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17讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第 17 讲

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). (2)商数关系:tan α= 2.六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α

cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π 2-α cos_α sin_α π 2+α cos_α -sin_α π sin α ? ? ?α≠kπ+2,k∈Z?. cos α? ?

kπ 对于角“ 2 ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”, “奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 k 为偶数时, 函数名不变”. “符号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时, 原函数值的符号”.

1.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. [试一试] 5 1.(2013· 全国大纲卷)已知 α 是第二象限角,sin α=13,则 cos α=( 12 A.-13 5 C.13 5 B.-13 12 D.13 )

1

解析:选 A 因为 α 是第二象限角,所以 cos α=- ? 20π? 2.(2013· 洛阳统考)cos?- 3 ?=( ? ? 1 A.2 1 C.-2 答案:C ) 3 B. 2 3 D.- 2

12 ?5? 1-?13?2=-13. ? ?

1.诱导公式的应用原则 负化正,大化小,化到锐角为终了. 2.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. [练一练] π 1.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2,则 θ 等于( π A.-6 π C.6 π B.-3 π D.3 )

解析:选 D ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|<2,∴θ=3. 1 cos θ 2.(2013· 芜湖调研)若 sin θ· cos θ=2,则 tan θ+ sin θ 的值是( A.-2 C.± 2 B.2 1 D.2 )

2

cos θ sin θ cos θ 1 解析:选 B tan θ+ sin θ =cos θ+ sin θ =cos θsin θ=2.

考点一

三角函数的诱导公式

1.已知 A=

sin?kπ+α? cos?kπ+α? sin α + cos α (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} sin α cos α 当 k 为偶数时,A=sin α+cos α=2;

)

A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} 解析:选 C

-sin α cos α k 为奇数时,A= sin α -cos α=-2. 2.sin 600° +tan 240° 的值等于________. 解析: sin 600° +tan 240° =sin(720° -120° )+tan(180° +60° )=-sin 120° +tan 3 3 60° =- 2 + 3= 2 . 3 答案: 2 3 ?π ? ?5 ? 3.已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? π ?5 ? ? ? 解析:tan?6π+α?=tan?π-6+α? ? ? ? ? 3 ? ?π ?? ?π ? =tan?π-?6-α??=-tan?6-α?=- 3 . ? ? ?? ? ? 3 答案:- 3 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? 4. =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? π?? ? ? tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? 解析:原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?]
3

?π ? tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α =- tan αcos α sin α cos α =- sin α cos α· sin α =-1.

答案:-1 [类题通法] 诱导公式应用的步骤

提醒:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.

考点二

同角三角函数的基本关系

[典例]

1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α=5.

(1)求 tan α 的值; (2)把 [解] 1 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α
2

(1)联立方程

1 ? ?sin α+cos α= , ① 5 ? ? ?sin2α+cos2α=1,② 1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. 4 ? ?sin α=5, ∵α 是三角形内角,∴? 3 ?cos α=-5, ? 4 ∴tan α=-3. (2) sin2α+cos2α 1 = cos2α-sin2α cos2α-sin2α
4

sin2α+cos2α cos2α tan2α+1 = 2 = cos α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tan α=-3, ? 4?2 - ? +1 tan α+1 ? ? 3? 1 25 ∴ 2 =- 2 = 2 = 7. cos α-sin α 1-tan α ? 4?2 1-?-3? ? ?
2

保持本例条件不变, 求:(1) sin α-4cos α ; 5sin α+2cos α

(2)sin2α+2sin αcos α 的值.

解:由例题可知: 4 tan α=-3. (1) sin α-4cos α 5sin α+2cos α 8 =7. 4 ? ? 5×?-3?+2 ? ? sin2α+2sin αcos α sin2α+cos2α 4 -3-4



tan α-4 = 5tan α+2

(2)sin2α+2sin αcos α=

16 8 - tan2α+2tan α 9 3 8 = = =- 2 16 25. 1+tan α 1+ 9 [类题通法] sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用cos α=tan α 可以实现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α- cos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二.
5

3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1 -sin2α. [针对训练] 已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 解:∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β.② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β.③ 由①+③得 sin2α+9cos2α=4. 又 sin2α+cos2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,∴cos α=± . 8 4

考点三

诱导公式在三角形中的应用

[典例]

在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π

-B),求△ABC 的三个内角. [解] =1, 2 2 即 cos A= 2 或 cos A=- 2 . 2 3 (1)当 cos A= 2 时,cos B= 2 ,又角 A、B 是三角形的内角, π π 7π ∴A=4,B=6,∴C=π-(A+B)=12. 2 3 (2)当 cos A=- 2 时,cos B=- 2 , 3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= 4 ,B= 6 ,不合题意. π π 7π 综上知,A=4,B=6,C=12. [类题通法] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A

6

1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+ A+B A B C π C 2B=2π-2C, 2 + 2 + 2 =2等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos 2 =sin 2 等; 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定 该角的大小. [针对训练] 在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 个内角. 解:∵sin A+cos A= 2, ∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1. ∵A 为△ABC 的内角, π π ∴2A=2,∴A=4. ∵ 3cos A=- 2cos(π-B), π 3 ∴ 3cos4= 2cos B,∴cos B= 2 . π ∵0<B<π,∴B= . 6 7π ∵A+B+C=π,∴C=12. π π 7π ∴A=4,B=6,C=12.

7


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