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高中数列知识大总结(绝对全)


第六章
二、重难点击

数列

本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前 n 项和公式及运用,等差数列、等比数 列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求 和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络
通项公式 数列与正整数集关系 递推公式 等差数列 数列 等比数列 公式法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法

定义 通项公式 中项 前n项的和

特殊数列求和方法

第一课时
四、数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系 1. S n

数列

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ai
i ?1

n

2. a n

? S1 ?? ?S n ? S n ?1

n ?1 n?2

课前热身
3.数列

?an ?的通项公式为

an ? 3n 2 ? 28n ,则数列各项中最小项是(
C.第6项 D.第7项

B

)

A.第4项 4.已知数列

B.第5项

?an ?是递增数列,其通项公式为 an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是 (?3,??)
?2 ?2n ? 5 n ?1 n?2

5.数列

?an ?的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1,,则 an ? ? ?

1

题型一

归纳、猜想法求数列通项

【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) , ?, (10 n ? 1) 9 9 9 9

⑶将已知数列变为 1+0 , 2+1 , 3+0 , 4+1 , 5+0 , 6+1 , 7+0 , 8+1 , 9+0 ,?。可得数列的通项公式为

1 ? (?1) n an ? n ? 2
点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。 题型二 应用 a n

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列 ⑴ Sn

?an ?的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式.

? 3n ? 2

解析:⑴当 n ? 1 时, a1 当 n ? 2时, an

? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,

? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1

又 a1

? 1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

三、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 ⑴ a1 ?

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式
1
2

4n ? 1 1 解析:⑴因为 a n ?1 ? a n ? ,所以 2 4n ? 1 1 1 1 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? ( ? ) 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 所以 a 2 ? a1 ? ( ? ) 2 1 3 1 1 1 a3 ? a 2 ? ( ? ) 2 3 5 1 1 1 a4 ? a3 ? ( ? ) 2 5 7
2

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

?,?,

an ? an ?1 ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 3 2n ? 1

以上 (n ? 1) 个式相加得

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 1 4n ? 3 ? 即: a n ? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 a n ? a1 ?
点拨:在递推关系中若

an?1 ? an ? f (n), 求 an 用 累 加 法 , 若

a n ?1 ? f (n), 求 an 用 累 乘 法 , 若 an

an?1 ? pan ? q ,求 an 用待定系数法或迭代法。

课外练习
3 设 an ?

1 1 1 ? ? ??? ,( n ? N ),则 an ?1与an 的大小关系是( C ) n ?1 n ? 2 2n ? 1

A. a n ?1 C. an ?1

? an ? an

B. a n ?1

? an

D.不能确定

解:因为

1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1 1 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 2 a n ?1 ? a n ?
所以 an ?1 二、填空题 5.已知数列

? an ,选C.

? 则 an ? ? ?an ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? 1,

? 2 , (n ? 1) ?2n ? 5 , (n ? 2)

7.已知数列

?an ?的通项 n ?
y? x ? 98 x ? 99

98

n ? 99 ? 1?

(n? N ) ,则数列

?

?an ?的前 30 项中最大项和最小项分别是 a10,a9

解:构造函数

99 ? 98 x ? 99

由函数性质可知,函数在 (??,99) 上递减,且 y ? 1 函数在 ( 上递增且 y ? 1 99,+?)
3

又 99 ? (9, 10) ? a10 ? a11 ? a12 ? ? ? a30 ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a9 ? a10 最大,a9 最小
三、解答题

6.2 等差数列
知识要点
2.递推关系与通项公式 之,不成立。 ⑵ an

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a ? a1 d? n n ?1 an ? am d? n?m

? am ? (n ? m)d ? an?m ? an? m ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。

⑶ 2an

⑷ S n , S 2n

6.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

特征:an ? dn ? (a1 ? d ), 即:an ? f (n) ? kn ? m , (k , m为常数)
an ? kn ? m,(k , m为常数) 是数列 ?an ? 成
等差数列的充要条件。 3.等差中项: 若 a, b, c 成等差数列, 则 b 称 a与c 的等差中项, 且b ?

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ? ?an ? 是等
差数列 ②中项法:

2an?1 ? an ? an?2
列 ③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数

an ? kn ? b


(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数

a?c ; a, b, c 成等差数列是 2b ? a ? c 的充 2

④前 n 项和公式法:

要条件。 4.前 n 项和公式

S n ? An2 ? Bn
差数列 课前热身 2.等差数列

( A, B为常数) ? ?an ? 是等

(a ? a n )n n(n ? 1)d Sn ? 1 ; S n ? na1 ? 2 2

?an ? 中,

d d 特征:S n ? n 2 ? (a1 ? )n, 2 2 2 即S n ? f (n) ? An ? Bn S n ? An2 ? Bn
是数列

a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 1 则a9 ? a11的值为( C ) 3
A.14 B.15 C.16 D.17

( A, B为常数)

?an ?成等差数列的充要条件。 ?an ?的基本性质 (其中m, n, p, q ? N ? )
p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反

5. 等差数列

1 1 解 a 9 ? a11 ? a 9 ? (a 9 ? 2d ) 3 3 2 2 2 120 ? ( a 9 ? d ) ? a8 ? ? ? 16 3 3 3 5

⑴ 若m ? n ?

4



? 6(2a3 ? 7d ) ? 0

3 .等差数列

?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前
? S12,S12 ? S9 ? 0

10

? 24 ? 7d ? 0 又S13 ?

?d ? ?

