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高二数学知识点讲练-椭圆


题目 第八章圆锥曲线 椭圆 高考要求 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程 知识点归纳 1. 定 义 : ① 平 面 内 一 个 动 点 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 (大 于 |F1F2|, 即
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PF ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点). 1
②点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0<e<1) ,则 P 点 的轨迹是椭圆 2.椭圆参数的几何意义,如下图所示:
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(1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|=

| PF1 | | PF2 | 2a 2 , = =e; c | PM 1 | | PM 2 |

(2) A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF ? a ? c 1 (3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c; (4)|F1K1|=|F2K2|=p=

y
B M1 K1 A1 F1 P F2 A2 M2 K2

b , c

2

A2 B ? A1B ? a 2 ? b 2
3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式

o

x

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a2 b a b
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椭圆

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c,) ,准线方程是 x ? ? 0 ,离心率 c a2 b

是e ?

c 2b 2 b2 b2 ,通径的长是 焦准距(焦点到准线的距离) p ? ,焦参数 (通径长的 a a c a
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一半) 范围: {x ? a ? x ? a} , {x ? b ? y ? b} ,长轴长= 2 a ,短轴长=2b,焦距=2c ,
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焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 a2 ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex . c c
2

4. ?PF F2 中经常利用余弦定理 、三角形面积公式 S ?PF1F2 ? b tan 1 .... .......

?F1 PF2 将有关线段 2

PF1 、 PF2 、2c,有关角 ?F1 PF2 ( ?F1PF2 ? ?F1BF2 )结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF1 ? PF2 等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元: ?

? x ? a cos? ; ? y ? b sin ?

题型讲解

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例 1 已知椭圆的焦点是 F1 (0,?1), F2 (0,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程; ② 设点 P 在椭圆上,且 PF ? PF2 ? 1 ,求 ?F1 PF2 . 1 解:① c ? 1,

a2 y2 x2 ? 4,? a ? 2,? ? ?1 . c 4 3

17 ? 2 2 ?m ? n ? ?? 2 ?4m n ? 15 ? 3 3 又 4 ? m 2 ? n 2 ? 2mncos?F1 PF2 ? cos ?P1 FP2 ? , ? ?P1 FP2 ? arccos 5 5 例 2 求中心在原点,一个焦点为 (0,5 2 ) 且被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦中点横坐标为

?m ? n ? 4 ②设 PF ? m, PF2 ? n 则 ? 1 ?m ? n ? 1

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1 的椭圆方程. 2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , a2 b2 1 1 因为弦 AB 中点 M ( ,? ) ,所以 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? ?1 2 2 2 2 ? y1 x1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 2 2 2 2 由 ? 得 a2 ( x1 ? x2 ) ? b2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ,(点差法) 2 2 ? y2 ? x2 ? 1 ? a 2 b2 ? 2 y 2 ? y2 ( y ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) a2 所以 2 ? ? 1 ?? 1 ? ?3 2 2 b x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )
解: 设椭圆方程
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? a 2 ? 3b 2

又 a ? b ? 50
2 2

?

y2 x2 ? ?1 75 10

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例 3 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点, 当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率. 分析:求椭圆的离心率,即求

c ,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示.本题没有 a

具体数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易得 b=c,a= 2 b. 解:设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0) 1(-c,0) 2=a2-b2, ,F ,c a2 b2
b2 c2 ) ,即 P(-c, ). a a2

则 P(-c,b 1 ?

∵AB∥PO,∴kAB=kOP, 即-

b ? b2 = .∴b=c. ac a

y
P B

F1

o

F2 A

x

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b, ∴e=

2 b c = = . a 2b 2

点评: 由题意准确画出图形, 利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. 例4

x2 y2 如下图, E: 2 + 2 =1 设 (a>b>0) 的焦点为 F1 与 F2, P∈E, 1PF2=2θ . 求 且 ∠F a b

证:△PF1F2 的面积 S=b2tanθ . 分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1 ,|PF2|=r2 ,则 S=

1 r1r2sin2θ .若能消去 r1r2,问题即获解决. 2
证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 S=

1 r1r2sin2θ ,又|F1F2|=2c, 2
F1

y
B r1 P 2? r2 F2 A

由余弦定理有 (2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ =(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ =(2a)2-2r1r2(1+cos2θ ) , 于是 2r1r2(1+cos2θ )=4a2-4c2=4b2. 所以 r1r2=

o

x

2b 2 . 1 ? cos 2?
2 sin ? cos ? 2b 2 1 · sin2θ =b2 2 cos 2 ? =b2tanθ . 2 1 ? cos 2?

