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第二章


§ 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1:过两点 (0,1) , (2, 0) 的直线方程 复习 2:方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 表示以 . 为圆心, 为半径的 .

二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹 是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线?
思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳的 等于常数. 保持不变,即笔尖
F1 F2 P

新知1: 我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; .

试试: 已知 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,到 F1 , F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是 小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 x2 y 2 其中 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 则椭圆的标准方程是 . ,



※ 典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上;
⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .

变式:方程

x2 y ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范围 4 m



小结:椭圆标准方程中: a 2 ? b2 ? c 2 ; a ? b .
?5 3? 例 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? , (2, 0) ,并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准方程 . ?2 2?

变式:椭圆过点

? ?2,0? , (2, 0) , (0,3) ,求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .

※ 动手试试
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个 3 焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) . A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12
练 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆

练 2 .方程

x2 y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的范围. 9 m

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程:

彗星 太阳

※ 知识拓展 1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起,海尔· 波普彗星将 逐渐接近地球,过 4 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 年后,它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔· 波普彗 星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从 而算出它运行周期及轨道的的周长.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2 2.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)
3.如果椭圆

) .

) .

x2 y 2 . ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是( ) 100 36 A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆的标准方程 是 .
5.如果点 M ( x, y ) 在运动过程中,总满足关系式 x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的轨迹 是 ,它的方程是 .

课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 . ⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点 P 3, ?2 6 ;

?

?

2. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,求 n 的值. 4 n

§ 2.1.1 椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1:椭圆上 是 .

x2 y 2 ? ? 1 一点 P 到椭圆的左焦点 F1 的距离为 3 ,则 P 到椭圆右焦点 F2 的距离 25 9

复习 2:在椭圆的标准方程中, a ? 6 , b ? 35 ,则椭 圆的标准方程是 .

二、新课导学 ※ 学习探究 问题:圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的圆心和半径分别是什么?

问题:圆上的所有点到

(圆心)的距离都等于

(半径) ;



反之,到点 (?3,0) 的距离等于 2 的所有点都在 上.

※ 典型例题 例 1 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线 段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

变式: 若点 M 在 DP 的延长线上,且

DM 3 ? ,则点 M 的轨迹又是什么? DP 2

小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆.

4 例 2 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0? ,.直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积是 ? ,求 9 点 M 的轨迹方程 .

变式:点 A, B 的坐标是 ? ?1,0? , ?1,0? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜 率的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?

※ 动手试试
练 1.求到定点 A ? 2,0 ? 与到定直线 x ? 8 的距离之比为
2 的动点的轨迹方程. 2

练 2.一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方 程式,并说明它是什么曲线.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;
②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的关系,然后消去 x0 , y0 ,得到点 M 的轨迹方程.

※ 知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点; 定直线 l 是椭圆的准线; 常数 e 是椭圆的离心率.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在( ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A(?4,0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为( ) .
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) D. ? ? 1 ( y ? 0) 16 9 25 9 4 3. 设定点 F1 (0, ?2) ,F2 (0, 2) , 动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? m ? 则点 P 的轨迹是 ( ) . (m ? 0) , m A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 4.与 y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 . 5. 设 F1 , F2 为定点,| F1 F2 |= 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是 .
A. B. C.

x2 y 2 ? ?1 25 9

y 2 x2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9

课后作业
1.已知三角形 ? ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程.

2.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1 : 2 ,求点的轨迹方程式,并说明轨迹 是什么图形.

