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2013届高三第一次月考数学(文科)试题


2013 届高三第一次月考数学(文科)试题
(本试卷分选择题与非选择题两部分,满分 150 分;考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分; 在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ? ,M ? ? 3 , 4 , 5 ? ,N ? ?1 , 3 , 6 ? , 则集合 ? 2 , 7 ? 等 于 A. M ? N C. ( 痧 M ) ? ( U
N)
3 ? 4i i ?

( B. ( 痧 M ) ? ( U
U U



N)

D. M ? N ( C. ? ? ? i
a c
2

2. 设 i 为虚数单位,则复数 A. ? 4 ? 3i
2



B. ? 4 ? 3i

D. ? ? ? i
? b c
2

3.设命题 p : x ? 2 是 x ? 4 的充要条件,命题 q : 若 A. p ? q ”为真 B. p ? q ”为真 “ “
3

, 则 a ? b ,则





C.p 真 q 假

D.p,q 均为假命题 ( )

4.已知函数 f ( x ) ? x ? x , 则 a ? b ? 0 是 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

5.某几何体的三视图如图所示,它的体积为 A. 7 2 ? B. 4 8? C. ? ? ?

( D. ? ? ?



(第 5 题图)

(第 6 题图)

1

6. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 A. 1 0 5 B. 1 6 C. ? ? 7.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? a 7 ? a11 ? 1 2 ,则 S 1 3 等于 A.52 8.若函数 f ( x ) ? sin ? x ? 小值为 A.
1 3 3? 4

( D. ? ( D.58





B.54

C.56

3 co s ? x , x ? R ,又 f (? ) ? ? , ( f )? 0? 2

,且 | ? ? ? | 的最 ( )

,则正数 ? 的值是 B.
2 3

C.

4 3

D.

3 2

9.为了了解某市高三毕业生升学考试数学成绩情况,从参加考试的学生中随机地抽查了 1000 名学生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,下列说法正确的是 ( ) A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生; B.个体是指 1000 名学生中的每一名学生; C.样本容量指的是 1000 名学生; D.样本指的是 1000 名学生升学考试的数学成绩 10. 要得到函数 y ? sin ? 2 x ?
? ?

? ?

? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 3 ?





A.向左平行移动 C.向左平行移动
x a
2 2

?
3

个单位长度 个单位长度
y b
2 2

B.向右平行移动 D.向右平行移动
3 2

?
3

个单位长度 个单位长度

?
6

?
6

11.已知椭圆 C:

?

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

,双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与
2 2

椭圆有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的方程为 ( A.
x
2



?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

8

2

12

6

16

4
'

20

5

12. 已知 f ( x ) 为定义在 ( ?? , ?? ) 上的可导函数, f ( x ) ? f ( x ) 对于任意 x ? R 恒成立, 且 则 A. f ( 2 ) ? e ? f (0 ) , f ( 2 0 1 3) ? e
2 2013


? f (0 ) ? f (0 ) ? f (0 ) ? f (0 )



B. f ( 2 ) ? e ? f (0 ) , f ( 2 0 1 3) ? e
2

2013

C. f ( 2 ) ? e ? f (0 ) , f ( 2 0 1 3) ? e
2

2013

D. f ( 2 ) ? e ? f (0 ) , f ( 2 0 1 3) ? e
2

2013

2

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f ( x ) ?
1 ? 2 lo g 6 x 的定义域为

共 90 分)


?x ? y ? 1 ? 14.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ?1 ?



15.已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2 x

?

1 y

? 1 ,若 x ? 2 y ? m ? 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围
2

是 ; 16.如图所示,是一个由三根细铁杆 PA , PB , PC 组成的支架, 三根铁杆的两两夹角都是 6 0 ? ,一个半径为 1 的球放在支 架上(支架不变形) ,则球心到 P 的距离为____________.

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 70 分.解答应写出必要的文字说明, 共 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 设 p :| 4 x ? 3 |? 1 ; q : x ? ( 2 a ? 1) x ? a ( a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条
2

件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某县为增强市民的环境保护意识, 面向全县征召义务宣传志愿者. 现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 2 0 , 2 5 ? ,第 2 组 ? 2 5, 3 0 ? ,第 3 组 ? 3 0 , 3 5 ? ,第 4 组 ? 3 5, 4 0 ? ,第 5 组 [ 4 0 , 4 5 ] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率. (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽 取 6 名志愿者参广场的宣传活动, 应从第 3, 4, 5 组各抽取多少名志愿者? (3)在(2)的条件下,该县决定在这 6 名志愿 者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

3

19. (本小题满分 12 分) 四边形 A B C D 与 A ' A B B ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A ' A 的中点, A A ' ? (1)求证:平面 A ' A C ? 平 面 B D E ; (2)求体积 V A ' ? A B C D 与 V E ? A B D 的比值.

平 面 ABCD

20. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n , a n , (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 a n ? 2
2 ? bn

1 2

成等差数列。

,设 cn ?

bn an

求数列 { c n }的前 n 项和 T n .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?
1 2 ax
2

? bx ( a ? 0 )

(1)若 a ? ? 2 时,函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ), 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数 ? ( x ) ? e
2x

? be , x ? [ 0 , ln 2 ], 求函数 ? ( x ) 的最小值。
x

22. (本小题满分 10 分) (选修 4-1,几何证明选讲) 如图,圆 O 和圆 O ′相交于 A , B 两点, A C 是圆 O ′的切线, A D 是圆 O 的切线, 若 B C ? 2 , A B ? 4 ,求 B D .

