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2017届北师大版 数列的综合应用 专项强化训练


专项强化训练(三)
数列的综合应用 一、选择题 1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结 论正确的是( A.a2>b2 ) B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6

【解析】选 A.设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q, 由题可得 d=-1,q= ,于是 a2=3>b2=2 ,故选 A.

【加固训练】若数列 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 的取值范围是 . 所以

【解析】由等差数列与等比数列的性质得 = =2+ + .

当 x,y 同号时, + ≥2;当 x,y 异号时, + ≤-2. 所以 的取值范围为(-≦,0]∪[4,+≦).

答案:(-≦,0]∪[4,+≦) 2.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个 零点,则 b10 等于( A.24 B.32 ) C.48 D.64

【解析】选 D.依题意有 anan+1=2n, 所以 an+1an+2=2n+1.两式相除得 =2,

所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列. 而 a1=1,a2=2,
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所以 a10=2·24=32,a11=1·25=32. 又因为 an+an+1=bn, 所以 b10=a10+a11=64. 3.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则 下列结论错误的是( A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 【解析】选 C.因为{an}是等差数列, 所以 Sn= n2+ 因为 S5<S6,S6=S7>S8, 所以 Sn 关于 n 的二次函数开口向下,对称轴为 n=6.5, 所以 d<0,S6 与 S7 均为 Sn 的最大值, S9<S5,a7=S7-S6=0,故选 C. 4.(2015 · 北 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x)= 把函数 n. )

g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的 通项公式为( A.an= ,n∈N* ) B.an=n(n-1),n∈N* D.an=2n-2,n∈N*

C.an=n-1,n∈N*

【解析】选 C.当 x≤0 时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x 是减函数,只有一个零 点 a1=0;当 x>0 时,若 x=n,n∈N*,则 f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;
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若 x 不是整数, 则 f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表 x 的整数部 分, 由 f(x)=x 得 f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的 x. 所以 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序为 0,1,2,3, … , 通项 an=n-1,故选 C. 【 加 固 训 练 】 定 义 :F(x,y)=yx(x>0,y>0), 已 知 数 列 {an} 满 足:an= 的值为( A. (n∈N*),若对任意正整数 n,都有 an≥ak(k∈N*)成立,则 ak ) B.2 C.1 = = D.4 ,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当

【解析】选 A.an= ,

n=1,2 时,2n2<(n+1)2,当 n≥3 时,2n2>(n+1)2,即当 n≥3 时,an+1>an,故 数列{an}中的最小项是 a1,a2,a3 中的较小者,a1=2,a2=1,a3= ,故 ak 的值 为 . 5.甲、 乙两间工厂的月产值在 2012 年 1 月份时相同,甲以后每个月比 前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分 比相同.到 2012 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、 乙 两间工厂 2012 年 6 月份的月产值大小,则有( A.甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值 C.甲的产值大于乙的产值
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)

D.不能确定 【解析】选 C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值 构 成 数 列 {bn}, 则 数 列 {an} 为 等 差 数 列 , 数 列 {bn} 为 等 比 数 列 , 且 a1=b1,a11=b11,故 a6= ≥ = = =b6,由于在等差数列

{an}中的公差不等于 0,故 a1≠a11,上面的等号不能成立,故 a6>b6,即 6 月份甲的产值大于乙的产值. 【方法技巧】建模解数列问题 (1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系. (2) 构建数学模型 ,将实际问题抽象成数学问题 , 明确是等差数列问 题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题. (3)通过建立的关系求出相关量. 【加固训练】 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植 一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁 边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取 树苗所走的路程总和最小 , 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 ( ) B.9 和 10 C.9 和 11 D.10 和 11

A.1 和 20

【解析】选 D.设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图所示)

则各个树坑到第 i 个树坑的距离的和是 S=10(i-1)+10(i-2)+ … +10(i-i)+10[(i+1)-i]+ …

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+10(20-i)=10

+

=10(i2-21i+210).

所以当 i=10 或 11 时,S 有最小值. 二、填空题 6.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标 为 an,则数列 的前 n 项和是 .