从而有 S=

点评:①解与△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并 结合|PF1|+|PF2|=2a 来解决. ②我们设想点 P 在 E 上由 A 向 B 运动,由于△PF1F2 的底边 F1F2 为定长,而高逐渐变 大,故此时 S 逐渐变大.所以当 P 运动到点 B 时 S 取得最大值.由于 b2 为常数,所以 tanθ 逐 渐变大.因 2θ 为三角形内角,故 2θ ∈(0,π ) ∈(0, ,θ

π ).这样,θ 也逐渐变大,当 2

P 运动到 B 时,∠F1PF2 取得最大值.故本题可引申为求最值问题, 例 5 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为原点)的斜率为

2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程. 2 分析:欲求椭圆方程,需求 a、b,为此需要得到关于 a、b 的两个方程,由 OM 的斜率



2 .OA⊥OB,易得 a、b 的两个方程. 2
解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M( 由 ?

x1 ? x2 y ? y2 , 1 ). 2 2

? x ? y ?1 2 ,∴(a+b)x -2bx+b-1=0. ax 2 ? by 2 ? 1 ?

y
B M

o

A

x

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 b a = , 1 =1- 1 = . 2 a?b 2 2 a?b b a ∴M( , ). a?b a?b 2 ∵kOM= ,∴b= 2 a. ① 2
∴ ∵OA⊥OB,∴ ∴x1x2+y1y2=0.

y1 y · 2 =-1. x2 x1

b ?1 ,y1y2=(1-x1) (1-x2) , a?b 2b b ?1 a ?1 ∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1- + = . a?b a?b a?b b ?1 a ?1 ∴ + =0. a?b a?b
∵x1x2= ∴a+b=2. ② 由①②得 a=2( 2 -1) ,b=2 2 ( 2 -1). ∴所求方程为 2( 2 -1)x2+2 2 ( 2 -1)y2=1. 点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出 A(x1,y1) B(x2,y2) , , 但不是真的求出 x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由 OA ⊥OB 得 x1x2+y1y2=0 是解决本题的关键.

25 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一条准线方程是 x ? ,其左、右顶点分 2 4 a b x2 y2 别是 A、B;双曲线 C 2 : 2 ? 2 ? 1 的一条渐进线方程为 3x ? 5 y ? 0. a b (1)求椭圆 C1 的方程及双曲线 C 2 的离心率; (2)在第一象限内取双曲线 C 2 上一点 P,连接 AP 交椭圆 C1 于点 M,连接 PB 并延长交椭圆 C1
例 6 已知椭圆 C1 : 于点 N,若 AM ? MP. 求证: MN ? AB ? 0

? a 2 25 ? ? ?c 4 (1) 解: ? b 3 ? ? ?a 5 ?
? C1 :

(c 为椭圆半焦距), ? a ? 5, b ? 3, c ? 4

x2 y2 34 ? ? 1; C 2 的离心率为 e2 ? . 25 9 5

(2) 证明:设 M ( x0 , y0 ) ,则 P(2 x0 ? a, 2 y 0 ) 即 P(2 x0 ? 5, 2 y 0 )

2 2 ? x0 y 0 ? ?1 ? ? 25 9 2 消去 y0 得 2x0 ? 5x0 ? 25 ? 0 ?? 2 2 ? (2 x0 ? 5) ? 4 y 0 ? 1 ? 25 9 ?

