷
数学(理科)
参考公式: V锥体 ?

1 S · h 3 底

S球面积 ? 4? R2

V球体 = 4 ? R3 3

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项 符合题目要求.)

1. 已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 ( 2.集合 M ? ?4,5, ?3m?, N ? ??9, ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为( 3? A. 3 或 ?1 B. 3 C. 3 或 ?3 D. ?1 ) 3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

5 C. ?2 D. 3 3 ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? cos a, ?2 ? , b ? ? sin a,1? ,且 a // b ,则 tan(a ? )等于( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D. ? 3 3
A.1 B.
a b 5. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(





A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D. 必要不充分条件 6.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人 游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共 有( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 7. 已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? 周期为 ? ; ②函数 f (x) 是偶函数;③函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R) ,给出下面四个命题:①函数 f (x) 的最小正 2 ?

? 对称;④函数 f (x) 在区间 4

? ?? ?0, 2 ? 上是增函数,其中正确命题的个数是 ? ?
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

x 2 8.已知函数 f ( x) ? e ?1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为





A. 2 ? 2, 2 ? 2

?

?

B. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ?1,3?

D. ?1,3?

二.填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分。每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为 .
开始

2? ? 10. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

3


输入x 是 f(x)>g(x) 否

11. 已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,E 、F 分别为 BB1 、 1

CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦
值为________. 12.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x) ? 2x , g( x) ? x2 则

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

输出h(x) 结束

h(3) 的值等于

.

? x ? y ? 2, ? 13. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ? 5, 3? 处取得最 ?0 ? y ? 3, ?
小值, 则实数 a 的取值范围为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ? 与曲线 ?

?
4

( ? ? R ) ,它
B

C

? x ? 1 ? 2cos a ( a 为参数) 相交于两点 A 和 B , AB =_______. 则 ? y ? 2 ? 2sin a
A

O

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线

D

ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离
为 .

三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分) 已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ?

??

?

?

?? ? 3, ?1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

(1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若函数 f ( x) ? A sin(2x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? p ? ? )在 x ? 大值 为 a3,求函数 f(x)的解析式。

13 。 3

?
6

处取得最大值,且最

18. (本题满分 14 分) 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时 允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会, 若中奖, 则每次中奖都可获得奖 金 100 元, 假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的, 试分析此种有奖促销方案对 商场是否有利。

19.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中 1
A1 A

点, AA ? AB ? 2 . 1 (1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 , 1 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C B1 D

B

20. (本小题满分 14 分) 数).

设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常

(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nm

?

m n

? ? ? mn ?

n m



东山中学高三第四次月考答题卡—理科数学
一.选择题
1 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D]

二.填空题
9. 12.
号的横线上。 14 题

10.
13. 15 题

11.

14、15 题为选做题,考生只能选做一题,请先用 2B 铅笔填涂选做的试题号对应的信息点,再将答案填写在对应题

14.

15.

三.解答题
16.(本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)
A1 A

D B1

B

C1

C

20 .(本小题满分 14 分)

21. (本小题满分 14 分)

东山中学高三第四次月考
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 2 3 4 5 6 B 7 C 8

B

A

C

B

D

A

1. 【解析】1.提示:因为 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第 二象限. 故选 B . 2. 【解析】由 M ? N ? ? 可知 ?3m ? ?9 或 ?3m ? 3 ,故选 A .

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d , a1 ? 4 ,? d ? 2 .故选 C 2 ? ? 1 ? 4. 【解析】由 a // b ,得 cos ? ? 2sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ? ,所以 tan(? ? ) ? ?3 , 2 4
3. 【解析】 s3 ? 6 ? 故选 B 5. 【解析】注意 a , b 的正负号.故选 D . 8. 【解析】由题可知 f ( x) ? e x ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 ,若有

1 解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。 f ( a) ? g ( b), g (b) ? (?1,1] , ?b2 ? 4b ?3 ? ? , 则 即 故选 A .
二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只选做一 题. 9. 0, 6 ?

?

?

10. 12 15.

11.

3 5

12. 9

13. ?1, ? ? ?

14.