24 7

或 11 项的和最大。 解:? S 9

? a10 ? a11 ? a12 ? 0, ? 3a11 ? 0, ? a11 ? 0,又a1 ? 0


?an ?为递减等差数列∴ S10 ? S11 为最大。 ?an ?的前 10 项和为 100,前 100 项和

13(a1 ? a13 ) 13 ? (a3 ? a11 ) 2 2 13 ? (2a3 ? 8d ) ? 0 2 ? 24 ? 8d ? 0 ? d ? ?3 24 从而 ? ? d ? ?3 7


4.已知等差数列

? S12 ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 S13 ? 13a7 ? 0 ? a7 ? 0,a6 ? 0
课外练习 一、 选择题 1. 已知

为 10,则前 110 项和为-110 解:∵

? S 6 最大。

S10,S 20 ? S10,S30 ? S 20, ?,S110 ? S100, ?
成等差数列,公差为 D 其首项为

S10 ? 100,前 10 项的和为 S100 ? 10
?100? 10 ? 又S110 10 ? 9 ? D ? 10, ? D ? ?22 2 ? S100 ? S10 ? 10D
n(n ? 1) ? ? y ? 50n ? 98 ? ?12n ? ? 4? 2 ? ? 2 ? ?2n ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) ? 102
2

?an ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前
? 70 ,则其公差 d 等于( D )
B. ? 1 3 2 D. 3

10

项的和 S10

A. ? 1 C. 3

2 3

? S110 ? 100 ? 10 ? 10( ? ? 22 ) ? ?110

2. 已











?an ?





所以当n ? 10时,y max ? 102
6.设等差数列

a7 ? a9 ?? 16,a4 ? 1 ,则a12 等于( A )
A.15 B.30 C.31 D.64

?an ?的前 n 项和为 S n ,已知

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围,

解: ? a7 ? a9 ? a4 ? a12 ? a12 ? 15
二、填空题 3. 设

?,S12 中哪一个值最大,并说 ②指出 S1,S 2,
明理由。

S n 为 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,

d an ? f (n) n an S n ?an ? " n ? 2"
解:① S12

S 4 ? 14,S10 ? S 7 ? 30,则S9 =54
4. 已 知 等 差 数 列

? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a3 ? a10 )

?an ? 的 前 n 项 和 为 S n

,若

S12 ? 21 ,则a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?

5

x2 y2 5. 设 F 是椭圆 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至 7 6
少有 21 个不同点

走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,①甲、乙开始运动后几 分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲 继续每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙继续每分钟走 5 m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇? 解:①设 n 分钟后第一次相遇,依题意有:

Pi (i ? 1,2,?)使 P1 F , P2 F , P3 F ,?
组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为

? 1 ? ? 1? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? 10 ? ? 10? ?
解:椭圆的焦点 F 到椭圆上的点最大、最小距离分别 为( ,由题意得: 7 ? 1)和( 7 ? 1 )

n(n ? 1) ? 5n ? 70 2 解得n ? 7,n ? ?20(舍去) 2n ?
故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟。 ②设 n 分钟后第二次相遇,则:

( 7 ?1 ) ? (n ? 1) d ? 7 ? 1 2 ?d ? ? n ? 1 ? 20 n ?1 1 ? d ? ,又d ? 0 10 1 1 ? ? ? d ? 0或0 ? d ? 10 10
三、解答题 6. 等 差 数 列

n(n ? 1) ? 5n ? 3 ? 70 2 解得n ? 15,n ? ?28(舍去) 2n ?
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 10 . 已 知 数 列

?an ?

中 ,

a1 ? 3,前 n 和

Sn ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

①求证:数列 ②求数列 ,已知 ③设数列 ?

?an ? 是等差数列

?an ? 的 前 n 项 和 记 为 S n

?an ? 的通项公式
? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实 ? a n a n?1 ?
? M 对一切正整数 n 都成立?若存

a10 ? 30,a20 ? 50
①求通项 an ;②若 S n =242,求 n 解: an

数 M ,使得 Tn

? a1 ? (n ? 1)d

在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。 解:①∵ S n ?

a10 ? 30,a 20 ? 50 ? a ? 9d ? 30 解方程组? 1 ?a1 ? 19d ? 50 ?a ? 12 ?? 1 ?d ?2
由 S n ? na1 ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

? S n ?1 ? ? a n ?1 ?

1 (n ? 2)(a n ?1 ? 1) ? 1 2 ? S n ?1 ? S n

? a n ? 2n ? 10
n(n ? 1)d , S n =242 2

1 ?(n ? 2)(a n?1 ? 1) ? (n ? 1)(a n ? 1)? 2 整理得,nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)a n ?1 ? (n ? 1)a n

n(n ? 1) ?12n ? ? 2 ? 242 2 解得n ? 11或n ? ?22(舍去)
7. 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前一分钟多

? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an? 2 ? an ) ? 2an?1 ? an? 2 ? an
∴数列

?an ? 为等差数列。
6

② a1

? 3,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1

? a 2 ? 2a1 ? 1 ? 5 ? a 2 ? a1 ? 2

?an ?的公差为2 即等差数列
? 2n ? 1

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? (n ? 1) ? 2
1 1 ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3)

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 又当n ? N ?时,Tn ? 6 ?
要使得 Tn

③?

? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥

1 ,所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 6
都成立, M 的最小值为

1 。 6

6.3 等比数列
知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的 前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比 数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为 ①

若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反 之

不真! ②q
n?m

q,(q ? 0) 。
2. 递推关系与通项公式

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
3. 等比中项: 若三个数 a, b, c 成等比数列, 则称 b 为



?an ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项
q ? ?1时,S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n, ?仍

成等比数列。 ④

成等比数列。 6. 等比数列与等比数列的转化 ①

a与c 的等比中项,且为 b ? ? ac,注:b 2 ? ac
是成等比数列的必要而不充分条件。 4. 前 n 项和公式

?an ?是等差数列 ? ?c a ?
n

(c ? 0,c ? 1) 是

等比数列; ②

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

?an ?