3 3 3 3 ) ? P(10, 3 3 ) ? l : y ? ( x ? 5) 2 5 5 2 代入椭圆方程得: 2 x ? 15 x ? 25 ? 0 ? x N ? 2
因为点 M 在第一象限? M ( , 所以点 M、N 关于 x 轴对称. ∴ MN ? AB ? 0 点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系 相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、 导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.
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5 2

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例 7 已知椭圆

x2 y2 ? =1,能否在此椭圆上位于 y 轴左侧的部分上找一点 M,使它到 4 3

左准线的距离是它到两焦点 F1,F2 的距离的等比中项? 解:由方程知 e=1/2,假设存在点 M(x0,y0)满足条件, 即 有
2 2 x0 y 0 ? =1 且 x0∈[─2,0), 4 3

d2=|MF1||MF2|(d 为 M 到准线的距离), ∵ |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a─ex0=2─x0/2, d=4+x0, ∴ (4+x0)2=4─x02/4, ∴x0=─12/5 或 x0=─4,这与 x0∈[─2,0)矛盾, 故点 M 不存在. 点评:范围问题和求值问题的解法基本上没有区别,主要是把它当成求值问题来处理, 最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的. 例 8 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

3 3 ) 到这个椭 .已知点 P (0, 2 2

圆上的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐 标. 解:设椭圆方程为

c 3 x2 y2 得 a ? 2b ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y) 为椭圆上的点,由 ? 2 a 2 a b 3 1 2 AM ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 , (?b ? y ? b) 2 2 1 3 2 3 1 2 若 b ? ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 ( ?b ? ) ? 7 , ?b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 3 2 2 1 1 2 2 若 b ? 时, y ? ? 时 4b ? 3 ? 7 , b ? 1 2 2 2 x ? y2 ? 1 所求方程为 4

把 y=─

1 1 1 代入,求得 M 的坐标是(─ 3 ,─ )或( 3 ,─ ). 2 2 2

点评:二次曲线的最值问题,常常归结为二次函数的最值问题,解题时要注意对自变量 的范围进行讨论. 例 9 设椭圆与双曲线有共同焦点 F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的 2 倍,试求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法一:设交点为 P(x,y), 双曲线的实半轴长为 a (2<a<4),则椭圆长半轴长为 2a, 由半焦 距为 4, 得它们的方程分别为:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (1) 和 2 ? 2 =1 (2) 4a 4a ? 16 a 2 16 ? a 2
(2)?4─(1)得: y ?
2

(a 2 ? 4)(16 ? a 2 ) 4

(3),

代入(1)得:a2=2|x| 再代入(3)化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 解法二:用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得:|F1P|=3? |F2P| 或 3? |F1P|=|F2P| .
2 2 2 2 即: ( x ? 4) ? y ? 3 ( x ? 4) ? y



( x ? 4 ) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 4) 2 ? y 2 ,

化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 例 10 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线, 交 椭圆于 A、B 两点, 若椭圆上存在一点 C, 使 OA + OB = OC . (1) 求椭圆的离心率;(2) 若

| AB | =15, 求着个椭圆的方程.
x 2 y2 解: (1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 , 焦距为 2c , 则直线 l 的方程为: y ? x ? c , a b
代入椭圆方程, 得 (a ? b )x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

y
B

o

设点 A(x1 , y1 ) 、 B(x 2 , y 2 ) ,
A

F C

x



x1 ? x 2 ?

2a 2 c 2b 2 c , y1 ? y 2 ? x 1 ? x 2 ? 2c ? ? 2 , a 2 ? b2 a ? b2 2a 2 c 2b 2 c , ? 2 ). a 2 ? b2 a ? b2

∵ OA + OB ? OC , ∴C 点坐标为 (

∵C 点在椭圆上, ∴

4a 2 c 2 4b 2 c 2 ? 2 ? 1. (a 2 ? b 2 ) 2 (a ? b 2 ) 2



4c 2 ? 1, ∴ 4c 2 ? a 2 ? b 2 . 2 2 a ?b
2 2

又 c 2 ? b 2 ? a 2 , ∴ 5c ? 2a . ∴e ?

c 10 ? a 5

(2) ∵ | AB |?| AF | ? | BF |? (a ? ex1 ) ? (a ? ex 2 )

c 2a 2 c ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2a ? ? 2 a a ? b2 ? 2a ? 2ac 2 2ac 2 3a ? 2a ? 2 ? , a 2 ? b2 4c 2

由已知

3a 10 ? 15, a ? 10, 从而 c ? a ? 2 10 . ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 60 . 2 5

故椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 100 100
BE CF DG = = ,P 为 GE 与 OF 的交点(如下图).问 BC CD DA
存在, 求出 据此可判

例 11 已知常数 a>0,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=4a, O 为 AB 的中点,点 E、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且

是否存在两个定点, P 到这两点的距离的和为定值?若 使 y C DF 这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. E P G 分析:根据题设条件首先求出 P 点坐标满足的方程, o B A 断是否存在两点,使得点 P 到两定点距离的和为定值. 解:按题意,有 A(-2,0) ,B(2,0) ,C(2,4a) ,D(-2,4a). 设

x

BE CF DG = = =k(0≤k≤1) , BC CD DA

由此有 E(2,4ak) ,F(2-4k,4a) ,G(-2,4a-4ak). 直线 OF 的方程为 2ax+(2k-1)y=0. ① 直线 GE 的方程为-a(2k-1)x+y-2a=0. ② 2 2 2 由①②消去参数 k,得点 P(x,y)满足方程 2a x +y -2ay=0.

x 2 ( y ? a) 2 + =1. 1 a2 2 1 当 a2= 时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 2
整理得

当 a2≠

1 时,点 P 的轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
1 1 1 ? a2 , , ? a 2 , 的距离之和为定值 2 . 时, P 到椭圆两个焦点 点 (- a) ( a) 2 2 2 1 1 1 时,点 P 到椭圆两个焦点(0,a- a 2 ? )(0,a+ a 2 ? )的距离之和为定 , 2 2 2

当 a2<

当 a2>

值 2a. 点评:本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲 线的性质,曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方 程思想、分类讨论思想和构造法. 小结: 椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系,及利用第二定义解 决问题,关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用.为此在教学中注意以 下几点: B2 (1) 椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2 (如图) , 它的 o 三边长分别为 a、b、c. x F2 A F1 易见 c2=a2-b2,且若记∠OF1B2=θ ,则 cosθ =

c =e. a

(2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,本质上,它与坐 标系无关,而坐标系是研究的手段.实际上,人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标 系,从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系,这些性质不因坐标系的选择而改变.例 如上述的△OF1B2、公式 cosθ =e 等,均不因坐标系的改变而改变. (3)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之 和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段 F1F2;当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之和小于 |F1F2|时,其轨迹不存在. (4)椭圆标准方程中两个参数 a 和 b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中,总有 a>b>0; 椭圆的焦点位置决定标准方程的类型; b、 的关系是 c2=a2-b2; a、 c 在方程 Ax2+By2=C 中,只要 A、B、C 同号,就是椭圆方程. (5)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离,焦点弦长相关时,常利用椭圆的第二定 义,转化为点到准线的距离来研究,即正确应用焦半径公式. (6)使用椭圆的第二定义时,一定要注意动点 P 到焦点的距离与对应准线距离之比为 常数 e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了. 学生练习
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1.如果椭圆 是 ( A 8, )

x2 y2 ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别 25 16
B 10,

20 3

20 3

C 10, 6

D

10, 8

答案: B 2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( A

)

3

B

3 2

C

3 3

D 以上都不对

答案: C 解析: 2c ?
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1 2a 2 ? 3 c

3. P 为椭圆 是( A

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是两焦点,若 ?F1 PF2 ? 30? ,则 ?F1 PF2 的面积 5 4
) B 4(2 ? 3) C 16(2 ? 3) D 16

16 3 3
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答案: B 解析: 设 PF1 ? m, PF2 ? n ,列方程求解.
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4. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 最小, 4 3
)

则点 M 为( A (

3 3 2 6 B.(1,? ) C (1,? ) D (? ,?1) 2 2 3 1 答案: A 解析: ? e ? ,? 2 MF 等于 M 到右准线的距离. 2

2 6 ,?1) 3
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5.椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1) ,则它的方程是 _____________.

x2 y2 4x 2 y 2 ? ? 1, ? ?1 8 2 17 17 x2 y2 6.如图 F1 , F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点,点 P 在 椭圆上, ?POF 是面积为 3 的 2 a b 2 正三角形,则 b 的值是____. y B2 P 3 2 2 解析: c ? 3 ? c ? 2 ? P(1, 3) ? b ? 2 3 . o 4 x F1 F2 A 7 设 A(-2,0),B(2,0), ?ABC 的周长为 10,,则动点 C 的轨迹 方
答案: 程为: __________.

