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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷七)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(七)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,0, a ? 3} ,且 A ? B ,则 a 等于 (A) 1 (B) 0
2 3

(C) ?2

(D) ?3 (D)第四象限

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i+2i ? 3i 所对应的点落在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

??? ??? ? ? 3.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 为钝角三角形”的 “

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不 必要条件 4.已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面 ABC .则下列结论不正确的是 ... (A)CD // 平面 PAF (B)DF ? 平面 PAF (C)CF // 平面 PAB(D)CF ? 平面 PAD

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为 a 2 b2 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 3 6.函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示, P 是图象的最高点,A, B 是图象与 x 设 轴的交点,则 tan ?APB ? 8 4 (A) 10 (B) 8 (C) (D) 7 7
5.双曲线 y P x A O B

第 4 题图 (A)有 3 个 (B)有 2 个

第 6 题图 (C)有 1 个 (D)不存在
2 2

7.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ?13 ,那么满足 ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? 102 的整数 k 8.设点 A(1, 0) , B(2,1) ,如果直线 ax ? by ? 1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a ? b (A)最小值为

1 5

(B)最小值为

5 5

(C)最大值为

1 5

(D)最大值为

5 5
D C

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 ?ABC 中,若 B ? 2 A , a : b ? 1: 3 ,则 A ? _____.

1 5 2 10.在 ( 2 ? x ) 的展开式中, x 的系数是_____. x
-1-

A

O

?

B

P

11.如图, AB 是圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 切圆 O 于点 C .已知圆 O 半径为 3 , OP ? 2 ,则 PC ? ______; ?ACD 的大小为______. 12.在极坐标系中,点 A(2, ) 关于直线 l : ? cos ? ? 1 的对称点的一个极坐标为 _____. 13.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) . 则 f (2) ? ______;

? 2

开始 输入 a , b

a?b




f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为______. n?? an ,其中 ? ? R , 14.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? n ?1 n ? 1, ? . 2, ①当 ? ? 0 时, a20 ? _____; ②若存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ,则 ? 的取值范围是_____.

S?b
输出 S 结束

S?a

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 2 x

sin( x ? ) 4 ( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; 4 x ( Ⅱ ) 若 f ( x) ? , 求 s i n 2 的 值 . 3

?

.

16.(本小题满分 13 分) 如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对
?

角线 AC 折起,使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . (Ⅰ)若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ;
-2-

(Ⅱ)求 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 ; 的 (Ⅲ)设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 ,并证明你 的结论.

M

17.(本小题满分 13 分) 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手,乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓 球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望.

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? )e ( x ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e ,求
-35

a x

a 的值.

19.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦 2 a b 3 点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求 ?ABC 面积的最大值.
已知椭圆 M :

20.(本小题满分 13 分) 若 A1 , A2 ,?, Am 为集合 A ? {1,2,?, n}(n ? 2 且 n? N ) 的子集,且满足两个条件:
*

① A ? A2 ??? Am ? A ; 1 ②对任意的 {x, y} ? A ,至少存在一个 i ? {1,2,3,?, m} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} . 则称集合组 A1 , A2 ,?, Am 具有性质 P . 如图,作 n 行 m 列数表,定义数表中的第 k 行第 l 列

a11 a 21


a12 a 22


? ?

a1m a2m


(k ? Al ) ?1 的数为 a kl ? ? . (k ? Al ) ?0 (Ⅰ)当 n ? 4 时,判断下列两个集合组是否具有性质
P ,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;
集合组 1: A ? {1,3}, A2 ? {2,3}, A3 ? {4} ; 1
-4-


?

a n1

an2

a nm

集合组 2: A ? {2,3, 4}, A2 ? {2,3}, A3 ? {1, 4} . 1 (Ⅱ)当 n ? 7 时,若集合组 A1 , A2 , A3 具有性质 P ,请先画出所对应的 7 行 3 列的一个 数表,再依此表格分别写出集合 A1 , A2 , A3 ; (Ⅲ)当 n ? 100 时,集合组 A1 , A2 ,?, At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组, 求 t 的值及 | A1 | ? | A2 | ?? | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数)

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(七)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
-5-

9. 30?

10. 5

11. 1 ; 75 14.

?

12. (2 2, ) (或其它等价写法) 13. ?2 ; ?6 注:11、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

? 4

1 ; (2k ?1, 2k ), k ? N* . 20

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解 : Ⅰ ) 由 题 意 , sin( x ? ( 所以 x?