14

5

9. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

? x?0 ? x?0 x?0 ? ? ? ?? ?0? x? 6 。 1 ? 1?? x x ?1 ? 2 log 6 ? 0 ?log 6 ? ?x ? 62 ? 6 ? 2 ?
2 3 2 2 2 3? 2 (? ) 2 。 x x 11. 【解析】连接 DF , D1 F ,则 DF // AE ,所以 DF 与 D1F 所成的角即为异面直线所成的 5?5?4 3 ? . 角,设边长为 2 ,则 DF ? D1F ? 5 ,在三角形 DD1F 中 cos D1 FD ? 2? 5 ? 5 5
10. 【解析】 ( x ? ) 的展开式中的常数项即 T2?1 ? C3 ( x )
2

?2 x , 2 x ? x 2 2 12. 【解析】 h( x) ? ? 2 x ,由数形结合可知,当 2 ? x ? 4 时, h ? x ? ? x 所以有 2 ?x , 2 ? x
h(3) ? 9

13. 【解析】目标函数 z ? y ? ax 可变为直线 y ? ax ? z ,斜率为 a ,仅在点 ?5, 3? 处取得 最小值,只须 a ? 1
2 14. 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? 4 2

? AB ? 2 22 ? (

1? 2 1?1

) 2 ? 14

15. 【解析】先用切割线定理求出 BC 的长度,然后距离 d ?

1 r 2 ? ( BC )2 ? 5 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1 ???2 分 n

?? ?

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1 , sin( A ? ) ? 6 6 2
由 A 为锐角 , 得 A ?

???4 分

?

6

? (? 1 2

? ?

, ) , A? ? , A ? 6 3 6 6 3
???7 分
2

?

?

?

???6 分

(2)由(1)可得 cos A ?

所以 f ( x) ? cos 2x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x 分 因为 x ? R ,则 sin x ?[?1,1] ,

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2

???9

1 3 时, f ( x) 有最大值 . 当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 ?3 , ???11 分 2 2 3 故所求函数 f ( x) 的值域是 [ ?3, ] . ???12 分 2
当 sin x ?

17. (本小题满分 12 分)

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 解:I)由 q ? 3, S3 ? 3 1? 3 3
解得 a1 ? .

1 3

所以 an ?

1 n ?1 ? 3 ? 3n ? 2. 3
n ?2

(II)由(I)可知 an ? 3

, 所以a3 ? 3.

因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。 因为当 x ?

?
6

时 f ( x ) 取得最大值,所以 sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1.

又 0 ? ? ? ? , 故? ?

?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 3sin(2 x ?

?
6

)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有
3 3 C9 种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C5 种,??2 分
3 C5 5 37 ??4 分 ? 1? ? 3 C9 42 42

所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ?

(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ? ,其所有可能的取值为 0,100, 200,300。 (单元:元) ??6 分

? ? 0 表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P (? ? 0) ? ( )3 ? ,??7 分
同理可得 P(? ? 100) ? C3 ( ) ? ( ) ?
1 2

1 2

1 8

1 2

1 2

3 1 1 3 , P(? ? 200) ? C32 ( ) 2 ? ( ) ? 8 2 2 8,
??9 分

1 1 P(? ? 300) ? ( )3 ? 2 8
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

1 3 3 1 E (? ) ? 0 ? ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 150 ? 180 ????11 分 8 8 8 8
故促销方案对商场有利。 ????12 分

19. (本小题满分 14 分) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为 ?AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ?? 2 分
D A1 A

E

∵ OD ? 平面BC1D, AB1 ? 平面BC1D , ∴ AB1 // 平面BC1D . ?? 4 分
B1

B

G
O C1 C

F

(2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 , ∵ AA ? 平面ABC, AA ? 平面AAC1C , 1 1 1 ∴ 平面ABC ? 平面AAC1C, 且平面ABC ? 平面AAC1C ? AC 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面AAC1C , 1 设 BC ? a , 在 Rt ?ABC 中, AC ? ??6 分

AB2 ? BC2 ? 4 ? a2 , BE ?

AB?BC 2a , ? AC 4 ? a2

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ( A1C1 ? AD)?AA1 ?BE 3 2
?? 8 分 ?? 9 分

1 3 2a ? ? 4 ? a2 ? 2 ? ?a。 6 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法) 解法 1:∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B ,

BC ? 平面BB1C1C , BB1 ? 平面BB1C1C ,∴ AB ? 平面BB1C1C .?? 10 分
取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ? ∴ DF ? 平面BB1C1C . 作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG ,由于 DF ? BC1 ,且 DF ? FG ? F , ∴ BC1 ? 平面DFG . 又∵ DG ? 平面DFG ,∴ BC1 ? DG . ∴ ?DGF为二面角C ? BC1 ? D的平面角. ?? 12 分

1 AB ? 1 . 2



3 ?2 BF ? 1 2 CC 3 13 GF BF ? ? ? ,得 GF ? , Rt ?BGF ? Rt ?BCC1 ,得 BC1 13 CC1 BC1 13

在 Rt ?DFG 中, tan ?DGF ?