§ 2.1.2 椭圆及其简单几何性质(1)
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ,那么它到右焦点的距离是 16 12




复习 2:方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 5 m

二、新课导学 ※ 学习探究
问题 1:椭圆的标准方程 图形:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,它有哪些几何性质呢? a 2 b2

范围: x : 对称性:椭圆关于 顶点: ( )( , 轴、

y:
轴和 )( , 都对称; ) ; ;

)( ,

长轴,其长为 离心率:刻画椭圆

;短轴,其长为

程度. c c 椭圆的焦距与长轴长的比 称为离心率,记 e ? ,且 0 ? e ? 1 . a a

试试:椭圆 图形:

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质呢? 16 9

范围: x : 对称性:椭圆关于 顶点: ( )( , 轴、

y:
轴和 )( , 都对称; ) ; ;

)( ,

长轴,其长为

;短轴,其长为

离心率: e ?

c = a



反思:

b c 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? a b

※ 典型例题 例 1 求椭圆 16x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

变式:若椭圆是 9 x2 ? y 2 ? 81 呢?

小结:①先化为标准方程,找出 a , b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. 例 2 点 M ( x, y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x ?

25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5

小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于 1)的点的轨迹是椭圆 .

※ 动手试试 练 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 ⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? ; 3 3 ⑵焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ? ; 5 ⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ; 3 ⑷长轴长等到于 20 ,离心率等于 . 5

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆的几何性质: 图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;
2 .理解椭圆的离心率.

※ 知识拓展 (数学与生活)已知水平地面上有一篮球,在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆,且篮球与地面 的接触点是椭圆的焦点.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 10 x2 y 2 1.若椭圆 ? ,则 m 的值是( ) . ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 5 15 25 A. 3 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3 2.若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (1,0) , F2 (3,0) ,则其离心率为( ) . 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 4 2 3.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的 3 周长为( ) . A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 2 2 x y 4. 已知点 P 是椭圆 ? 且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积等于 1 , 则点 P ? 1 上的一点, 5 4 的坐标是 . 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 方程是 .

课后作业
1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? x2 y 2 ⑴ 9 x2 ? y 2 ? 36 与 ? ?1 ; 16 12 x2 y 2 ⑵ x2 ? 9 y 2 ? 36 与 ? ?1 . 6 10

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过点 P(?2 2,0) , Q(0, 5) ; ⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 .

§ 2.1.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2.椭圆与直线的关系.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 椭圆

x2 y 2 ? ?1的 16 12 焦点坐标是( ) (
长轴长 离心率 、短轴长 .

) ; ;

复习 2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定?

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?
问题 2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定? 反思:点与椭圆的位置如何判定?

※ 典型例题 例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分. 过 对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由 椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 ,已知 BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm ,试建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

变式:若图形的开口向上,则方程是什么?

小结:①先化为标准方程,找出 a , b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴.

例 2 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 25 9 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 。椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

变式:最大距离是多少?

※ 动手试试 练 1 已知地球运行的轨道是长半轴长 a ? 1.50 ? 108 km ,离心率 e ? 0.0192 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大 和最小距离.

练 2. 经过椭圆 的长.

x2 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, AB 求 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 l , 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆在生活中的运用;
2 .椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 ? 判定) .

※ 知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦,
弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐标.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1.设 P 是椭圆 . ? ? 1 , P 到两焦点的距离之差为 ,则 ?PF1 F2 是( ) 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 为等腰直角 、F 三角形,则椭圆的离心率是( ) .
2 ?1 C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 x2 y 2 3.已知椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形 16 9 的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) . 9 7 9 9 A. B. 3 C. D. 7 4 5 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为 . 2 2 x y 5.椭圆 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A, B 两点,若 ?ABF2 的面积 45 20 是 20 ,则直线 AB 的方程式是 .

A.

2 2

B.

课后作业
1. 求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点坐标. 25 4

3 x2 y 2 ? ? 1 ,一组平行直线的斜率是 2 4 9 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?
2.若椭圆

§ 2.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习 2:在椭圆的标准方程 圆方程.

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符合条件的椭 a 2 b2

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?
如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管, 点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线; 由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的 反思:设常数为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 .



; . .

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 新知 2:双曲线的标准方程:

x2 y 2 ? ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) a 2 b2 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) .
思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

※ 典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6 , 求双曲线的标准方程.

变式: 已知双曲线

x2 y 2 则点 P 到右焦点的距离为 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10, 16 9



例 2 已知 A, B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m / s ,求炮弹爆 炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.