? ,k ?Z} . 4 cos 2 x cos 2 x ( Ⅱ ) f ( x) ? ? ? ? ? sin( x ? ) sin x cos ? cos x sin 4 4 4 2 cos 2 x ? sin x ? cos x 2(cos 2 x ? sin 2 x) ? ? 2(cos x ? sin x) . sin x ? cos x 4 2 2 因为 f ( x) ? , 所 以 cos x ? sin x ? . 3 3 所以, sin 2 x ? 1 ? (cos x ? sin x)2 8 1 ? 1? ? . 9 9
函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x x ? k ? ? 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平 面 ABD , AB ? 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD . (Ⅱ)解:由题意, OB ? OD ? 3 , 因为 BD ? 3 2 , 所以 ?BOD ? 90 , OB ? OD . ??????4 分 又因为菱形 ABCD ,所以 OB ? AC , OD ? AC . 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.
?

? ? k ?(k ? Z) , 4 ? 所 以 x ? k ? ? (k ? Z) , 4

? )?0, 4

??????2 分 ??????3 分 ??????4 分 ??????5 分 ??????7 分

??????8 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????12 分 ??????13 分

??????1 分 ??????3 分

B A x O

z M C

A(3 3,0,0), D(0,3,0), B(0, 0,3) .
所以

??? ? ??? ? AB ? (?3 3,0,3), AD ? (?3 3,3,0),

??????6 分
-6-

D

y

设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ??3 3x ? 3z ? 0, ? AB ? n ? 0, ? ? 则有 ? ???? 即: ? ? AD ? n ? 0 ??3 3x ? 3 y ? 0 ? ?
令 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 3 ,所以 n ? (1, 3, 3) . 因为 AC ? OB, AC ? OD ,所以 AC ? 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 所以平面 BOD 的法向量为 n0 ? (1,0,0) . ??????7 分

??????8 分

n0 ? n 1 7 , ? ? n0 n 1? 7 7 因 为 二 面 角 A ? B D? O 锐 角 , 是 cos? n0 , n? ?
7 . ?????9 分 7 ??? ? ??? ? (Ⅲ)解:因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ( x1 , y1 , z1 ) , BN ? ? BD ,
所 以 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 为 的 则 ( x1 , y1 , z1 ? 3) ? ? (0,3, ?3) , 所以 x1 ? 0, y1 ? 3?, z1 ? 3 ? 3? , ?????10 分

??? ? 则 N (0,3? ,3 ? 3? ) , CN ? (3 3,3?,3 ? 3?) ,
1 2 或? ? , 3 3 所以 N 点的坐标为 (0, 2,1) 或 (0,1, 2) . ??? ? ???? ??? ???? ? (也可以答是线段 BD 的三等分点, BN ? 2 ND 或 2BN ? ND )
解得 ? ? 17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知

2 2 2 由 CN ? 4 2 得 27 ? 9? ? (3 ? 3? ) ? 4 2 ,即 9? ? 9? ? 2 ? 0 ,????11 分

?????12 分 ?????13 分

C32 P( A) ? 2 2 C5 C4 1 1 1 ? ? ? . 10 2 20 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 . P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ? C 3 1 ? ? , 2 2 C5 C4 10 ? 6 20
1 1 1 C2C3C32 ? C3 2 ? 3 ? 3 ? 3 7 , ? ? 2 C52C4 10 ? 6 20 1 C32C3 3? 3 3 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20 2 3

??????3 分 ??????5 分 ??????6 分 ??????7 分 ??????9 分 ??????10 分

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?
X 的分布列: X
P

9 . 20
3 3 20

??????11 分

0 1 20

1 7 20

2 9 20

??????12 分
-7-

E( X ) ? 0 ?

1 7 9 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 20 20 20 20 10

??????13 分

18、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? a x e , x2 x2 ? 2x ? 2 x a ? 2 时, f ?( x) ? e , 当 x2 1? 2 ? 2 1 f ?(1) ? ? e ? e , f (1) ? ?e , 12 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ex ? 2e , 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) , 1 所以,所求面积为 ? 2 ? ?2e ? 2e . 2
所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,
2

??????3 分

??????5 分 ??????6 分 ??????7 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点, ??????8 分 ??????9 分 ??????10 分 ??????11 分

则?

