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平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计


平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计
一、教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义 ,因此利用向量运算 可以讨论一些几何元素的位置关系 .既然向量可以进行加减运算 ,一个自然的想 法是两个向量能否做乘法运算呢 ?如果能,运算结果应该是什么呢 ?另外,距离和 角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算 来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系 .众所周知,向量概念的引入与物理 学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产生位 移 s(如图 1),那么力 F 所做的功

图1 W=|F||s|cosθ 功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有 关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算 ,从而引进向量的数 量积的定义 a?b=|a||b|cosθ . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、 分配律等),而且 还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样 , 它也有明显的物理意义、 几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果 不是向量而是数量. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 掌握平面向量数量积的重要性质及运 算律;了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;掌握向 量垂直的条件。 2、过程与方法: 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会 平面向量的数量积与向量投影的关系。 3、情感态度与价值观: 通过与物理中 “功” 的类比抽象出向量的数量积, 培养学生的抽象概括能力。 三、重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应 用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几
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何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、 运动学等有着天然的联系 ,将向量这一工具应用到物理中 ,可以使物理题解答更 简捷、 更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的 思想方法去审视相关物理现象 ,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更 深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象 都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数 量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向 量的和与差仍是一个向量 .我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除 (除 数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如 果能,其运算结果是什么呢? (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①a?b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种 向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律? ③我们知道, 对任意 a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任 意向量 a、b,是否也有下面类似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a?b+b2; (2)(a+b)?(a-b)=a2-b2. 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量 积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cosθ (0≤θ ≤π ). 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影.如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ ≤180°.

图2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两 向量夹角的余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a?0=0; (3)符号“?”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“?”代替; ? ? (4) 当 0≤θ < 时 cosθ >0, 从而 a?b>0; 当 <θ ≤π 时 ,cosθ <0, 从而 2 2 a?b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
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已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a?b=b?a(交换律); ②(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(数乘结合律); ③(a+b)?c=a?c+b?c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a?b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b,都有 a?b=0.

图3 (2)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc ? a=c.但对向量的数量积,该推理不 正确,即 a?b=b?c 不能推出 a=c.由图 3 很容易看出,虽然 a?b=b?c,但 a≠c. (3)对于实数 a、 b、 c 有(a?b)c=a(b?c);但对于向量 a、 b、 c,(a?b)c=a(b?c) 不成立.这是因为(a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b?c)表示一个与 a 共 线的向量,而 c 与 a 不一定共线,所以(a?b)c=a(b?c)不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足 a?b=b?a(交换律); (λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(数乘结合律); (a+b)?c=a?c+b?c(分配律). ③(1)(a+b)2=(a+b)?(a+b) =a?b+a?b+b?a+b?b=a2+2a?b+b2; (2)(a+b)?(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b=a2-b2. 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向 量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究 .教师给出图形并作结论性 的总结,提出注意点“投影”的概念,如图 4.

图4 ? 定义:|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量; 2°当 θ 为锐角时投影为正值;当 θ 为钝角时投影为负值;当 θ 为直角时投 影为 0;当 θ =0°时投影为|b|;当 θ =180°时投影为-|b|. 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的 结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1°e?a=a?e=|a|cosθ .
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2°a⊥b ? a?b=0. 3°当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|. 特别地 a?a=|a|2 或|a|= a ? a . 4°cosθ =
a?b . | a || b |

5°|a?b|≤|a||b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和 提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投 影|b|cosθ 的乘积. (三)应用示例 思路 1 例 1 已知平面上三点 A 、 B 、 C 满足 | AB |=2,| BC |=1, | CA |= 3 , 求

AB ? BC + BC ? CA + CA AB 的值.
活动: 教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 ,先分析 题设然后找到所需条件.因为已知 AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量 积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形, 然后可利用数形结合来求解结果. 解 : 由 已 知 ,| BC |2+| CA |2=| AB |2, 所 以 △ABC 是 直 角 三 角 形 . 而 且 ∠ ACB=90°, 从而 sin∠ABC=
1 3 ,sin∠BAC= . 2 2

∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴ AB 与 BC 的夹角为 120°, BC 与 CA 的夹角为 90°, CA 与 AB 的夹角为 150°. 故 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB =2?1?cos120°+1? 3 cos90°+ 3 ?2cos150° =-4. 点评:确定两个向量的夹角 ,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角 的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与 BC 的夹角是 120°, 而不是 60°.?
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变式训练 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)?(a-3b).? 解:(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b =|a|2-a?b-6|b|2 =|a|2-|a||b|cosθ -6|b|2 =62-6?4?cos60°-6?42 =-72. 例 2 已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直? 解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)?(a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0. ∵a2=32=9,b2=42=16, 2 ∴9-16k =0. 3 ∴k=± . 4 3 也就是说,当 k=± 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直. 4 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练 已知向量 a、b 满足:a2=9,a?b=-12,求|b|的取值范围. 解:∵|a|2=a2=9, ∴|a|=3. 又∵a?b=-12, ∴|a?b|=12. ∵|a?b|≤|a||b|, ∴12≤3|b|,|b|≥4. 故|b|的取值范围是[4,+∞). 思路 2 例 1 已 知 在 四 边 形 ABCD 中 ,

AB =a, BC =b, CD =c, DA =d, 且

a?b=c?d=b?c=d?a,试问四边形 ABCD 的形状如何? 解:∵ AB + BC + CD + DA =0, 即 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). 由上可得(a+b)2=(c+d)2, 即 a2+2a?b+b2=c2+2c?d+d2. 又∵a?b=c?d,故 a2+b2=c2+d2. 同理可得 a2+d2=b2+c2. 由上两式可得 a2=c2,且 b2=d2, 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 AB=CD,且 BC=DA, ∴ABCD 是平行四边形. 故 AB = ? CD ,即 a=-c.

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又 a?b=b?c=-a?b, 即 a?b=0,∴a⊥b,即 AB ⊥ BC . 综上所述,ABCD 是矩形. 点评: 本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂 直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状. 例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角. 活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以 a,b 为邻边的 ABCD, 若 AB =a, CB =b, 则 CA =a+b, DB =a-b. 由 |a|-|b|=|a+b|, 可 知 ∠ ABC=60°,b 与 DB 所成角是 150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量 b 与 a-b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教 师给予必要的点拨和指导,即由 cos〈b,a-b〉=
2 2

b ? ( a ? b) 作为切入点,进行求解. | b || a ? b |

解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b =(a+b) . ∴|b|2=|a|2+2a?b+|b|2. 1 ∴a?b=- |b|2. 2 1 3 而 b?(a-b)=b?a-b2= ? |b|2-|b|2= ? |b|2,① 2 2 1 由(a-b)2=a2-2a?b+b2=|b|2-2?( ? )|b|2+|b|2=3|b|2, 2 2 2 2 而|a-b| =(a-b) =3|b| , ∴|a-b|=3|b|.② ∵cos〈b,a-b〉=
b ? ( a ? b) , | b || a ? b |
3 | b |2 3 . ?? 2 |b|? 3|b| 2

代入①②,得 cos〈b,a-b〉=-

又∵〈b,a-b〉∈[0,π ], 5? ∴〈b,a-b〉= . 6 点评: 本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题 ,解完后教师 及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练 设向量 c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2 2 ,|c|=4,a⊥c,b?c=-4,且 b 与 c 的 夹角为 120°,求 m,n 的值. 解:∵a⊥c,∴a?c=0. 又 c=ma+nb,∴c?c=(ma+nb)?c, 即|c|2=ma?c+nb?c.∴|c|2=nb?c.
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由已知|c|2=16,b?c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而 c=ma-4b. ∵b?c=|b||c|cos120°=-4, 1 ∴|b|?4?( ? )=-4.∴|b|=2. 2 由 c=ma-4b,得 a?c=ma2-4a?b, ∴8m-4a?b=0,即 a?b=2m.① 再由 c=ma-4b,得 b?c=ma?b-4b2. ∴ma?b-16=-4,即 ma?b=12.② 联立①②得 2m2=12,即 m2=6. ∴m=± 6 .故 m=± 6 ,n=-4. (四)课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、 几何意义,数量积的重 要性质,数量积的运算律. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等 . 在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、 发散性地思考问题,并鼓励学生进 行一题多解. (五)作业

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