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安徽省皖江区域示范高中2016届高三摸底联考数学理试题


皖江区域示范高中 2016 届高三摸底联考

数学试题(理科)
(本卷满分 150 分,限时 120 分钟)
命题人:朱兴明(含山二中)
一、

审核人:方保华 (含山二中)

第 I 卷(选择题,共 50 分) 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请将正确答案写在答题卷的相应位 置.) ) D、 1 ? i

1、已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ,则 z 等于( A、 ? 1 ? i B、 1 ? i C、 ? 1 ? i

2、设 R 为实数集,集合 S ? x log2 x ? 0?, T ? x x2 ? 4 ,则 S ? (CRT ) ? (

?

?

?

)

A、 ?x 1 ? x ? 2?

B、

?x 1 ? x ? 2?

C、 ?x 1 ? x ? 2?

D、

?x 1 ? x ? 2?
x

3 3、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 x 的值是 2
) 3 9 A、 B、 C、 2 D、3 2 2 4、给出下列结论:①命题“ ?x ? R, sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, sin x ? 1 ”; ②要得到函数 y ? sin( (

2 1 1 正视图 侧视图

俯视图

(第 3 题图)

x ? x ? ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向右平移 个单位; 2 2 4 4

③数列 {an } 满足“ an?1 ? 3an ”是“数列 {an } 为等比数列”的充分不必要条件; ④命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.其中正确的是( A、①②④ B、①③ C、 ①④ D、①③④ )

5 、若执行如右图所示的程序框图,输出 S 的值为 3 ,则判断框中应填入的条件是 ( ). B、 k ? 8 ? C、 k ? 7 ? D、 k ? 6 ? A、 k ? 9 ?

?2 x ? y ? 0 ? 6、已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? ?x ? 0 ?
A、 3 B、 3 3 C、 3

? 3?

2 x? y

的最大值为 (



D、9

7、过抛物线 y ?

则 ?AOF 的面积为( A.

1 2 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 , 4
) C. 2 D. 2 2

2 2

B.

47 32

8、在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 1 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等 分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? ( A、1 B、4

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

) C、8 D、16

9、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有 系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成 一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ? 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? 锥体积公式中的 ? 近似取为( )

1 2 L h. 36

2 2 L h 相当于将圆 75

A、

22 7

B.

25 8

C.

157 50

D.

355 113
,则 6

10 、 奇 函 数 f ( x) 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x? 2 )? f ( ? ? x成 ) 立 , 且 f(1) f (2014) ? f (2015) ? f (2016) 的值为 ( ) A、-6 B、0 C、6 D、12

二、

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位 置)

11 、已知双曲线 为

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 , 则该双曲线的离心率 2 3 a b
. .

12、曲线 y ? x(2ln x ?1) 在点 (1, ?1) 处的切线方程为

13、等差数列 {an } 中, Sn 为前 n 和,若

S S4 1 ? ? ,则 5 ? S7 2 S6 3
= .



14、若

,则

? sin ? x, x ? [0, 2] ? , 有下列 5 个结论: 15、对于函数 f ( x) ? ? 1 f ( x ? 2), x ? (2, ??) ? ?2

① f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ? 2k ) ? 2 ? ②函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ ? 2k ,

1 2

5 2

1 2

1 , 其中 k ? N ; 2k

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 2) 仅有一个零点; ④ ?x1 , x2 ?[1, ??), 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ⑤对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 其中正确的结论的序号为 三、

3 2

5 ? 2k ](k ? N ) 2
3 恒成立; 2

m 5 恒成立,则实数 m 的取值范围为 ( , ??) x 4
.

解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.) 16、(本小题满分 12 分)

? ? ? ? 1 b ? , x? R 已知 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x, ? cos x) ,设函数 f ( x) ? a? 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin B ? 2 sin A ,求 ?ABC 的面积.

17、(本小题满分 12 分) 某位同学进行 2015 年寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量 之间的关系进行分析研究,他分别记录了 2 月 8 日至 2 月 12 日的白天平均气温 x (°C) 与该小卖部的这种饮料销量 y (杯),得到如下数据: 日 期 2月8日 9 23 2月9日 12 30 2 月 10 日 10 25 2 月 11 日 11 26 2 月 12 日 8 21

平均气温 x (°C) 销量 y (杯)

(Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据不是相邻 2 天数据的概率;

? ?a ? ? bx ?; (Ⅱ)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报 2 月 13 日的白天平均气温 6°C, 请预测该奶茶店这种饮料的销量.