(q ? 1)

? ?logc an ?

?

(c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N

?an ? 既是等差数列又是等比数列 ? ?an ? 是各
7

)

项不为零的常数列。

7. 等比数列的判定法 ①定义法:

an?1 ? q(常数) ? ?an ? 为等比数列; an
2

①求 an , ②若 Tn

? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an , 求Tn

②中项法:an?1 等比数列;

? an ? an?2
? k ?q
n

(an ? 0) ? ?an ? 为
(k , q为常数) ? ?an ?

⑵在等比数列

?an ? 中,若 a15

? 0 ,则有等式

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a29?n (n ? 29,n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应的
在等比数列 立。 解:⑴①由等比数列的性质可知: 若 b19 ? 1 则有等式 ?bn ? 中, 成

③通项公式法: an

为 等 比 数 列 ; ④ 前

n

项 和 法 :

S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ? ?an ? 为 等 比 数
列。

1.

设f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10
(n ? N ),则f (n)等于 ( D ) 2 2 A. (8 n ? 1) B. (8 n ?1 ? 1) 7 7 2 2 C. (8 n ?3 ? 1) D. (8 n ? 4 ? 1) 7 7
?

a1 ? a 6 ? a3 ? a 4 ? 32 又a1 ? a 6 ? 33 ,a1 ? a 6 解得a1 ? 32,a 6 ? 1 所以 a6 1 1 1 ? ,即q 5 ? , ?q ? a1 32 32 2

1 所以a n ? 32 ? ( ) n ?1 ? 2 6? n 2
②由等比数列的性质可知, 列,因为

2. 已 知 数 列

?an ?

是 等 比 数 列 , 且 (问题引入)

?lg an ? 是等差数

S m ? 10,S 2m ? 30,则S3m ? 70
猜想:

?bn ?是等比数列,公比为 1 。

lg a n ? lg 2 6?n ? (6 ? n) lg 2, lg a1 ? 5 lg 2 所以Tn ? (lg a1 ? lg a n )n n(11 ? n) ? lg 2 2 2
am ? 0 在 等 差 数 列 中 有

证明如下:∵ bn ?1

2 1 1 1 ? a 2 n ?1 ? ? a 2 n ? 4 2 4

⑵由题设可知,如果

1 1 1 ( a 2 n ?1 ? ) ? 2 4 4 1 1 1 ? ( a 2 n ?1 ? ) ? bn 2 4 2 ?
即:

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a2m?1?n (n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成 立 , 我 们 知 道 , 如 果
若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq ,而对于
等 比 数 列

bn ?1 1 1 ? ,∴ ?bn ? 是首项为 a ? ,公比 4 bn 2

1 为 的等比数列。 2
二、性质运用 例 2 : ⑴ 在 等 比 数 列

?bn ?







若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq 所以可以得
出结论,若

?an ?

中 ,

bm ? 1,则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b2m?1?n
(n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,在本题中
8

a1 ? a6 ? 33 ,a3 a4 ? 32,an ? an?1

则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b37?n
(n ? 37,n ? N ? )
点拨:历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积 性” ,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握。 典例精析 一、 错位相减法求和 例 1:求和: S n ? 解:⑴



2







?an ?





a1

=8



a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? )
①求数列

?an ? 的通项公式;

则d

?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a
n(n ? 1) 2

a 4 ? a1 ? ?2 4 ?1

所以, an =8+( n -1)×(-2)=―10-2 n

a ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3? ? n ?

bn ? ?

时,因为a ? 0 ⑵a ?1
Sn ? 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a 1 1 2 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a
由①-②得: ① ②

1 1 ? n(14 ? a n ) 2n(n ? 2)

1 1 1 ( ? ) 4 n n?2 所以
② Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 n (1 ? ) S n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a 1 1 (1 ? n ) a ? n ? a 1 a n ?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) 所以 S n ? a n (a ? 1) 2 综上所述, n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? a (a n ? 1) ? n(a ? 1) ? ? a n (a ? 1) 2 ?
点拨:①若数列 则求数列 相减法; ②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q

1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 4? 2 4 n n?2 ? ?1 3 ? 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 4 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 m ? ? ? ? 8 4(n ? 1) 4(n ? 2) 32 ?
对一切 n ? N 恒成立。
?

? m ? 12 ?

(a ? 1) a ? 1)

?an ?是等差数列, ?bn ?是等比数列, ?an ? bn ?的前 n 项和时,可采用错位

8 8 ? 对一切n ? N ? 恒成立。 n ?1 n ? 2 8 8 对n ? N ?,( 12 ? ? ) min ? n ?1 n ? 2 故 8 8 16 12 ? ? ? 1?1 1? 2 3 16 所以 m ? 3

m 的最大整数值为 5。
点 拨 : ① 若 数 列

?an ?

的 通 项 能 转 化 为

f (n ? 1) ? f (n) 的形式,常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时, 要注意正负项相消时, 消去了哪些项,保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和 例 3: 设二次函数

S n 相减合并同类项时,注意错

位及未合并项的正负号。 二、 裂项相消法求和

f ( x) ? x 2 ? x,当x ? ?n,n ? 1?
9

1. 在等差数列

?an ? 中, a1 =1 ,前 n 项和 S n 满足

(1 ? p )Tn ? p ? p 2 ? ? ? p n ? np n ?1 ? p (1 ? p n ) ? np n ?1 1? p

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, 2, ? Sn n ?1
①求数列 ②记 bn 项和 Tn 。 解 : ① 设 数 列

p (1 ? p n ) np n ?1 所以 Tn ? ? 1? p (1 ? p ) 2 n(n ? 1) ? ? ? 2 即:Tn ? ? p (1 ? p n ) np n ?1 ? ? 2 ? 1? p ? (1 ? p )
课外练习

?an ?的通项公式

( p ? 1) ( p ? 1)

? an p an ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n

?an ?

