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高一数学第5讲 函数的单调性与最值学案


2017 届高一(上)数学(知识拓展类)选修教程 5

第 5 讲函数的单调性与最值
班级_______姓名_______学号______ 一、函数单调性的判断与证明 [例 1] 已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上

为单调减函数.

二、求函数的单调区间

4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 求 f ( x) 的单调区间和值域. [例 2]已知函数 f ( x) ? 2? x

三:函数单调性的应用 [例 3](1) 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2 1? -x1)<0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为 ( A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c )

? a x ?5 ( x ? 6), ? (2)已知函数 f ( x) ? ? , 若对于任意 n ? N * 都有 f (n) ? f (n ? 1) ,则实数 a 的取 a ?(4 ? ) x ? 4( x ? 6) ? 2
值范围是__________.

四.求函数的最值. [例 4]已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域.

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[例 5]已知 f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9) ,求 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值与最小值。

五.抽象函数单调性 [例 6]函数 f(x)对任意的 a、b∈ R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.

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第 5 讲函数的单调性与最值
班级_______姓名_______学号______ 一、函数单调性的判断与证明 [例 1] 已知函数 f(x)= x +1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. [自主解答] (1)由 2f(1)=f(-1), 可得 2 2-2a= 2+a,所以 a= 2 . 3
2

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,

f(x1)-f(x2)=
= =

x2 1+1-ax1- x2 2+1-a(x1-x2)

x2 2+1+ax2

x2 1+1-
2 x2 1-x2

x2 1+1+

x2 2+1

-a(x1-x2)

=(x1-x2)? ∵0≤x1< ∴0<
2 1

x1+x2 ? -a? ?. 2 2 ? x1+1+ x2+1 ? x2 1+1,0<x2< x2 2+1,

x1+x2 x +1+ x2 2+1

<1.

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. 二、求函数的单调区间

4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 求 f ( x) 的单调区间和值域; 2? x 1 1 答案: f ( x) 递减区间为 (0, ) ; f ( x) 递增区间为 ( ,1) ; 2 2 当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的值域为[-4,-3].
[例 2]已知函数 f ( x) ? 三:函数单调性的应用 [例 3] (1)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)]·(x2

? 1? -x1)<0 恒成立,设 a=f?- ?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为 ? 2?
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

( D )

? a x ? 5 ( x ? 6), ? (2)已知函数 f ( x ) ? ? , 若对于任意 n ? N * 都有 f ( n) ? f ( n ? 1) ,则实数 a a ?(4 ? ) x ? 4( x ? 6) ? 2 的取值范围是__________。 (4, 8)
四.求函数的最值. [例 4]已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6.
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(1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0 3 ?2a2-a-3=0?a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ , 2 ∴a+3>0, ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3 3 ? 17 ? a∈[-1, ]?. =- ? a ? ? + ? 2? ? 4 2? ? 3 ∵二次函数 g(a)在[-1, ]上单调递减, 2 3 19 ? ∴g ? ?2?≤g(a)≤g(-1),即- 4 ≤g(a)≤4, 19 ∴g(a)的值域为[- ,4]. 4 [例 5]已知 f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9) ,求 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值与最小值。
解: ? f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9),?1 ? x 2 ? 9,?1 ? x ? 3 ,
? g ( x) ? (2 ? log3 x) 2 ? 2 ? log3 x 2 ? log3 x ? 6 log3 x ? 6 ? (log3 x ? 3) 2 ? 3 ,
?1 ? x ? 3,? 0 ? log3 x ? 1,? g ( x) max ? 13, g ( x) min ? 6 。
2

2

[例 5]五.抽象函数单调性

函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 解 (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,

则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数. (2) ∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 4? 4 ? 解得-1<m< ,故解集为?-1, ?. 3? 3 ?

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