?? (参考公式: b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? .) ? ? y ? bx ,a

2

S 18、(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 S ? ABCD , 底 面 ABCD 为 菱 形 , SA ? 平面 ABCD , ?ADC ? 60? , E,F 分别是 SC, BC 的 中点. (Ⅰ)证明: SD ? AF ; (Ⅱ)若 AB ? 2, SA ? 4 ,求二面角 F ? AE ? C 的余弦值. B 19、(本小题满分 13 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n(n ? 1) ( n ? N* ). (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: an ? 式; (Ⅲ)令 cn ?
an bn ( n ? N* ),求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 4 b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ,求数列 {bn } 的通项公 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

E A F C

D

20、(本小题满分 13 分) 已知曲线 C 上任意一点 P 到两定点 A(? 3,0) 、 B( 3,0) 的距离之和为 4. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O : x ? y ? 1 相切,并与曲线 C 交于不同的两点 E , F .当
2 2

??? ? ??? ? 1 1 OE ? OF ? ? ,且满足 ? ? ? 时,求 ?EOF 面积 S 的取值范围. 3 2
21、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? g ( x ? 1) ,其中 g ( x) ? x ? ae (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? ?1 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)对任意 n 的个正整数 a1 , a2 ,? , an .记A ?
x

a1 ? a2 ? ? an n

ai ?1 ai ? e A (i ? 1, 2,? n) (2)求证: A ? n a1a2 ?an (1)求证: A

皖江区域示范高中 2016 届高三摸底联考

数学(理科)参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A 9 B 10 A

二、填空题:本大题共有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11._

10 ___ 3

12._ x ? y ? 2 ? 0 _____

13. _0

14. __

15. ① ③④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、解:(Ⅰ)由题意得 f ( x ) ? 则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2? ? ? ;

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ??3 分 2 2 2 6
????4 分 ????5 分

2

(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 , Q 0 ? C ? ?

? 0 ? 2C ? 2?

6

6

?? ? ? 2C ? ? ? 11? ? 2C ? ? ? ? ? C ? ? , 3 6 2 6 6 6
Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
2 2

????8 分

????9 分

2 2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②

3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 故 S?ABC ?

????11 分

1 3 ab sin C ? 2 2

????12 分

17、(Ⅰ)设“选取的 2 组数据不是相邻 2 天数据”为事件 A, 所有基本事件(m,n)(其中 m,n 为 2 月份的日期数)有:(8,9),(8,10), (8,11),(8,12),(9,10),(9,11),(9,12),(10,11),(10,12), (11,12),共有 10 种.事件 A 包括的基本事件有(8,10),(8,11),(8,12), (9,11),(9,12)(10,12),共 6 种.所以 P ( A) ? 求. ???????????????5 分

6 3 ? 为 10 5

(Ⅱ)由数据,求得 x ?

9 ? 12 ? 10 ? 11 ? 8 23 ? 30 ? 25 ? 26 ? 21 ? 10 , y ? ? 25 . 5 5

? ? 2.1 , a ? ? 4, ? ? y ? bx 由公式,求得 b
? ? 2.1x ? 4 . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? ? 2.1? 6 ? 4 ? 16.6 . (Ⅲ)当 x=6 时, y
所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 17 杯. 分 ???????????????12 ????????10 分

18、 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ADC ? 60 ,可得 △ ABC 为正三角形. 因为 F 为 BC 的中点,所以 AF ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD .????2 分 因为 SA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 SA ? AF . 而 SA ? 平面 SAD , AD ? 平面 SAD 且 SA ? AD ? A , 所以 AF ? 平面 PAD .又 SD ? 平面 SAD ,????5 分
?

所以 AF ? SD .

…………

6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AF , AD, AS 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐
标系,又 E,F 分别为 SC, BC 的中点,所以

? 3 1 ? A(0, 0,, 0) B( 3, ?1 ,, 0) C( 31 , ,, 0) D(0, 2, 0) , S (0, 0, 4), E ? ? 2 , 2 ,2? ? , F ( 3, 0, 0) , ? ?
z 所以 AE ? ? ?

??? ?

? ? 3 1 ? ??? , ,2? , AF ? ( 3, 0, 0) . ? 2 2 ? ?

S

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) ,

E y

??? ? ? 3 1 A ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?m ?AE ? 0, ? 则 ? ??? 因此 ? 2 2 ? B F m ? AF ? 0 , ? ? ? ? 3 x1 ? 0 x 取 z1 ? ?1,则 m ? (0, 4, ?1) ,????9 分 因为 BD ? AC , BD ? SA , SA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 AEC , ??? ? ??? ? 故 BD 为平面 AEC 的一法向量,且 BD ? (? 3, 3, 0) ,????10 分 ??? ? ??? ? m ?BD 4?3 2 51 ? 所以 cos ? m, BD ?? ,????11 分 ??? ? ? 17 17 ? 12 m ?BD
由于二面角 E ? AF ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

D C

2 51 .????12 分 17

19、解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n(n ? 1) ? (n ? 1)n ? 2n ,知 a1 ? 2 满足该式, ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . ···················································3 分 (Ⅱ)? an ?
b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ??? n n ( n ? 1 ) ① 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

∴ an?1 ?

b b b ?1 b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ? n?n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1
n ?1 n ?1

② ···························5 分

②-①得:

b

3

?1

? an?1 ? an ? 2 , bn ?1 ? 2(3n ?1 ? 1) ,

故 bn ? 2(3n ? 1) ( n ? N* ). ····························································7 分 (Ⅲ) cn ?
an bn ? n(3n ? 1) ? n ? 3n ? n , 4

∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ·······9 分 令 H n ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n , 则 3Hn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? n ? 3n?1 ① ②
3(1 ? 3n ) ? n ? 3n?1 1? 3

① ? ②得: ?2Hn ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n?1 ?