※ 动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

练 2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是 求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状.

4 ,试 9

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. ※ 知识拓展 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B ,C 两处测得的点 P 发出的信号的时间差,就可以求出另 一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定点 P 的准确位置.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( ) . A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2 2 2.双曲线 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) .
A. 5 B. 13 C.
5

D.

13

4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 . x2 y2 5.已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1

课后作业
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,问炮弹爆炸点 在怎样的曲线上,为什么?

§ 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1.理解并掌握双曲线的几何性质.

学习过程
一、课前准备: 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

二、新课导学: ※ 学习探究
问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

范围: x : 对称性:双曲线关于

y:
轴、 轴及 都对称.

顶点: ( )( , ) . 实轴,其长为 ;虚轴,其长为 . c 离心率: e ? ? 1 . a 渐近线: x y x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: ? ? 0 . a b a b 问题 2:双曲线 图形: 范围: x :

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

y:

对称性:双曲线关于 顶点: ( )( , 实轴,其长为 离心率: e ? 渐近线:

轴、

轴及

都对称.

) ;虚轴,其长为



c ?1. a

y 2 x2 . ? ? 1 的渐近线方程为: a 2 b2 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.
双曲线

※ 典型例题
例 1 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

变式:求双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; 2 9 ⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

※ 动手试试
练 1.求以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程. 8 5

练 2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是 F1 (?6,0) ,求它的标准方程和渐近线方程.

三、总结提升: ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. ※ 知识拓展 x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线系方程式为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1. 双曲线 ? . ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.双曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . 2 A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ?0 ) ( ,
x2 y 2 . ? ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 4.双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方程是 . 5.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
3. 双曲线



课后作业
1.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ?

4 的双曲线的标准方程. 3

2.求与椭圆

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的方程. 4 49 24

§ 2.2.2 双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1:说出双曲线的几何性质?

复习 2:双曲线的方程为 其顶点坐标是( 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1, 9 14 ),( );


二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 的焦点是?

探究 2:双曲线的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则可设双曲线方程为?

问题:若双曲线与 x2 ? 4 y 2 ? 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的方程 是?

※ 典型例题 例 1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12m ,上 口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m ,试选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程.

例 2 点 M ( x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ?

16 5 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5

例 3 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,倾斜角为 30? 的直线交双曲线于 A, B 两点,求 A, B 两点的坐标. 3 6

变式:求 AB ? 思考: ?AF1 B 的周长?

※ 动手试试
练 1.若椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 a =____. 4 a a 2

练 2 .若双曲线

3 x2 y 2 x ,求双曲线的焦点坐标. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

三、总结提升 ※ 学习小结 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合;
2.双曲线的另一定义; 3. (理)直线与双曲线的位置关系.

※ 知识拓展
双曲线的第二定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比大于 1 的点的轨迹是双曲线.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 x2 y 2 1. 若椭圆 ? F P 则 ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1, 2, 是两曲线的一个交点, PF1 ? PF2 25 16 4 5 的值为( ) . 21 A. B. 84 C. 3 D. 21 2 x2 y 2 2.以椭圆 ? ) . ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ? 1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 ? 3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P 、Q , F1 是另一焦点,若∠PF1Q ? , 2 则双曲线的离心率 e 等于( ) . A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________.
5.方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k



课后作业
1.已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为 求此双曲线的方程.

x2 y 2 ? ? 1 ,两顶点的距离为 8 ,一渐近线上有点 A(8,6) ,试 a 2 b2

§ 2.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.

学习过程
一、课前准备 复习 1:函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? 1 的图象是 ,它的顶点坐标是( ) ,对称轴是 .

复习 2: M 与定点 F (2,0) 的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1 : 2 , 点 则点 M 的轨迹是什么图形?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:若一个动点 p( x, y ) 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等,这个点的运动轨迹是怎么样的 呢?
新知 1:抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 直线 l 叫做抛物线的 ; .