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) 9 5 1 x2 y2 2 2 ? ? 1 上有两点 P、 ,O 为原点,若 OP、 斜率之积为 ? ,则 OP ? OQ 8. 椭圆 Q OQ 4 16 4
答案: 为 ( A. 4 答案: C ) B. 64 C. 20
2

D. 不确定
2

解析: 设直线方程为 y ? kx ,解出 OP ,写出 OQ 9. 过椭圆 A.

2b 2 a

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( ) a2 b2 2a 2 2c 2 2c 2 B. C. D. b a b
ep ep , BF ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos ?

答案: A 解析: 设焦点弦 AB,AF 与 ox 负半轴夹角为 ? ,则 AF ?

? AB ?

2ep ? c a2 2b 2 ? ? ? 时, AB 最小 ? 2ep ? 2 ? ? ( ? c) ? . 2 1 ? e 2 cos 2 ? a c a ? 10. 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆
的离心率为( ) B.

A.

2 3

2 2

C.

1 2

D.

2 3

答案: D 11. 过原点的直线 l 与曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于 3
D.

) 6 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是 ( ? 5? ? 2? ? 2? ?? ? ?? ? ?? ? A B C 6 6 6 3 3 3 答案: D

?
4

?? ?

3? 4

12. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 ?BDB1 ? 90? ,则椭圆 的离心率为 ( ) A

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

答案: B

b x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 , (c 为椭圆的半焦距),有四个 2 2 a b 不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( ) 2 5 5 3 2 3 5 A ( B ( D (0, , ) C ( , ) , ) ) 5 5 5 5 5 5 5
13. 若椭圆 答案: A 解析: 解齐次不等式: b ?

b ? c ? a ,变形两边平方. 2

b?c x2 y2 14. 已知 c 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距,则 的取值范围是 a a b
A (1, 答案: D. 15.已知 F1、F2 是椭圆 MNF2 的周长为 A.8 答案:B 16.已知椭圆 +∞) B ( 2 , ? ?) C (1,

2)

D (1,

2]

x2 y2 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△ 16 9
C.25 D.32

B.16

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个 16 9 直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为
A.

9 5

B.3

C.

9 7 7

D.

9 4

解析:由余弦定理判断∠P<90°,只能∠PF1F2 或∠PF2F1 为直角.由 a=4,b=3 得 c= 7 ,

∴|yP|=

9 . 4

答案:D 17. P 是椭圆上一定点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则___________. 答案: e ? 18.椭圆

sin(? ? ? ) . sin ? ? sin ?

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 9 4
3 5 ?x? 3 5
.

为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 __________. 答案: ?

19. 圆心在 y 轴的正半轴上,过椭圆 ____________. 答案: x 2 ? ( y ? 2 6 ) 2 ? 25

x2 y2 ? ? 1 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 5 4

20. 已知圆柱底面直径为 2R,一个与底面成 30 角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此 椭圆离心率为 _______. 解析: 求 a, b 2a cos30 ? 2 R,? a ?
?

?

2 3 3 1 R, b ? R, c ? R?e? 3 3 2

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐 25 9 标是____________.
21.点 P 在椭圆 答案:

25 12

22.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程. 解:由题设条件可知 a=2c,b= 3 c,又 a-c= 3 ,解得 a2=12,b2=9.∴所求椭圆的方 程是

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 x2 y2 + =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为 M,试求 4 3

23.直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 直线 l 的方程. 解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,

x12 y12 + =1, ① 4 3 2 2 x2 y2 + =1. ② 4 3 ①-②,得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) + =0. 4 3




y1 ? y 2 x ? x2 3 =- · 1 . x1 ? x 2 y1 ? y 2 4

又∵M 为 AB 中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2. ∴直线 l 的斜率为-

3 . 4 3 (x-1) ,即 3x+4y-7=0. 4

∴直线 l 的方程为 y-1=- 课前后备注
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