∴ Hn ?

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 , ························································· 11 分 4 (2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 n(n ? 1) …………13 分 ? 4 2

∴数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ?

20.解: (Ⅰ)∵|PA|+|PB|= 4 ? |AB|= 2 3 , ∴曲线 C 是以 A(? 3,0) 、 B( 3,0) 为焦点,长轴长 2a ? 4 的椭圆,

x2 ? y 2 ? 1 ;???????4 分 即曲线 C 的方程为: 4 (Ⅱ)依题结合图形知直线 l 的斜率不为零,所以设直线 l 的方程为
x ? my ? n ( m ? R ).
∵直线 l 即 x ? m y ? n ? 0 与圆 O: x ? y ? 1相切,∴
2 2

|n| m ?1
2

? 1 得 n2 ? m2 ? 1 .(6 分)

又∵点 E , F 的坐标 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 满足: ?

?x ? my ? n
2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0



消去 x 整理得 (m2 ? 4) y 2 ? 2mny? n2 ? 4 ? 0 ,

n2 ? 4 2mn y y ? , .???????7 分 1 2 m2 ? 4 m2 ? 4 |n| 2 又? | EF |? 1 ? m ? | y1 ? y2 | ,点 O 到直线 l 的距离 d ? ? 1, 1 ? m2 1 1 1 2 ∴ S ?AOB ? d ? | EF |? ? 1 ? m ? | y1 ? y2 |? | n | ? | y1 ? y2 | 2 2 2
由韦达定理得 y1 ? y2 ? ?

? 2 3?

n2 m2 ? 1 ???9 分 ? 2 3 ? (m2 ? 4) 2 (m2 ? 4) 2

∵ ? ? OE ? OF ? x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y2

??? ? ??? ?

5n 2 ? 4m 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 2 . m2 ? 4 m ?4 1 1 t 1 1 3 2 ? [ , ] ? t ? [ ,3] ∵ ? ? ? ,令 t ? m ? 1 ,则 ? ? 3 2 t ?3 3 2 2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? m n( y1 ? y2 ) ? n 2 ?

S?AOB ? 2 3 ?

m2 ? 1 t t ? 2 3? ? 2 3? 2 ? 2 2 2 (m ? 4) (t ? 3) t ? 9 ? 6t

2 3 ?11 分 9 t ? ?6 t
1 3 1 ?[ , ] 38 12 9 t ? ?6 t

9 20 9 38 9 38 t ? ? [ , 6] ? t ? ? 6 ? [12, ] ? t ? ? 6 ? [ 12, ]? t 3 t 3 t 3
∴ S?AOB ? [

6 38 6 38 ,1] ,∴ S ?AOB 的取值范围为: [ ,1] .???????13 分 38 38

21.(I)由题意知 f ?( x) ? 1 ? ae x?1 ………………1 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上是增函数…………2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? ln a ……………………3 分 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (??,1 ? ln a) 上是增函数 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数 综上可知:当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??, ? ?) 上是增函数。当 a ? 0 时,在区间

(??,1 ? ln a) 上是增函数, f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数…………5 分
(II)由(I)可知:当 a ? 0 时, f ( x) ? ?1 不恒成立…………6 分 又当 a ? 0 时, f ( x) 在点 x ? 1 ? ln a 处取最大值, 且 f (1 ? ln a) ? ? ln a ? ae? ln a ? ? ln a ?1 ………………7 分

即 ? ln a ? 1 ? ?1 得 a ? 1 故若 f ( x) ? ?1 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 ?1, ? ?? ……8 分 (III)证明:(1)由(II)知:当 a ? 1 时,对 x ? R 恒有 f ( x) ? ?1 成立 即x?e
x ?1

ai ?1 ai ? ? e A ………………10 分 A an a2 ?1 ?1 an a2 A ? e ;……; ?eA A A

a1 ?1 a1 (2)由(1)知: ? e A ; A

把以上 n 个式子相乘得

a1 ? a2 ??? an ?n a1a2 ? an A ? e ? 1 ………………12 分 n A

? An ? a1a2 ?an
故 A ? n a1a2 ?an ……………………13 分


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