的 公 差 为 d , 由

1. 数 列

?an ?

的 前

n

项 和 为

Sn , 若

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, 2, ? Sn n ?1
得 a1 ? a 2 ? 3,所以 a 2 ? 2 a1 4n ? 2 S 2 n ? n ?1 Sn (a n ? nd ? a1 )2n 2 ? (a n ? a1 )n 2 2(a n ? n ? 1) ? an ? 1
所以 an = n ②由 bn

an ?

1 ,则S 5 等于( B ) n(n ? 1)

即 d ? a 2 ? a1 ? 1 又

1 1 D. 6 30 1 1 1 解:因为 a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 所以S 5 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 2 2 3 5 6 5 ? 6 A.1 B. C.
4. f ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 是以 2 为周期的 周期函数,数列

5 6

?an ? 是首项为 a

(a ? N ? ) ,公差为

? an p

an

( p ? 0) ,有 bn ? np

1 的等差数列, 那么 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a10 ) 的
n

值为( ①

C

) B .1 C.0 D.10 a

所以 Tn

? p ? 2 p 2 ? 3 p 3 ? ? ? npn

A.-1

n(n ? 1) 当p ? 1时, Tn ? 2

解:因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 是 以 2 为周期的周期函数, 所以

当p ? 1时,

f (0) ? 0,且f ( x ? 2) ? f ( x)

pTn ? p 2 ? 2 p 3 ? ? ? (n ? 1) p n ? npn?1 ②
①-②得

又数列

?an ? 是首项为 a ,公差为 1 的等差数列

10

所以 a n ? a ? n ? 1,又 a ? N ? ? f (a) (n为奇数) f (a n ) ? ? ? f (a ? 1) (n为偶数) 所以 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a10 ) ? 5? f (0) ? f (1)? ? 5 f (1) 又 f (?1) f (?1 ? 2) ? f (1) 所以 ? f (1) ? f (1)
故原式=0,选 C。 二、填空题 5.设等比数列

6.数列

?an ?满足 an ?

1 2 n ? ?? ? , n ?1 n ? 2 n ?1

又bn ?

2 ,则数列 an an ?1

?bn ? 的前 n 项和为

8n n ?1

? 5 f (a) ? 5 f (a ? 1)

解:an ?

即 f (1) ? 0

1 n (1 ? 2 ? ? ? n) ? n ?1 2 2 8 1 1 bn ? ? an an ?1 n(n ? 1) = 8( n ? n ? 1 )

?an ? 的公比与前 n 项和分别为 q 和
8

S S n ,且 q ≠1, S10 ? 8,则 2010 ? 1? q
a1 (1 ? q 10 ) 方法一、 ?8 1? 2 S 20 a1 (1 ? q 20 ) ? ? ?8 1 ? q 10 (1 ? q 10) (1 ? q )

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 ? ?1 1 ? 8 ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 n n ?1 ? ?1 2 ? 1 ? 8n ? ? 8 ?1 ? ? ? n ? 1? ? n ?1

, , ,,,, , , , , ? 的前 100 项 7.数列 1
的和为 13

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

9 ? 。 (n? N ) 14

方法二、S 20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ? S10 ? q 10 S10 ? S10 (1 ? q 10 ) 所以 S 20 ? S10 ? 8 1 ? q 10

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典例精析
一、 函数与数列的综合问题

例1:已知f ( x) ? loga x (a ? 0且a ? 1), 设f (a1 ),f (a 2 ), ?,f (a n ) (n ? N ? ) 是首项为4,公差为2的等差数列。
①设 a 是常数,求证: ②若 bn

?an ?成等差数列;

? an f (an ) , ?bn ? 的前 n 项和是 S n ,当 a ? 2 时,求 S n

解:① f (an ) ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2 ,

即 loga a n ? 2n ? 2,所以a n ? a 2 n ? 2 所以 an a 2n?2 ? 2 n ? a 2 (n ? 2)为定值 a n ?1 a

所以?a n ?为等比数列。
② bn

? a n f (a n )
? a 2 n ? 2 loga a 2 n ? 2 ? (2n ? 2)a 2 n ? 2

当a ? 2时, bn ? (2n ? 2) ? ( 2 ) 2 n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 n ? 2 S n ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 2 5 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 2 S n ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? n ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 点 拨 : 本 例 是 数 列 与 函 数 综 合 的 基 本 题 型 之 一 , 特 两式相减得 ? S n ? 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 2 4 (1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ?3 1? 2 所以 S n ? n ? 2 n ?3 ? 16 ?
征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解。 1. 已知正项数列 ①求证:数列

?an ?的前 n 项和为 S n , ?an ?是等差数列;

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

②若 bn ?

an ,数列 ? bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 2n

③在②的条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ?

?Tn ? ? ? ? 为等比数列?若存在,试求出 ? ;若不存在,说明理由。 ? an?2 ?

解:①

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4
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1 (a n ? 1) 2 4 1 当n ? 1时,a1 ? (a1 ? 1) 2 , ? a1 ? 1 4 1 当n ? 2时,S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 4 所以a n ? S n ? S n ?1 所以S n ? 1 2 2 (a n ? a n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) 4 即(a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ?

因为an ? 0,所以an ? an?1 ? 2 ? 0 即:an ? an?1 ? 2
所以数列

?an ?是等差数列。
2n ? 3 2n

② Tn ? 3 ?

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? (3 ? ? ?) ? n an?2 2n ? 3 2
? 3?? 1 ? n 2n ? 3 2

所以当且仅当 3+ ? =0,即 ? =-3 时,数列

?Tn ? ? ? ? ? 为等比数列。 ? an?2 ?