DF 13 ? . GF 3
13 . 3
?? 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

解 法 2: ∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面BB1C1C ,

BB1 ? 平 面

BB1C1C ,
z

∴ AB ? 平面BB1C1C .

?? 10 分

A1

A

以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1B, B1 A1 所在直线为 x 轴,

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .
则 B(0, 2, 0) , C1 (3,0,0) , A(0, 2, 2) , D ( , 2,1) . ∴ BC1 ? (3, ?2,0) , BD ? ( , 0,1)

D

???? ?

??? ?

3 2

B1 B y

? 设平面 BC1D 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
?3 x ? 2 y ? 0 ? ??? ? ? ???? ? ? 由 n ? BC1 ? 0 及 n ? BD ? 0 ,得 ? 3 ?2 x?z ?0 ?
令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ?3 . 故平面 BC1D 的一个法向量为 n ? (2,3, ?3) , 又平面 BC1C 的一个法向量为 AB ? (0,0, ?2) ,

3 2

O C

C1 x

?

?? 11 分

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AB 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? (?2) ? (?3) 3 ∴ cos ? n, AB ?? ? ??? . ? ? 2 ? 22 22 n AB
∴ sin ? n, AB ?? 1 ? (

?? 12 分

? ??? ?

3 2 13 . ) ? 22 22

?? 13 分

∴ tan ? n, AB ??

? ??? ?

13 . 3
13 . 3
?? 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 20. (本小题满分 14 分)

(1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .???????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 .???????2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) .?????????3 分 an?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

m 的等比数列.????????4 分 1? m

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . ?????????5 分 ∵ bn ? ∴?

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .??????7 分 bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.???????????????8 分 2 ? bn ? 2 1 1 2n ? 1 (n ? N ? ) .???????????9 ∴ ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2
分 (3)解:由(2)知 bn ? 所以 Tn ?

2 2n?1 ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn
?10 分 ① ??11 分 ②???12

22 23 24 2n 2n?1 , ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn?1 bn
2 3 4 n n?1

即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ?? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) , 则 2Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ?? 2 ? (2n ? 3) ? 2 分

? (2n ?1) ,

②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n?1 ,????????13 分 故 Tn ? 2
n ?1

23 (1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 ? ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 .????????14 分 1? 2

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f (x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即

a(? x) ? (? x) ln | ? x ? b |? ?(ax ? x ln | x ? b |) 所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0
此时 f ( x) ? ax ? x ln | x | , f ( x) ? a ? 1 ? ln | x |
/

??1 分, ??2 分, ??3 分, ??4 分

依题意 f (e) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1
/

(2)当 x ? 1 时,设 g ( x ) ? 则 g ( x) ?
/

x ? 2 ? ln x ( x ? 1) 2
/

f ( x) x ? x ln x ? , x ?1 x ?1
??5 分

设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) ? 1 ?

1 ? 0 , h(x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数 x 因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 ?x0 ? (3 , 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ??7 分

x ? (1 , x0 ) 时, h( x) ? 0 , g / ( x) ? 0 ,即 g (x) 在 (1 , x0 ) 上为减函数; 同理 g (x) 在 ( x0 , ? ?) 上为增函数
x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1 所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3
从而 g (x) 的最小值为 g ( x0 ) ?
m n n m

??9 分。

(3)要证 (nm ) ? (mn ) ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n ??10 分,

即证 n(1 ? m) ln n ? m(1 ? n) ln m , n ? 1 ? m ? 1

n ln n

m ln m

??11 分, ??12 分,

x ln x ,x ?1 x ?1 x ? 1 ? ln x / 则 ? ( x) ? ( x ? 1) 2
设 ? ( x) ?
/

设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x) ? 1 ? x ? 0 , g (x) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数, ?x ? 1 , g ( x) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 , 从而 ? / ( x) ? 0 , ? (x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数 因为 m ? n ? 1 ,所以 ? (n) ? ? (m) , 所以 (nmm ) n ? (mnn ) m

1

n ln n m ln m ? , n ?1 m ?1
??14 分


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