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2.4.1抛物线及其标准方程课件(人教A版选修2-1)


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2.4 2.4.1

抛物线

抛物线及其标准方程
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●三维目标 1.知识与技能 掌握抛物

线的定义, 掌握抛物线的四种标准方程形

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式及其对应的焦点、准线.

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2.过程与方法 掌握对抛物线标准方程的推导, 进一步理解求曲线 方程的方法——坐标法.提高学生观察、类比、分析和 概括的能力. 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习,体验研究解析几何的基本思想, 感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用, 进

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一步体会数形结合的思想.

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●重点难点 重点:(1)抛物线的定义及焦点、准线; (2)抛物线的四种标准方程和 p 的几何意义. 难点: 在推导抛物线标准方程的过程中, 如何选择 适当的坐标系. 以多媒体课件为依托, 课件可增强课堂教学的直观 性、趣味性,促进学生积极思维,能够在动态演示过程

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中化解教学难点,突出教学重点.

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●教学建议 本节课主要采用启发引导法.在整个教学过程中, 引导学生观察、分析、归纳,使学生思维紧紧围绕“问 题”层层展开, 培养学生学习的兴趣, 也充分体现了以 教师为主导,学生为主体的教学理念,同时,采用多媒 体辅助教学, 借助多媒体快捷、 形象、 生动的辅助作用, 突出知识的形成过程, 符合学生的认识规律, 也可以增

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加趣味.

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本节课从引入课题开始, 尽可能让学生参与知识的 产生及形成过程, 充分发挥学生的主体作用, 使学生全 方位地参与问题结论的得出, 教师只起到点拨作用. 这 样做增加了学生的参与机会, 提高了参与意识, 教给了 学生获取知识的途径, 思考问题的方法, 使学生真正成 了教学的主体.

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●教学流程设计

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演示结束

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课 1.掌握抛物线的定义及其标准方 标 程.(重点、难点) 解 2. 会由抛物线方程求焦点坐标和准线 读 方程.(易错点)

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抛物线的定义

【问题导思】

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图 2-4-1 如图 2-4-1, 把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置, 一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘, 再把一条绳 子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点 A, 截取 绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,
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并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F, 用一 支铅笔扣着绳子, 紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷 紧, 然后使三角板紧靠着直尺上下滑动, 这样铅笔描出 一条曲线,思考下面两个问题: 1.笔尖(设为动点 M)在运动过程中满足的条件是 什么?

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【提示】 笔尖到直线 l 的距离和到定点 F 的距离 相等.

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2.此曲线是否为椭圆或一支双曲线?为什么?如 果不是,猜想它是什么?
【提示】 不是, 因为它不满足椭圆或双曲线的定 义,抛物线.
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)

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抛物线 .点 F 叫做抛物 距离相等的点的轨迹叫做___________ 焦点 准线 线的__________ ,直线 l 叫做抛物线的________.

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抛物线的标准方程

【问题导思】 抛物线的开口方向不同, 所对应的方程不同, 抛物 线有几种不同形式的方程?

【提示】 随开口方向的不同, 抛物线有四种形式 的方程.

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图形

标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) y2=- 2px (p>0)

p p x=- ( ,0) 2 2 ________ ________

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p p (- ,0) x= 2 ________ ________ 2

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x2=2py (p>0) x2=- 2py (p>0)

p (0, ) ________ 2

p y=- 2 ________

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p p y= (0 ,- ) 2 ________ 2 ________

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求抛物线的标准方程

求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点 M(-6,6); (2)焦点 F 在直线 l:3x-2y-6=0 上. 【思路探究】 情况? (2)所求抛物线的焦点是什么?有几种情况? (1)过点 M(-6,6)的抛物线有几种

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【自主解答】

(1)由于点 M(-6,6)在第二象限,

∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在 x 轴上, 设其方程为 y2=-2px(p>0), 将点 M(-6,6)代入,可得 36=-2p×(-6), ∴p=3. ∴抛物线的方程为 y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在 y 轴上,设其方程为 x2=2py(p>0),
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将点 M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3, ∴抛物线的方程为 x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-6x 或 x2= 6y. (2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是 F(2,0), p ∴ =2,∴p=4, 2 ∴抛物线的标准方程是 y2=8x.

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②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0,-3), 即抛物线的焦点是 F(0,-3), p ∴ =3,∴p=6, 2 ∴抛物线的标准方程是 x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是 y2=8x 或 x2 =-12y.

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1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其 步骤为:(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型; (2)求参数 p 的值; (3)确定抛物线的标准方程. 2.当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设 y2=ax 或 x2=ay(a≠0)的形式,以简化讨论过程.

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分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点在直线 x+3y+15=0 上; (2)开口向下的抛物线上一点 Q(m,-3)到焦点的 距离等于 5.

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【解】

(1)∵直线 x+3y+15=0 与 x 轴交点(-

15,0),与 y 轴交点(0,-5), ∴抛物线方程为:y2=-60x 或 x2=-20y. (2)∵Q(m,-3)到焦点的距离等于 5. ∴Q 到准线的距离也等于 5. p ∴准线:y=2,即 =2,∴p=4. 2 即:抛物线标准方程为:x2=-8y.