新知 2:抛物线的标准方程 定点 F 到定直线 l 的距离为 p ( p ? 0 ) . 建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式: 图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标 ?p ? ? ,0? ?2 ?

准线方程 p x?? 2

试试: 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是( 1 抛物线 x 2 ? ? y 的焦点坐标是( 2

) ,准线方程是 ) ,准线方程是

; .

※ 典型例题 例 1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是 F (0, ?2) ,求它的标准方程.

变式:根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4); 1 ⑵准线方程是 x ? ? ; 4 ⑶焦点到准线的距离是 2 .

例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收 天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为 4.8m ,深度为 0.5m ,试建立适当的坐标系,求 抛物线的标准方程和焦点坐标.

※ 动手试试 练 1.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是 F (?5,0 ) ; (2) 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上.

练2 . 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ? 的横坐标是 .

p 则点 M 到准线的距离是 ), 2

, M 点

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程、几何图形. ※ 知识拓展 焦半径公式: 设 M 是抛物线上一点,焦点为 F ,则线段 MF 叫做抛物线的焦半径. p 若 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,则 MF ? x0 ? 2 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.对抛物线 y ? 4 x 2 ,下列描述正确的是( ) . A.开口向上,焦点为 (0,1) 1 B.开口向上,焦点为 (0, ) 16 C.开口向右,焦点为 (1,0) 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16 2.抛物线 x2 ? 8 y ? 0 的准线方程式是( ) . A. x ? 2 B. x ? ?2 C. y ? 2 D. y ? ?2
3.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 4.抛物线 y 2 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
2

. .

5.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为

课后作业
1.点 M 到 F (0,8) 的距离比它到直线 y ? ?7 的距离大 1,求 M 点的轨迹方程.

2.抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离 MF ? 2 p ,求点 M 的坐标.

§ 2.3.2 抛物线的简单几何性质(1)
学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是



复习 2:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有哪些几何性质? 16 9

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又会有怎样的几何性质?
新知:抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点

p (0, ? ) 2

准线

y??
(0, 0) (0, 0)

p 2

顶点 对称轴 x轴 离心率

试试:画出抛物线 y ? 8x 2 的图形, 顶点坐标( ) 、焦点坐标( ) 、 准线方程 、对称轴 、 离心率 . ※ 典型例题

例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标准方程.

变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M (2, ?2 2) 的抛物线有几条?求出它们的标准 方程.

小结:一般,过一点的抛物线会有两条,根据其开口方向,用待定系数法求解. 例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A ,B 两点, 求线段 AB 的长 .

变式:过点 M (2, 0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,求 AB .

小结:求过抛物线焦点的弦长:可用弦长公式,也可利用抛物线的定义求解.

※ 动手试试 练 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: ⑴顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过点 M (5 , ?4) ; ⑵顶点在原点,焦点是 F (0,5) ; ⑶焦点是 F (0, ?8) ,准线是 y ? 8 .

三、总结提升

※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.求过一点的抛物线方程; 3.求抛物线的弦长. ※ 知识拓展 抛物线的通径:过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线,与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径. 其长为 2 p .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列抛物线中,开口最大的是( ) . 1 A. y 2 ? x B. y 2 ? x 2 C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 2.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) .
A. y 2 ? 20 x B. x2 ? 20 y 1 1 C. y 2 ? D. x 2 ? x y 20 20 3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 2 4.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线方程是 D. 4 .

5.过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则

AB =



课后作业
1. 根据下列条件,求抛物线的标准方程,并画出 图形: ⑴顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等到于 6 ; ⑵顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?6, ?3) .

2 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, F 是抛物线的焦点, ?xFM ? 60? ,求 FA .

§ 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)

学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.抛物线与直线的关系.

学习过程
一、课前准备 复习 1:以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 P (?2,3) 的抛物线的方程为( 9 9 4 A. y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? ? y 4 3 4 4 9 4 2 2 2 C. x ? y D. y ? ? x 或 x ? y 2 3 3 ) .