2. 已知在正项数列

?an ?中, a1 =2,且

2 2 在双曲线 y ? x ? 1 上, An ( a n , an?1 )

数列

?bn ?中,
点( bn ,Tn )在直线 y ? ? 等比数列。③若 Cn

1 x ? 1 上,其中 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,①求数列 ?an ? 的通项公式;②求证:数列 ?bn ? 是 2

? an ? bn,求证:Cn?1 ? Cn 。
2 2 在 y ? x ? 1 上知, an , an?1 )

解:①由已知带点 An (

a n ?1 - an =1,所以数列 ?an ? 是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列。
所以 an

? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1
1 x ? 1 上, 2

②因为点( bn , Tn )在直线 y ? ?

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1 所以Tn ? ? bn ? 1 2 1 所以Tn ?1 ? ? bn ?1 ? 1 2 两式相减得: 1 1 bn ? Tn ? Tn ?1 ? ? bn ? bn ?1 2 2
1 所以bn ? bn ?1, 3 1 2 令n ? 1得b1 ? ? b1 ? 1,所以b1 ? 2 3 2 所以?bn ? 是一个以 为首项, 3 1 以 为公比的等比数列。 3 2 1 2 所以bn ? ? ( ) n ?1 ? n 3 3 3
③ C n ? a n ? bn ? ( n ? 1) ?

2 3n

所以C n ?1 ? C n ? (n ? 2) ? ? 2 3
n ?1

2 3
n ?1

? (n ? 1)

2 3n

? (?2n ? 1) ? 0

所以C n ?1 ? C n
一、选择题 1. ( 2009 广 东 卷 理 ) 已 知 等 比 数 列

{an } 满 足 an ? 0 ,n ? 1, 2 ? , , 且 a5 ? a2n? 5 ?22n ( n ? 3) ,则当 n ?1 时,

log ? ? l o2 g an? ? 2 a 1? l o g 2 a 3? 2 1
A. n(2n ? 1) 【 解 析 】 由 B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

a5 ? a n2 ?

5

2 ? 2 2 n , a n ? 0 , 则 an ? 2 n , ? 22n ( n ? 3得 ) an

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
答案 C

2.(2009 辽宁卷理)设等比数列{

an }的前 n 项和为 Sn

,若

S6 S3 =3 ,则

S9 S6

=

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

S6 (1 ? q3 ) S3 ? S S3 【解析】设公比为 q ,则 3 =1+q3=3 ? q3=2
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于是 【答案】B

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

? an ? ,当an为偶数时, an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 a =1 a =m ?a ? ? 14.(2009 湖北卷理)已知数列 n 满足: 1 (m 为正整数) , 若 6 ,则 m 所有
可能的取值为__________。 答案 4 5 32

a1 a m m a2 ? a3 ? 2 ? a ? m 2 2 4 解析 (1)若 1 为偶数,则 2 为偶, 故

m m m a4 ? ??????a6 ? 8 32 ①当 4 仍为偶数时,

m ? 1 ? m ? 32 32 故

3 m ?1 m 3 a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 ②当 4 为奇数时, 3 m ?1 4 ?1 4 故 得 m=4。
a ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 (2)若 1
?????? a6 ?
3m ? 1 3m ? 1 16 ,所以 16 =1 可得 m=5

a3 ?

3m ? 1 2 必为偶数

16.(2009 陕西卷文)设等差数列 解析:由 答案:2n

?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ?

.

a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n.

Sn ? S a ? S3 ? 12 ,则 n ?? n 2 ?a ? 17.(2009 陕西卷理)设等差数列 n 的前 n 项和为 n ,若 6 lim
?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? S n ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n ?? n n ?? n n n ?d ? 2 ?a1 ? d ? 12 ? s3 ? 12
答案:1

.

{a } 22.(2009 全国卷Ⅰ理)在数列 n 中,

1 n ?1 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? n n 2
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(I)设

bn ?

an n ,求数列 {bn } 的通项公式

(II)求数列

{an } 的前 n 项和 Sn

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n 2 分析: (I)由已知有 n ? 1 n 2

利用累差迭加即可求出数列

{bn } 的通项公式:

bn ? 2 ?

1 2 n ?1 ( n ? N * )

(II)由(I)知

an ? 2 n ?

n 2n ?1 ,

? Sn = k ?1
n

? (2k ?

n

n n k k ) ? (2 k ) ? ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n

而 k ?1

? (2k ) ? n(n ? 1) ?2
n

,又 k ?1

?2

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

k
k ?1

? 4?

易得 k ?1

n?2 n?2 ? n ?1 ? 4 n ?1 2 ? Sn = n(n ? 1) 2

23.(2009 北京理)已知数集

A ? ?a1, a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2?

具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n?

aj


ai a j



ai 两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集

?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由;

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ?1 ?1 a ? 1 a ? a ? ? ? a 2 n (Ⅱ)证明: 1 ,且 1 ;
(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时,

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.

4 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与 3 均不属于数集

6 6 1 2 3 6 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 2 3 1 2 3 6 都属于数集 ?1,2,3,6? , 由于
∴该数集具有性质 P.

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an A ? ?a1, a2 ,?an ? aa a (Ⅱ)∵ 具有性质 P,∴ n n 与 n 中至少有一个属于 A,
由于

1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .
1? an ?A a ? 1. an ,∴ 1

从而 ∵

1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? .

