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2015年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教案 新人教版必修1


3.1.1 方程的根与函数的零点(教学设计)
教学目标: 知识与技能:理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定 条件. 过程与方法:零点存在性的判定. 情感、态度、 价值观:在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点:零点的概念及存在性的判定. 难点:零点的确定. 一、复习回顾,新课导入 讨论:

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 数的图象有什么关系? 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数,分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种 类型. 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ;
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方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ;
2

方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ;
2

再请同学们解方程,并分别画出三个函数的草图. 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两不同根就是相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 0 的图象与 x 轴有
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两个不同交点,且其横坐标就是根; 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个重根就是相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 0 的图象与 x 轴一
2 2

个交点,且其横坐标就是根; 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 无实数根就是相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 0 的图象与 x 轴没有
2 2

交点; 总之,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根就是相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 0 的图象与 x 轴的
2 2

交点的横坐标. 二、师生互动,新课讲解: 1、函数的零点 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point) .
1

显然,函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根,也就是函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的交点的横坐 标. 方程 f ( x) ? 0 有实数根?函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点?函数 y ? f ( x) 有零点. 2、函数零点的判定: 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点,也就是研究函数的图象与 x 轴的交点情况。 问题 1: 如果把函数比作一部电影, 那么函数的零点就像是电影的一个瞬间,一个镜头。有时我们会忽略一些镜 头,但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(如图,第一组第一行两图,第二组第二行两图),哪

一组能说明他的行程一定曾渡过河? 第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河,而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。 问题 2:将河流抽象成 x 轴,将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴怎样的位置关系时,AB 间的 一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点? A、B 两点在 x 轴的两侧。

问题 3: A、B 与 x 轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示? A、B 两点在 x 轴的两侧。可以用 f(a)·f(b)<0 来表示。 问题 4: 满足条件的函数图象与 x 轴的交点一定在(a,b)内吗?即函数的零点一定在(a,b )内吗? 一定在区间(a,b)上。若交点不在(a,b)上,则它不是函数图象。

通过上述探究,让学生自己概括出零点存在性定理:
2

一般地,我们有: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. ⑴函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. ⑵函数零点的求法:求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零 点. ⑶二次函数的零点: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . ② △=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个 二重零点或二阶零点.
2

① △>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

③ △<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 课堂练习: (课本 P88 练习 NO:1)
2

例 1: 观察下表,分析函数 f ( x) ? 3x ? 6x ?1 在定义域内是否存在零点?
5

-2 -109

-1 -10

0 -1 8

1

2 107

分析:函数

图象是连续不断的,又因为

,所以在区间(0,1)上必存在零点。

我们也可以通过计算机作图(如图)帮助了解零点大致的情况。

变式训练 1: (1)已知函数 f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表,则函数在哪几个区间内有零点?为什么?

x f (x)

1 20

2 -5.5

3 -2

4 6

6 18

10 -3

(2)函数 f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5,6]上是否存在零点?若存在,有几个?
3

(3)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

1 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; f ( a ) · f (b) _____0(<或>) . ○ 2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) . ○ 3 在区 间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0(<或>) ○ 例 2(课本 P88 例 1): 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.

分析:用计算器或计算机作出 x, 1 -4.0 2 -1.3 3 1.1 4 3.4

的对应值表和图象。 5 5.6 6 7.8 7 9.9 8 12.1 9 14.2

由表可知,f (2)<0,f (3)>0,则 单调性,进而说明 零点是只有唯一一个.

,这说明函数

在区间(2,3)内有零点。结合函数



变式训练 2:利用函数图象判断下列方程有几个根 (1)2x(x-2)=-3 (2) e ? x ? 0
x

例 3:已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 ,问该函数在区间 (?2,?1) 内是否有零点?
3 3 解:因为 f (?2) ? ?1 ? 0 , f (?1) ? 3 ? 0 ,所以 f (?2) ? f (?1) ? 0 ,又函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是连续的曲线,

所以 f ( x) 在区间 (?2,?1) 内有零点. 变式训练 3:函数 f ( x ) ? ln x ? (A) (1,2) 三、课堂小结,巩固反思:
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2 的零点所在的大致区间是( B ) x (B) (2,3) (C) (e,3) (D) (e,??)

如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,那么,函 数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内至少有一个零点,即相应的方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a, b) 内至少有一个实数解. 会用代数法或几何法(特别转化为两条曲线的交点)来判断零点的个数。 四、布置作业: A 组: 1. (课本 P92 习题 3.1 A 组 NO:2) 2. 求下列函数的零点: ( 1) y ? x 2 ? 5 x ? 4 ; (2) y ? ? x 2 ? x ? 20 ; (3) y ? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ; (4) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) . 3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐 标,画出各自的简图,并指出函数值在哪些区间上大于零,哪些区间上小 于零: ( 1) y ?

1 2 2 x ? 2x ? 1; (2) y ? ?2 x ? 4 x ? 1 . 3

4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: ( 1) y ? (2) y ? x 2 ? 3x ? 4 ; (3) y ? ? x 2 ? 4 x ? 12 x2 ? 9 ;

6.设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1.求函数 f ( x) 的零 点个数。 B 组: 1 1、函数 f(x)=x+ 的零点个数为(

x

A )

A.0 B.1 C.2 D.3 2.若 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( ) A.若 f(a)f(b) <0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 答案 D x 3.方程 2 +x=0 在下列哪个区间内有实数根( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2 ) D.(-1,0) 答案 D 4.若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下列说法中错误的是( ) A.函数 f(x) 在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 答案 C 5.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 答案 B 解析 f(3)=log 33-8+2×3=-1<0,
5

f(4)=log34-8+2×4=log34>0. 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以其零点一定位于区间(3,4).

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