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江苏省盱眙县新马中学2013届高三下学期期初检测数学试题


新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题 1. 若 是 ① ; ,则下列不等式对一切满足条件的 . (写出所有正确命题的编号). ② ; ③ ; 恒成立的







2. 、正四面体 ABCD 中, E , F 分别是棱 BC , AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值 为 3.如图,半径为 1 的圆与直线 l 相交于 A、B 两个不同的点,设 ?AOB ? x ,当直 线 l 平行移动时,则圆被直线扫过部分(图中阴影部 分)的面积 s 关于

x 的函数

s(x) =____________________.

4.有一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆 柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点 P ,则点 P 到 点 O 的距离大于 1 的概率为________; 5.对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等” 在立体几何中类比上述的命题, , 可以得到的命题是 。 6.过点 A(4,1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为 7.定义在 R 上的函数 ,求 = 满足 . 。 ,则称 ,当 . 时

x 8.已知实数 x1 满足方程 x ? 2 ? 2 , x2 满足方程 x ? log2 x ? 2 ,则 x1 ? x2 ?

9. 对于函数

,若存在区间

,使得

区间 ①

为函数 ;②

的一个“稳定区间”.给出下列 4 个函数: ,③ f ( x) ? cos

?
2

x



其中存在“稳定区间”的函数有
2 2

(填上所有正确的序号) . .

10.求与直线 x ? 3 y ? 10 垂直的圆 x ? y ? 4 的切线方程

11.以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形形状为
2 2

12.经过圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 36 的圆心,并且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 垂直的直线方程为___ 13.函数 f(x)= x - 4x ? 5x ? 2 的单调减区间为___________________
3 2

14.函数 y= x x 的导数为_______________ 二、解答题 15.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D、E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点, 且 A1A=AC=2AB=2. (I)求证:C1E∥平面 A1BD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 A1BD 的距离.

16.已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数

. 的单调递增区间; 在 的最大值和最小值.

17.求曲线 y ? 2 x 2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

18..已知 f(x)=

(x≠-

,a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1.

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)] [1-f(2)]?[1-f(n)] ,试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项.

19. (本小题 12 分)若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,试确定实数 a 的取 值范围.

20. :如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 的中点,点 E 在边 BC 上移动.

,点 F 是 PB

(1)求三棱锥 E-PAD 的体 积; (2)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置 关 系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF.

参考答案 1.①③⑤ 2.

3 3

1 ( x ? sin x), x ? (0,2? ) 2 2 4. 3
3. 5.夹在两个平行 平面之间的平行线段相等 6. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2 7.-1 8.2 9.②③ 10. 3x ? y ? 2 10 ? 0 11.等腰三角形 12. 2 x ? y ? 11 ? 0

13. (1,

5 ) 3
1

3 14. x 4 4

15. (Ⅰ)证明:取 A B 中点 F,连结 EF,FD. 1

1 1 B1 B , ,又 B1B ? C1C , C1 D ? C1C , 2 2 1 ∴ EF 平行且等于 C1 D , 2
∵ EF ? 所以 C1 EFD 为平行四边形,?????4 分 ∴ C1E // DF ,又 DF ? 平面 A DB , 1

∴ C1E // 平面 A DB .?????6 分 1

(Ⅱ) A B ? AD ? 5 , BD ? 6 ,?????8 分 1 所以 S?A1 BD ?

1 3 1 1 1 1 6? 5? ? 21 , VB ? A1C1 D ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 2 3 2 2 2

VB? A1C1D ? VC1 ? A1BD ,??????10 分


1 1 1 ? ? 21 d ? , 3 2 3

d?

2 21 . 21 2 21 .??????12 分 21

所以点 C1 到平面 A BD 的距离为 1

16. (1) (2)函数 取得最小值 .函数 取得最大值 11.

本试题主要是考查了导数来判定函数的单调区间,并能求解函数给定闭区间的最值问题。基本题型, 需要熟练掌握。 解:(1) 解此不等式,得 因此,函数 . 令 . 的单调增区间为 . ,

(2) 令 当 变化时,

,得 , -2

或 . 变化状态如下表: -1 + 0 11 时,函数 取得最大值 11. 取得最小值 1 0 -1 . + 11 2

-1 从表中可以看出,当 当 时,函数

17.设切点为 P( x0 , y0 ) ,则

y? ? (2x 2 ?1)? ? 4x ,∴ y? x ? x0 ? 4 ,即 4x0 ? 4 ,∴ x0 ? 1
当 x0 ? 1 时, y0 ? 1 ,故切点 P 的坐标为(1,1) . ∴所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) 即 4 x ? y ? 3 ? 0.

18. 1) ( f(x)= × = .⑶xn=

(x≠-1) 2) 1=1-f(1)=1( x .

=

,x2=

×

=

,x3=

×

=

,x4=

(1)把 f(1)=log162=

,f(-2)= 1,

代入函数表达式得

,

整理得

,解得

,

于是 f(x)= (2)x1=1-f(1)=1x2= × =

(x≠-1). = , × = ,

,x3=

x4=

×

=

. , , , ,?,便

(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分,所以规律不明显,若变形为 可猜想 xn= .

19. ?2 ? a ? 2 . 试题分析:a-2=0 时,显然符号要求,当 a-2 不等于零时,由于对应的二次函数的图象都在 x 轴下方, 因而开口向下,判断式小于零. 当 a ? 2 时,原不等式变形为 ?4 ? 0 ,恒成立,即 a ? 2 满足条件;..........4 分 当 a ? 2 时,要使不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 必 须 ................... .............8 分

?a ? 2 ? 0 ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 4 ? 4(a ? 2) ? 0
化 简 得

?a ? 2 ? ?(a ? a2?

) ?

(



2



)



?a ? 2 ? 0??2 ? a ? 2

?

?2 ? a ? 2 ..............................10 分 综上所述, a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 . .........................12 分
考点:一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数图像之间的关系. 点评:在研究形如一元二次不等式恒成立问题时,要注意先对二次项系数进行讨论,然后再结合二次 函数的图像求解.

20. (1)解:∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD, ∴三棱锥 E-PAD 的体积为 .????4 分

(2)当点 E 为 BC 的 中点时, EF 与平面 PAC 平行.∵在△PBC 中, E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF//PC 又 EF 平面 PAC,

而 PC 平面 PAC ∴EF//平面 PAC.?9 分 (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE 平面 ABCD, ∴EB⊥PA.又 EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP 平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB, 又 AF 平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴AF⊥PB, 又∵PB∩BE=B,PB,BE 平面 PBE,∴AF⊥平面 PB E. ∵PE 平面 PBE,∴AF⊥PE.????????14 分


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