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? a 由 A 具有性质 P 可知 k . an a a a ? n ??? n ? n a an ?1 a2 a1 , 又∵ n an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an a an?1 a2 a1 ∴ n , an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an a an?1 a2 a1 从而 n , a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ?1 ?1 a ? a ? ? ? a 1 2 n ∴ . a5 a ? a2 , 5 ? a3 2 a ? a2a4 ? a3 a a3 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 4 ,即 5 ,


1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,

a4 ?A a 由 A 具有性质 P 可知 3 . a3 a4 a a4 a3 ? ?A 1 ? 3 ? a2 ? ? a2 a2a4 ? a ,得 a2 a3 a a a 2 3 2 ,且 ,∴ ,
2 3

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 a ,a ,a ,a ,a a a a3 a2 a1 4 ∴ ,即 1 2 3 4 5 是首项为 1,公比为 2 成等比数列.

25(2009 江苏卷)对于正整数 n ≥2,用 组数,其中

Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序数组 ( a, b) 的

a, b ??1,2,?, n?

( a 和 b 可以相等) ;对于随机选取的

a, b ??1,2,?, n?

( a 和 b 可以相等) ,记

Pn 为关于

x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率。
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(1)求

Tn2



Pn2



(2)求证:对任意正整数 n ≥2,有

Pn ? 1 ?

1 n.

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。

29. ( 2009 江西卷理)各项均为正数的数列

{an} , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1? am )(1? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
1 4 a? , b? 2 5 时,求通项 an ; (1)当 1
(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 ?

? an ? ?.

解: (1)由

a p ? aq am ? an ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )



a1 ? an a2 ? an?1 ? . a ? 1 ,a ? 4 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 ) 将 1 2 2 5 代入化简得 an ? 2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

1 ? an 1 1 ? an?1 ? ? , 1 ? a 3 1 ? a n n ? 1 所以
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1 ? an { } 1 ? a n 为等比数列,从而 故数列
n 1 ? an 1 ? n , an ? 3 ? 1 . 1 ? an 3 即 3n ? 1

可验证,

an ?

3n ? 1 3n ? 1 满足题设条件.

am ? an a1 ? an a ? an bn?1 ? ? . (1 ? am )(1 ? an ) 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , 则 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an ) (2) 由题设
f ( x) ?
考察函数

a?x ( x ? 0) (1 ? a)(1 ? x) ,则在定义域上有

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N ,
*

bn?1 ? g (a) 恒成立.

b2 n ?


2an ? g (a) (1 ? an )2 ,
1 2 ,解上式得

0 ? g (a) ?
注意到

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)

??


1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) g (a) ,即有

1

?

? an ? ?.

.

30. (2009 湖北卷理)已知数列 (Ⅰ)令

?an ?

1 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 2 的前 n 项和 (n 为正整数) 。

bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
n ?1 5n an T ? c ? c ? ........ ? c T n 1 2 n 试比较 n 与 2 n ? 1 的大小,并予以证明。 , n

(Ⅱ)令

cn ?

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1 1 a1 ? Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 S ? ? a ? 1 ? 2 ? a 2 2 n 1 ,即 解(I)在 中,令 n=1,可得 1

1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2 当 n ? 2 时, ,

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 2 .

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .


b1 ? 2a1 ? 1,?数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.
bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ? n 2n .

于是

(II)由(I)得

cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n n 2 ,所以

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? K ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 由①-②得 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
Tn与 5n n 2n ? 1 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小
2 3 4 5

于是确定

由 2 ? 2 ?1 ? 1;2 ? 2 ? 2 ? 1;2 ? 2 ? 3 ? 1;2 ? 2 ? 4 ? 1;2 ? 2 ? 5;K

2 ? 2n ? 1. 证明如下: 可猜想当 n ? 3时,
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1

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所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n?1 n 0 1 n?1 n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1

综上所述,当 n ? 1, 2时

Tn ?

5n 5n Tn ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时 2n ? 1

31. (2009 四川卷文) 设数列 (I)求数列

a ? 5Sn ? 1 成立, ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 对任意的正整数 n , 都有 n 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 1 ? an 。

?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找出一个正整数 k ;若不存在,
Tn ? 3 2;

(II)设数列

请说明理由;

c ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 (III)记 n
解(I)当 n ? 1 时, 又

a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
an?1 1 ?? an 4
1 1

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

a1 ? ? q?? ?a ? 4 ,公比为 4 的等比数列, ∴数列 n 是首项为

1 4 ? (? ) n 4 (n ? N * ) bn ? 1 n 1 n an ? ( ? ) 1 ? (? ) 4 , 4 ∴
(II)不存在正整数 k ,使得

?????????????3 分

Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? bn ? 1 (?4) n ? 1 1 ? (? ) n 4 证明:由(I)知

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? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ?1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴

Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ?? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n
?

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴

Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n Rn ? 4k
?????????????8 分

∴对于一切的正整数 n,都有 ∴不存在正整数 k ,使得

Rn ? 4k 成立。

bn ? 4 ?
(III)由

5 (?4) n ? 1 得

cn ? b2 n?1 ? b2 n ?
b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? ? ? ? ? 42n ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n



13 4 ,? c2 ? 3 3, T1 ? 3 2,

当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
32.(2009 湖南卷文)对于数列

{un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N * ,恒有
, 则称数列

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ?? u2 ? u1 ? M
?

{un } 为 B ? 数列.

1 (Ⅰ)首项为 1,公比为 2 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由;
(Ⅱ)设

Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断:
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A 组:① 数列 B 组:③ 数列

{xn } 是 B-数列, {Sn } 是 B-数列,

② 数列 ④ 数列

{xn } 不是 B-数列; {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ )若数列
2 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

1 an ? ( ? ) n ?1 {a } 2 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 n ,则 .于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( ) n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
3 ? 1 1 2 1 n -1 ? 1 n? ? ? ?1 ? ? ( )? ? ? ( ) 3 ? ?1 ? ( ) ? 3. ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? = =
1 所以首项为 1,公比为 2 的等比数列是 B-数列 ?
(Ⅱ )命题 1:若数列 事实上设

.

{xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题.

xn =1, n ? N * ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 命题 2:若数列

{Sn } 不是 B-数列。

{Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N * ,有

事实上,因为数列

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,


| xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ??? x2 ? x1
,

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1
所以数列

{xn } 是 B-数列。

(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ )若数列

?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有
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an?1 ? an ? an ? an?1 ??? a2 ? a1 ? M
因为

.

an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1
.

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1


K ? M ? a1

,则有

2 2 an ?1 ? an ? ( an ?1 ? an )( an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an
因此

. .

2 2 2 2 2 2 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM 2 n

?a ? 是 B-数列. 故数列
33. (2009 陕西卷理) 已知数列

?xn} 满足,

x1=

1 1 xn+1= , n ? N* 2’ 1 ? xn .

? ? ? 猜想数列 {xn } 的单调性,并证明你的结论;
1 2 | xn ?1 -xn|≤ ( ) n ?1 6 5 (Ⅱ)证明: 。

1 1 2 5 13 x1 ? 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21 证明(1)由


x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2 n ? 是递减数列 x2k ? x2k ?2

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 (2)假设当 n=k 时命题成立,即

易知

x2 k ? 0 ,那么

x2 k ? 2 ? x2 k ?4 ?

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x ) 2 k 2 k ? 1 2 k ? 2 2 k ? 3 =


x2( k ?1) ? x2( k ?1)?2

也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立

(2)当 n=1 时,

xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 6 ,结论成立

当 n ? 2 时,易知

0 ? xn?1 ? 1,?1 ? xn?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

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? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 2 2 2 n-1 xn ? xn ?1 ? ( ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ( ) x2 ? x1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

an
35.(2009 天津卷理)已知等差数列{

}的公差为 d(d ? 0) ,等比数列{
?

bn }的公比为 q(q>1) s ab ab 。设 n = 1 1 + 2 2 …..+

anbn
, 若

Tn = a1b1 - a2b2 +…..+(-1 ) n ?1

anbn

,n ? N

a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值;

2dq(1 ? q 2 n ) ? b S T 1 ? q2 若 1 =1,证明(1-q) 2 n -(1+q) 2 n = ,n ? N ;
(Ⅲ) 若正数 n 满足 2 ? n ? q, 设

k1 ,,.k .., 2
c1 ? c2

,,.. k .,n和 1 . 2 ..2l l 1

ln是 , ,,n 的两个不同的排列, c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn ,

c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn

证明



本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能 力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 所以,

an ? 2n ?1, bn ? 3n?1, n ? N *

S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55

(Ⅱ)证明:由题设可得

bn ? qn?1 则


S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,
T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 , S 2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ... ? a2 n q 2 n ?1 )
式减去②式,得 式加上②式,得



S2n ? T2n ?2 ( a1 ? a32q ?. . . .? a ? n 2
式两边同乘 q,得

2 n? 2 1

q

)



3 q( S ? a . ? a 2n ? T 2 n ) ? 2 (a 1 q 3 q? . . .? n 2

2 n? 1 1

q

)
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所以,

( 1? q ) S ?q T )n ? S ( ) ?q ( S T ) 2n ? ( 1 2 2n ? T 2n 2 n ? 2 n

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) ?
(Ⅲ)证明:

2dq(1 ? q 2 n ) , n ? N* 2 1? q

c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn ? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1

因为

d ? 0, b1 ? 0, 所以
c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1

若 若

kn ? ln ,取 i=n kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n

由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
当 即 又

ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ?1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) …, (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? qi ?2 (q ?1)

(ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1, 所以
c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q

因此

c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2

c1 ? c2 ? ?1 k ? l c ? c2 db i i 1 当 同理可得 ,因此 1
综上,

c1 ? c2

37.(2009 年上海卷理)已知 若

?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。

an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
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找出所有数列 若

?an ?



?bn ?

an ?1 ? bn a n ? N ,使对一切 , n ,并说明理由;
*

a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。 am ? am?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 ,
4 3 ,? m 、 k ? N ? ,? k ? 2m 为整数,
. . . . . .5 分 . . . . . .2 分

[解法一](1)由

k ? 2m ?
整理后,可得
?

? 不存在 m 、 k ? N ,使等式成立。
an ?1 a1 ? nd ? bn ? b1q n?1 a a ? (n ? 1)d (2)若 ,即 1 ,

(*)

1 ? b1q (ⅰ)若 d ? 0, 则
当{

n?1

? bn 。
. . . . . .7 分

an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。
lim
n ??

(ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{

a1 ? nd ?1 a1 ? (n ? 1)d , (*)式等号右边的极限只有当 q ? 1 时,才能等于 1。

an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 . . . . . .10 分
an?1 ? bn , 且?bn ? 为等比数列 an

an ? nd ? c, 若
【解法二】设

an? 2 an?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an? 2 ? qa 2 n?1 a an 则 n ?1

?(dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N *都成立, ?a2 ? qd 2 ....7分
若 d=0,则

an ? c ? 0,?bn ? 1, n ? N *

dn ? d ? c ?m ?b ? m (常数)即 dn ? c 若 d ? 0, 则q=1, n ,则 d=0,矛盾

an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N * ,
综上所述,有 (3) 设

an?1 ? bn an ,

10 分

an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N *
.
27

am?1 ? am?2 ? ??? a m? p ? bk ? 3k , p、k ? N * , m ? N
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4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k 2 ,

3k ? 4m ? 2 p ? 3 ? ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N p .
取 k ? 3s ? 2,4m ? 3
2 s ?2

13 分 15 分

? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1)2s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0,

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,

2 ? (4 ? 1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, ?4m ? 4(M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,?存在整数m满足要求 .
故当且仅当 p=3s,s ? N 时,命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k =
0 1 Ck ? 4k ? Ck ? 4k ?1 ? (?1) ? ??? Ckk ?1 ? 4 ? (?1)k ?1 ? Ckk ? (?1)k ? 4M ? (?1)k , M ? Z ,

?