4

2013 届高三第一次月考数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 BDACC 6—10 CABDC 11、12 DA 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (0, 6 ] 15. ? ? 4 , 2 ? 14. ? 5 16. 3

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 70 分.解答应写出必要的文字说明, 共 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解:由 | 4 x ? 3 |? 1 得, ? 1 ? 4 x ? 3 ? 1 ,故
2

1 2

? x ?1.

由 x ? ( 2 a ? 1) x ? a ( a ? 1) ? 0 ? ? x ? a ? ? x ? ? a ? 1 ? ? ? 0 ? ?
? a ? x ? a ?1

??????6 分

Q ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, ? p 是 q 的充分而不必要条件,
1 ? 1 ?a ? ?1 ? ? 1? ? 0 ? a ? .故所求 a 的取值范围是 0 , 即 ? ,1 ? ? ? a , a ? 1 ? ? ? . 2 ? 2? 2 ?2 ? ? ? ?a ? 1 ? 1 ?

??????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0.02×5=0.1. ??????3 分 (2)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第 3 组:
30 60

×6=3;第 4 组:

20 60

×6=2;第 5 组:

10 60

×6=1.

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ??????7 分 (3)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组 的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1) ,共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:

5

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1) ,共有 9 种. 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为
9 15 ? 3 5



??????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ABCD 为正方形 ∴ B D

? AC

∵ A ' A ? 平 面 ABCE , BD ? 平 面 ABCD ? A ' A ? BD . 又 AC ? A ' A ? A , AC ? 面 A ' AC , AA ' ? 面 A ' AC ? BD ? 平 面 A ' AC ∵ BD ? 平 面 BDE ∴ 平 面 A ' AC
? 平 面 BDE



??????????6 分 ??????????12 分

(2) V A ? A B C D : V E ? A B D ? 4 : 1 (要有计算过程)

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知 2 a n ? S n ? 当 n=1 时, 2 a 1 ? a 1 ?
? a1 ? 1 2 1 2 1 2 , S n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1 2 1 2 ,an ? 0

, 当 n ? 2时 , S n ? 2 a n ?

两式相减得 a n ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ( n ? 2 ), 整理得:
an a n ?1 ? 2(n ? 2)

????????4 分

∴数列 { a n } 是
a n ? a1 ? 2
2
n ?1

1 2

为首项,2 为公比的等比数列。
1 2 ?2
n ?1

?

? 2

n?2

????????5 分

(2) a n ? 2

? bn

? 2

2n?4

,

∴ bn ? 4 ? 2n , c n ?
Tn ? 1 2 8 2 8 2
2

ba aa

?

4 ? 2n 2
n?2

?

16 ? 8 n 2
n

????????6 分

?

0 2
2

? 0 2
3

?8 2
3

?? ?

24 ? 8 n 2 2
n n ?1

?

16 ? 8 n 2
n

① ②

Tn ?

?

?? ?

24 ? 8 n

?

16 ? 8 n 2
n ?1

6

①—②得 T n ? 4 ? 8 (
2

1

1 2
2

?

1 2
3

?? ?

1 2
n

)?

16 ? 8 n 2
n ?1

??????9 分

1 ? 4?8? 2
2

(1 ? 1? 2 1 2

1
n ?1

) ?

16 ? 8 n 2
n ?1

? 4 ? 4 ? (1 ? 2

1
n ?1

)?

16 ? 8 n 2
n ?1

????????11 分

?

4n 2
n

∴Tn ?

8n 2
n

????????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:(1)依题意: h ( x ) ? ln x ? x ? bx .
2

∵ h ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数, ∴ h(x) ? ∴b ?
1 x 1 x ? 2 x. 1 x ? 2x ? 2 2. ? 2 x ? b ? 0 对 x ? ( 0 , ?? ) 恒成立,

????????2 分

∵ x ? 0, 则

∴b 的取值范围为 ( ?? , 2 2 ]. (2)设 t ? e , 则函数化为
x

????????5 分
2

y ? t

? bt , t ? [1, 2 ]

∵ y ? (t ?
b 2

b 2

) ?
2

b

2

.

4
2 时 , 函数 y 在 [1, 2 ] 上为增函数,

∴当 ?

? 1, 即 ? 2 ? b ? 2

当 t=1 时, y min ? b ? 1 . 当1 ? ?
b 2 ? 2 , 即 ? 4 ? b ? ? 2时 , 当 t ? ?
2

????????7 分
b 2 时,

y min ? ?
b 2

b

;

4

当?

? 2 , 即 b ? 4 时 , 函数 y 在 [1, 2 ] 上为减函数,

当 t=2 时, y min ? 4 b ? 2 b .

7

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时 , ? ( x )的最小值为
b
2

b ? 1.

??????10 分

当 ? 4 ? b ? ? 2时 , ? ( x )的最小值为
当 b ? ? 4时 , ? ( x )的最小值为

?

.

2

4 ? 2b

????????12 分

22. (本小题满分 10 分) (选修 4-1,几何证明选讲)

解:∵ A B 是弦,且 A C 与圆 O ′相切于点 A , ∴∠ C A B =∠ D , ∵ A B 是弦,且 A D 与圆 O 相切于点 A , ∴∠ D A B =∠ C . ∴△ A B C ∽△ D B A .
? AB BD ? BC AB ,? B D ? AB
2

????????6 分 ????????10 分

?

4

2

? 8.

BC

2

8


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