【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为 y′=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在 x=2 处的切线斜率为 k=n〓2n-1-(n+1)〓2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以 切 线 方 程 为 y+2n=-(n+2)2n-1(x-2), 令 x=0 得 ,y+2n=(n+2)2n, 即 y=(n+1)2n,所以 an=(n+1)2n,所以 =2n,数列 是以 2 为首项,2 为

公比的等比数列,所以其前 n 项和 Sn= 答案:2n+1-2

=2n+1-2.

7.(2015·昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价 格 , 即根据商品的最低销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a) 以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称为乐观系数.经 验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项. 据此可得最佳乐观系数 x 的值等于 .

【 解 析 】 由 已 知 有 (c-a) 是 (b-c) 和 (b-a) 的 等 比 中 项 , 即 (c-a)2=(b-c)(b-a). 把 c=a+x(b-a) 代 入 上 式 , 得 x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a), 即 x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2. 因为 b>a,b-a≠0, 所以 x2=1-x,即 x2+x-1=0,解得 x=
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.

因为 0<x<1,所以最佳乐观系数 x 的值等于 答案:

.

8.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , ,?, , ,?, ①a24= ; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,?是等比数列; ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,?的前 n 项和为 Tn= ④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak= . 其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上) ; ,?,有如下运算和结论:

【解析】依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第 n 组中的数的规律是:第 n 组中的数共有 n 个,并且每个数的分母均是 n+1,分子由 1 依次增大到 n,第 n 组中的各数和等于 对于①,注意到 21= <24< = ,

=28,因此数列{an}中的第 24 项应

是第 7 组中的第 3 个数,即 a24= ,因此①正确. 对于②③,设 bn 为②③中的数列的通项,则 bn= 列是等差数列,而不是等比数列,其前 n 项和等于 〓 ②不正确,③正确. 对于④,注意到数列的前 6 组的所有项的和等于 =10 ,因此满足条 = ,显然该数 = ,因此

件的 ak 应是第 6 组中的第 5 个数,即 ak= ,因此④正确. 综上所述,其中正确的结论有①③④. 答案:①③④ 三、解答题
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9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1= ,an+1= (1)求数列{an}的通项公式.

an.

(2)设 bn=n(2-Sn),n∈N*,若集合 M={n|bn≥λ ,n∈N*}恰有 4 个元素,求 实数λ 的取值范围. 【解析】(1)方法一:由已知可得 所以数列 = 〓 ,其中 n∈N*,

是公比为 的等比数列.

其首项为 = , 所以 = 即 an= . 方法二:由已知可得 = 〓 , = 〓 . ,

所以 = 〓 , = 〓 , = 〓 ,…, 以上各式累乘可得 = 又 a1= ,所以 an= . (2)由(1)知,Sn= + + +…+ , Sn= + +…+ + , , 〓n.

所以 Sn= + + +…+ 所以 Sn=1所以 Sn=2因此,bn= 所以 bn+1-bn= . , .

=

.

所以当 n=1 时,b2-b1>0,即 b2>b1, 当 n≥2 时,bn+1-bn<0,即 bn+1<bn,
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又 b1= ,b2=2,b3= ,b4= ,b5= . 要使集合 M={n|bn≥λ,n∈N*}恰有 4 个元素, 须 <λ≤ . 所以,所求实数λ的取值范围是 <λ≤ . 10.(2015· 昆明模拟)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且满足 2Sn+1=4Sn+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式. (2)若 bn=-3+log2an(n∈N*),求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)因为 2Sn+1=4Sn+1(n∈N*),① 所以当 n≥2 且 n∈N*时,2Sn=4Sn-1+1,② ①-②得:an+1=2an, 所以 =2(n≥2,n∈N*).