?

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k 成立 1分 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k 成立 2分 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk 也即 5(4m+13)=3k,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 三、解答题

?a ? 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) . 10.(2008 全国 I)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 n 满足
1) 是增函数; (Ⅰ )证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ )证明:

an ? an?1 ? 1 ;
k≥ a1 ? b a1 ln b .证明: ak ?1 ? b .

(Ⅲ )设

b ? (a1, 1) ,整数

f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 (Ⅰ )证明: f ( x) ? x ? x ln x ,
故函数

f ? x?

在区间(0,1)上是增函数;

(Ⅱ )证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时,

0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
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, 1) , 1] 由 函 数 f ( x) 在 区 间 ( 0 是 增 函 数 , 且 函 数 f ( x) 在 x ? 1 处 连 续 , 则 f ( x) 在 区 间 ( 0 是增函数,

a2 ? f( a 1 a1 ? a2 ? 1成立; 1) ? a 1? a 1l n a 1 ? ,即
(ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时,

ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0,

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) , ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n ,

an ? an?1 ? 1 恒成立.

a ? f (an ) 可 (Ⅲ )证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . n?1
? a1 ? b ? ? ai ln ai a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k i ?1
若存在某 i ≤ k 满足 若对任意 i ≤ k 都有
k k

ai ≤ b

,则由⑵ 知: ,则

ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0

ai ? b

a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k
k k

? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b
i ?1 i ?1 i ?1

? a ? b ? ka ln b 1 1

? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) ? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. 1 1 1 1
11.(2008 山东卷)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ??

2bn b S ? S 2 n 1= 记表中的第一列数 a1, a2, a4, a7, ?构成的数列为 {bn} ,b1=a1=1. Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和, 且满足= n N
(n≥2).

1 S (Ⅰ)证明数列{ n }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
a81 ? ? 4 91 时,

(Ⅱ) 上表中, 若从第三行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 且公比为同一个正数.当 求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和.
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12.(2007 湖南 ) 已知

An (an,bn ) ( n ? N * )是曲线 y ? ex 上的点, a1 ? a , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足

2 2 Sn ? 3n2an ? Sn 3, 4, ?1 , an ? 0 , n ? 2, ?.

? bn ? 2 ? ? ? b (I)证明:数列 ? n ? ( n ≤ 2 )是常数数列;
(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 (III)证明:当 a ? M 时,弦

{an } 是单调递增数列;

An An?1 ( n ? N * )的斜率随 n 单调递增
2 2 2 Sn ? Sn ?1 ? 3n an .

解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 因为 于是

an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 3n2 .

?? ① ??② ?? ③ ?? ④ ?? ⑤

Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 .
an?1 ? an ? 6n ? 3 .

由②-①得 于是

an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 . an?2 ? an ? 6 ,

由④-③得

? bn? 2 ? bn? 2 ean?2 ? an ? ean?2 ?an ? e6 ? ? (n ≥ 2) b b e 所以 n ,即数列 ? n ? 是常数数列.
(II)由①有

S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 ,所以 a3 ? 3 ? 2a , a4 ? 18 ? 2a . {a2 k } 和 {a2k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列,

而 ⑤表明:数列 所以 数列

a2k ? a2 ? 6(k ?1) , a2k ?1 ? a3 ? 6(k ?1) , a2k ?2 ? a4 ? 6(k ?1)(k ? N*) , {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2k ? a2k ?1 ? a2k ?2 对任意的 k ? N * 成立.

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ?1) ? a3 ? 6(k ?1) ? a4 ? 6(k ?1) ? a1 ? a2 ? a3 ? a4
? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ? 9 15 ?a? 4 4 .

? 9 15 ? M ? ?a ? a ? ? 4 ?. ? 4 即所求 a 的取值集合是 bn?1 ? bn ean?1 ? ean kn ? ? AA an?1 ? an an?1 ? an (III)解法一:弦 n n?1 的斜率为
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e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 f ( x) ? f ( x) ? x x ? x0 ,则 ( x ? x0 )2 任取 0 ,设函数
记 当 当

g ( x) ? ex ( x ? x0 ) ? (ex ? ex0 ) ,则 g?( x) ? ex ( x ? x0 ) ? ex ? ex ? ex ( x ? x0 ) ,
x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x0, ? ?) 上为增函数, x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,x0 ) 上为减函数, x ? x0 时, g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,从而 f ?`( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,x0 ) 和 ( x0, ? ?) 上都是增函数. {an } 单调递增,

所以

由(II)知, a ? M 时,数列



x0 ? an ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以

kn ?

ean?1 ? ean ean?2 ? ean ? an ?1 ? an an? 2 ? an . ean?1 ? ean?2 ean ? ean?2 ? an?1 ? an?2 an ? an? 2 .



x0 ? an?2 ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以

kn?1 ?

所以

kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增.

e x ? ean?1 f ( x) ? ? ?) 上都是增函数, x ? an ?1 ,同解法一得, f ( x) 在 (??,an?1 ) 和 (an?1, 解法二:设函数 kn ?
所以 故

ean ? ean?1 e x ? ean?1 ean?2 ? ean?1 e x ? ean?1 an?1 ? lim ? e k ? ? lim ? ean?1 n ?1 ? ? n → a n → a an ? an?1 an?2 ? an?1 n?1 x ? a n?1 x ? an ?1 n ?1 , .

kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增.
1 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 2 an

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)

{a n }满足 a1 ? 1, a n ?1
数列 m 的最小值 A.10 B.9 答案:A.



S 2 n?1 ? S n ?

m 30 对任意 n ? N * 恒成立, 则正整数

( ) C .8 D.7

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