复习 2:已知抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,则 p = 16 12



二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点的横坐标为 6,这点到焦点距离为 10,则:
① 这点到准线的距离为 ② 焦点到准线的距离为 ③ 抛物线方程 ④ 这点的坐标是 ; ; ; ; .

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为

※ 典型例题 例 1 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线 于点 D ,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

例 2 已知抛物线的方程 y 2 ? 4 x , 直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k k 为何值时, 直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :

只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

小结: ① 直线与抛物线的位置关系:相离、相交、相切 ; ②直线与抛物线只有一个公共点时, 它们可能相切,也可能相交.

※ 动手试试 练 1. 直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A , B 两点,求证: OA ? OB .

2.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,且 AB ? 4 3 ,求直线 AB 的方程.

三、总结提升

※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ;
2.抛物线与直线的关系.

※ 知识拓展
过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点,则 为
2 . p

1 1 ? 为定值,其值 MF NF

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,则 AB 的最小值为( ) . p A. B. p C. 2 p D. 无法确定 2 2.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 3.过点 (0,1) 且与抛物线 y 2 ? 4 x 只有一个公共点的直线有( ) . A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 0 条 2 4.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______.
5.抛物线上一点 (?5, 2 5) 到焦点 F ( x,0) 的距离是 6 ,则抛物线的标准方程是 .

课后作业
1.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y ? 2 x ? 1 交于 P , Q 两点, PQ = 15 ,求抛物 线的方程.

2. 从抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲 线.

第二章 圆锥曲线与方程(复习)

学习目标
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.能解决直线与圆锥曲线的一些问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:完成下列表格: 椭圆 定义

双曲线

抛物线

图形

标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 离心率 (以上每类选取一种情形填写) 复习 2: ① 若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为
3 ,则它的长半轴长为__________; 2

②双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,则双曲线的方程为 ③以椭圆

; .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为焦点的抛物线方程为 25 16

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 当 ? 从 0 ? 到 180? 变化时,方程 x2 ? y 2 cos? ? 1 表示的曲线的形状怎样变化?

变式:若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1? k



小结:掌握好每类标准方程的形式.

x2 y 2 =1 ? a2 b2 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. 3 ⑴若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 ⑵设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1 K 的中点的轨迹方程.
例 2 设 F1 , F2 分别为椭圆 C:

变式:双曲线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程. 27 36

※ 动手试试 练 1.已知 ?ABC 的两个顶点 A , B 坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,且 AC , BC 所在直线的斜率之积等 于 m (m ? 0) ,试探求顶点 C 的轨迹.

练 2.斜率为 2 的直线 l 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 交于 A , B 两点,且 AB ? 4 ,求直线 l 的方程. 3 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.直线与圆锥曲线. ※ 知识拓展 圆锥曲线具有统一性: ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线; ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线(不经过定点)距离的比值是一个常数的点的轨 迹,比值的取值范围不同形成了不同的曲线; ⑶它们的方程都是关于 x , y 的二次方程.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 x2 y2 1.曲线 ? ? 1 与曲线 ? ?1 25 9 25 ? k 9 ? k (k ? 9) 的( ) . A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2 2 2 2.与圆 x ? y ? 1 及圆 x ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在( ) . A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 2 3.过抛物线 y ? 8 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 2 2 4.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点,则 k 的取值范围 .
5.到直线 y ? x ? 3 的距离最短的抛物线 y 2 ? 4 x 上的点的坐标是 .

课后作业
1.就 m 的不同取值,指出方程 (m ? 1) x2 ? (3 ? m) y 2 ? (m ? 1)(3 ? m) 所表示的曲线的形状.

x2 与过点 M (0, ?1) 的直线 l 相交于 A , B 两点, O 为原点,若 OA 和 OB 的斜率之和 2 为 1 ,求直线 l 的方程.
2. 抛物线 y ? ?


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