由 2S2=4S1+1 得 2(a1+a2)=4a1+1. 又 a1= , 所以 a2=1, 所以 =2, 所以数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an=2n-2. (2)因为 bn=-3+log2an=-3+log22n-2=n-5, 所以数列{bn}是首项 b1=-4, 公差 d=1 的等差数列. 所以当 n≤5 时,bn≤0,当 n>5 时,bn>0.
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从而当 n≤5 时,有 Tn=|b1|+…+|bn|=-(b1+…+bn)= 当 n>5 时,有 Tn=|b1|+|b2|+…+|bn| =-b1-b2-b3-b4-b5+b6+…+bn =(b1+b2+…+bn)-2(b1+b2+b3+b4+b5) = +20. .

综上所述,Tn= 【加固训练】已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式. (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 【解析】 (1)设等差数列的公差为 d,根据 a1+a2+a3=-3 可得 a2=-1,进而 得 a1a3=-8, 即(a2-d)(a2+d)=-8,所以 1-d2=-8,解得 d=〒3. 当 d=3 时,a1+3=-1,得 a1=-4, 此时 an=-4+(n-1)〓3=3n-7; 当 d=-3 时,a1-3=-1,得 a1=2, 此时 an=2+(n-1)〓(-3)=-3n+5. 所以{an}的通项公式为 an=3n-7 或 an=-3n+5. (2)d=3 时,a2=-1,a3=2,a1=-4, 此时 a2,a3,a1 成等比数列; 当 d=-3 时,a2=-1,a3=-4,a1=2,
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此时 a2,a3,a1 不是等比数列,故 an=3n-7,这个数列的第一、 二两项为负 值,从第三项开始为正值. 方法一:当 n≤2 时,|an|=7-3n,这是一个首项为 4,公差为-3 的等差数 列, 故 Sn=4n+ 〓(-3)=+ ;

当 n>2 时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为 3 的 等差数列,故 Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an =(4+1)+[2+5+…+(3n-7)] =5+ 所以 Sn= = +10. 这个式子中 n=2 时两段函数值相等,

故可以写为 Sn= 方法二:设数列{an}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn= = .

由于 n≤2 时,|an|=-an, 所以此时 Sn=-Tn=当 n>2 时, Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+…+an) =-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2= +10. + ;

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所以 Sn= 故可以写为 Sn=

这个式子中 n=2 时两段函数值相等,

11.已知数列{an}中,a1=1,且点 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn= ,Sn 表示数列{bn}的前 n 项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g(n),使得 S1+S2+S3+?+Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理 由. 【解题提示】(1)由条件寻找 an 与 an+1 的关系,转化为特殊数列,求 an. (2)利用函数与方程思想,探求 g(n). 【解析】(1)把 P 点代入直线 x-y+1=0 得:an+1-an=1, 所以{an}是公差为 1 的等差数列, 又 a1=1,因此可得:an=n(n∈N*). (2)因为 bn= ,所以 Sn= + + +…+ . 有 S1+S2+S3+…+Sn-1 =(n-1) · +(n-2) · +(n-3) · + … +[n-(n-1)] · + =n· =n·
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=n · + + + …

-n+1

=n·(Sn-1). 当 n≥2,n∈N*时,g(n)存在,且 g(n)=n. 【加固训练】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn) 都在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an ,n∈N*},等差数列{cn}的任一项 cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公 式. 【解析】(1)因为点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, 所以 Sn=n2+2n(n∈N*). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. (2)因为 Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}, 所以 Q∩R=R. 又因为 cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数, 所以 c1=6,因为{cn}的公差是 4 的倍数, 所以 c10=4m+6(m∈N*). 又因为 110<c10<115, 所以 解得 m=27, 所以 c10=114,
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,

设等差数列{cn}的公差为 d, 则 d= = =12,

所以 cn=6+(n-1)〓12=12n-6, 所以{cn}的通项公式为 cn=12n-6. 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=a(Sn-an+1)(a 为常数,且 a≠0,a ≠1). (1)求{an}的通项公式. (2)设 bn= +Sn·an,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值. ,数列{cn}的前 n 项和

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn= 为 Tn,求证:Tn>2n- .