?? ? a 2 ? 4a ? 0,

?a ? 0. 所以 a ? 4 . 设 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点, 则 x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? a ,
因为, f ( x1 ) f ( x2 ) ? e5 , 所以, 即

x1 ? a x1 x2 ? a x2 e ? e ? e5 , x1 x2

??????12 分

a ? a2 ? a2 a x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 ? x2 5 e ? e5 , e a ? e 5 , , e ?e a x1 x2 解得, a ? 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点, 所以 a ? 5 . ??????14 分
19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 , 所以 2a ? 2c ? 6 ? 4 2 , ?????1 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

2 2 c 2 2 2 2 a, ,即 ? ,所以 c ? 3 a 3 3 所以 a ? 3 , c ? 2 2 . x2 M 的方程为 ? y 2 ? 1 . 所以 b ? 1 ,椭圆 9
又椭圆的离心率为

(Ⅱ)方法一:不妨设 BC 的方程 y ? n( x ? 3),(n ? 0) ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 3) . n

? y ? n( x ? 3), 1 ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ( ? n ) x ? 6n x ? 9n ? 1 ? 0 , 2 9 ? ? y ?1 ?9
-8-

??????6 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,

81n 2 ? 9 27n 2 ? 3 ,所以 x 2 ? , 9n 2 ? 1 9n 2 ? 1 27 ? 3n 2 同理可得 x1 ? , 9 ? n2 6 1 ? n 2 6n 2 2 所以 | BC |? 1 ? n , | AC |? , 9n 2 ? 1 n 9 ? n2 1 2(n ? ) 1 n , S ?ABC ? | BC || AC |? 1 64 2 (n ? ) 2 ? n 9 1 设t ? n ? ? 2 , n 2t 2 3 则S ? ? ? , 64 64 8 t2 ? t? 9 9t 8 当且仅当 t ? 时取等号, 3 3 所以 ?ABC 面积的最大值为 . 8 方法二:不妨设直线 AB 的方程 x ? ky ? m . ? x ? ky ? m, ? 由 ? x2 消去 x 得 (k 2 ? 9) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 9 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?9 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,
因为 3 x2 ?

??????7 分 ??????8 分 ??????10 分

??????12 分

??????13 分

??????14 分

??????6 分

2km m2 ? 9 , y1 y2 ? 2 . ① k2 ? 9 k ? 9 ? ??? ??? ? 因为以 AB 为直径的圆过点 C ,所以 CA ? CB ? 0 . ??? ? ??? ? 由 CA ? ( x1 ? 3, y1 ), CB ? ( x2 ? 3, y2 ) ,
则有 y1 ? y2 ? ? 得 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? 0 . 将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ?1) y1 y2 ? k (m ? 3)( y1 ? y2 ) ? (m ? 3)2 ? 0 .

??????7 分

??????8 分

12 或 m ? 3 (舍). ??????10 分 5 12 12 所以 m ? (此时直线 AB 经过定点 D ( , 0) ,与椭圆有两个交点) , 5 5 1 所以 S ?ABC ? | DC || y1 ? y2 | 2
将 ① 代入上式,解得 m ?

1 3 9 25( k 2 ? 9) ? 144 ? ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? . 2 5 5 25( k 2 ? 9) 2 1 1 ,0 ? t ? , 设t ? 2 k ?9 9
-9-

?????12 分

9 144 2 ? ?t ? t . 5 25 3 25 1 ? (0, ] 时, S?ABC 取得最大值 . 所以当 t ? 8 288 9
则 S?ABC ? 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:集合组 1 具有性质 P . 所对应的数表为:
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

?????14 分

??????1 分

?????3 分 ??????4 分

集合组 2 不具有性质 P . 因为存在 {2,3} ? ?1,2,3,4} , 有 {2,3} ? A ? {2,3}, {2,3} ? A2 ? {2,3} , {2,3} ? A3 ? ? , 1

与对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ,有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} 矛盾, 所以集合组 A ? {2,3, 4}, A2 ? {2,3}, A3 ? {1, 4} 不具有性质 P . 1 (Ⅱ)
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

??????5 分

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .

?????7 分 ??????8 分

(注:表格中的 7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同) (Ⅲ)设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②, 由条件①: A ? A2 ??? At ? A , 1 可得对任意 x ? A ,都存在 i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai , 所以 a xi ? 1 ,即第 x 行不全为 0, 所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0. ??????9 分 由条件②知, 对任意的 {x, y} ? A , 都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} , Ai ? {x, y} ? {x} 使 或 {y} ,所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列的两个数一定不同. 所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同.
t

??????10 分
t

因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个,去掉全是 0 的 t 元有序数组,共有 2 ? 1 个, 又因数表 M 中任意两行都不完全相同,所以 100 ? 2 ? 1 , 所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个,选
t

择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表, 则数表对应的集合组满足条件①②, 即具有性质 P . 所以 t ? 7 . ??????12 分 因为 | A | ? | A2 | ??? | At | 等于表格中数字 1 的个数, 1
- 10 -

所以,要使 | A | ? | A2 | ??? | At | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少, 1 而 t ? 7 时,在数表 M 中, 1 的个数为 1 的行最多 7 行;
2 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行; 3 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行;

4 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行; 因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 . 所以 | A | ? | A2 | ??? | At | 的最小值为 304 . ??????14 分 1

- 11 -


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