【解题提示】(1)先利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)把 Sn 与 an 的关系式转化为 an 与 an-1 的关系式,判断数列的性质,求其通项公式.(2)根据(1),求出数 列{bn}的前三项,利用 =b1〓b3 列出方程即可求得 a 的值.(3)先求出

数列 {cn}的通项公式 ,根据所求证问题将其放缩 ,然后利用数列求和 公式证明. 【解析】(1)当 n=1 时,S1=a(S1-a1+1),得 a1=a. 当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1), Sn-1=a(Sn-1-an-1+1), 两式相减,得 an=a·an-1, 又 a≠0,所以 an≠0,则 =a.

即{an}是等比数列,所以 an=a·an-1=an. (2)由(1)及 a≠1 知 bn=(an)2+
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an,bn=

,

若{bn}为等比数列,则有

=b1b3,

而 b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4·(2a2+a+1), 故[a3(2a+1)]2=2a2·a4(2a2+a+1), 解得 a= , 再将 a= 代入 bn,得 bn= 所以 a= . (3)由(2)知 an= 所以 cn= 所以 cn>2- + . + >2n- . 2+ + … , = + =2+ . ,结论成立,

Tn=c1+c2+ … +cn> + 结论成立. =2n- +

【加固训练】已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(n ∈N*). (1)求 p 的值及 an. (2)若 bn= 正整数 n 的值. 【解题提示】 ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn> 成立的最小

【解析】(1)方法一:因为{an}是公差为 2 的等差数列, 所以 Sn=na1+ d=na1+ 〓2=n2+(a1-1)n.

又由已知 Sn=pn2+2n,
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所以 p=1,a1-1=2, 所以 a1=3, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+1. 方法二:由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4, 所以 a2=3p+2. 又此等差数列的公差为 2, 所以 a2-a1=2, 所以 2p=2, 所以 p=1, 所以 a1=p+2=3, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+1. 方法三:由已知 a1=S1=p+2, 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, 所以 a2=3p+2, 由已知 a2-a1=2,所以 2p=2,所以 p=1, 所以 a1=p+2=3,所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+1. (2)由(1)知 bn= 所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn
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=

-

,

=

+

+

+…+

=1-

=

.

因为 Tn> , 所以 > ,

所以 20n>18n+9,即 n> , 又 n∈N*,所以使 Tn> 成立的最小正整数 n=5. 13.(2015· 重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商 场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付 38 元;第二种,第一天 付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,依此类推;第三种,第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的 2 倍,工作时间为 n 天. (1) 工作 n 天 , 记三种付酬方式薪酬总金额依次为 An,Bn,Cn, 写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式. (2)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬? 【解析】(1)设三种付酬方式每天金额依次为数列 {an},{bn},{cn},它 们的前 n 项和依次分别为 An,Bn,Cn.依题意,第一种付酬方式每天金额 组成数列{an}为常数数列,则 An=38n. 第二种付酬方式每天金额组成数列{bn}为首项为 4,公差为 4 的等差数 列,则 Bn=4n+ 〓4=2n2+2n.

第三种付酬方式每天金额组成数列{cn}为首项是 0.4,公比为 2 的等比 数列,则 Cn= =0.4(2n-1).

(2)由(1)得,当 n=10 时,A10=38〓10=380, B10=2〓102+2〓10=220,C10=0.4(210-1)=409.2. 所以 B10<A10<C10.
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答:应该选择第三种付酬方案. 【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同 金额,这是零存; 到期可以提出全部本金和利息 ,这是整取,它的本利 和公式如下: 本利和=每期存入的金额×[存期+ ×存期×(存期+1)×利率]. (1)试解释这个本利和公式. (2)若每月初存入 100 元,月利率为 5.1%,到第 12 个月底的本利和是 多少? (3)若每月初存入一笔金额,月利率是 5.1%,希望到第 12 个月底取得 本利和 2000 元,那么每月初应存入多少? 【解析】(1)设每期存入的金额为 A,每期利率为 P,存期为 n,则各期 的利息之和为 nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP= 所以本利和为 nA+ =A (元). ,

(2)到第 12 个月底的本利和为 100 =1597.8(元). (3)设每月初应存入 x 元, 则有 x =2000, 解得 x≈125.2. 所以每月初应存入 125.2 元.
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