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抛物线定义的应用

1 已知点 A(3,2),点 M 到 F( ,0)的距离比它到 2 1 y 轴的距离大 . 2 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存 在,求此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路探究】 (1)根据“动点 M 到 F 的距离比它 1 到 y 轴的距离大 ”你能得出动点 M 到 F 的距离与它到 2 哪条直线的距离相等?M 的轨迹是什么图形?
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(2) 怎样通过抛物线的定义对 |MA| + |MF| 进行转 化?M 在什么位置时该式取得最小值? 1 【自主解答】 (1)由于动点 M 到 F( ,0)的距离 2 1 1 比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M 到 F( ,0)的距离 2 2 1 比它到直线 l:x=- 的距离相等.由抛物线的定义知 2 动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,其 p 1 方程应为 y =2px(p>0)的形式,而 = ,所以 p=1,2p 2 2
2

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=2,故轨迹方程为 y2=2x.
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(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以 |MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|,于 是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|, 所以当 A, M, N 三点共线时, |MA|+|MN|取最小值, 亦即|MA|+|MF| 取最小值,这时 M 的纵坐标为 2,可设 M(x0,2)代入抛 物线方程得 x0=2,即 M(2,2).

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1.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点 的距离等于它到准线的距离, 因此, 抛物线定义的功能 是可以实现点点距与点线距的相互转化, 从而简化某些 问题. 2.本题求解两点间距离和的最小值,可以用抛物 线的定义进行转化,再化折线为直线解决问题.

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已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为( 17 A. 2 ) B.3 C. 5 9 D. 2

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【解析】 由抛物线的定义可知, 抛物线上的点到 准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,

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1 ∴点 P 到准线 x=- 的距离 d=|PF|, 2
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易知点 A(0,2)在抛物线 y2=2x 的外部, 连结 AF 交 y2=2x 于点 P, 欲使所求距离之和最小,只需 A,P,F 共线, ∴其最小值为 |AF|= 12 17 2 ?0- ? +?2-0? = . 2 2

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【答案】
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A
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抛物线的实际应用

河上有抛物线型拱桥, 当水面距拱顶 5 米时, 水 面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水 3 面上的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多 4 少米时,小船开始不能通航? 【思路探究】 建系 → 设方程 → 求方程

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→ 求出相关量 → 解决问题

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【自主解答】

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如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=- 8 2py(p>0),由题意,将 B(4,-5)代入方程得 p= , 5 16 2 ∴抛物线方程为 x =- y. 5 ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航. 设此时船面宽为 AA′,则 A(2,yA), 16 5 由 2 =- yA,得 yA=- . 5 4
2
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3 又知船露出水面上部分为 米,设水面与抛物线拱 4 3 顶相距为 h,则 h=|yA|+ =2(米),即水面上涨到距抛 4 物线拱顶 2 米时,小船不能通航.

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1. 本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题, 利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字 母等)表达、分析、解决问题. 2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧 道、喷泉等,应用抛物线主要体现在:(1)建立平面直 角坐标系,求抛物线的方程.(2)利用已求方程求点的 坐标.

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如图 2-4-2 所示,

图 2-4-2 水池中央有一喷泉,水管的长|O′P|=1 m,水从 喷头 P 喷出后呈抛物线的形状,先向上至最高点后落 下, 若最高点距水面 2 m, 点 P 距抛物线的对称轴 1 m, 则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到个位)

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【解】 如图所示,建立平面直角坐标 系. 设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0). 1 由题意得 P(-1,-1),∴p= , 2 故抛物线的方程为 x2=-y. 设 B(x,-2),则 x= 2,∴|O′B|=1+ 2. ∴水池的直径为 2(1+ 2)≈5(m),即水池的直径至 少应设计为 5 m.

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忽略对焦点位置的讨论致误
顶点在原点,焦点在 x 轴上,过焦点作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A,B 两点,AB 的长为 8,求抛 物线的方程. 【错解】 轴上, 因此设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0). 因为|AB|=2p=8,所以所求抛物线的方程为 y = 8x.
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由于抛物线的顶点在原点,焦点在 x

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2

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【错因分析】 错解中只考虑到焦点在 x 轴正半轴 上的情况, 而忽略了焦点也可能在 x 轴的负半轴上, 因 此漏解. 【防范措施】 抛物线有四种标准方程, 每一种所 对应的焦点与准线都不同, 因此, 在求抛物线的方程时, 要仔细考虑各种情况,以免因漏解而失分.

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【正解】 轴上,

由于抛物线的顶点在原点,焦点在 x

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因此设所求抛物线的方程为 y2=2ax(a≠0). 因为|AB|=|2a|=8,所以 2a=± 8. 故所求抛物线的方程为 y2=± 8x.
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1.利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的 距离转化为到准线的距离, 这一相互转化关系能给解题 带来很大的方便,要注意运用定义解题. 2.在求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有 四种形式,易于混淆,解题时一定要做到数形结合,按 照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的 程序求解.

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1.若动点 P 到定点 F(-4,0)的距离与到直线 x=4 的距离相等,则 P 点的轨迹是( A.抛物线 B.线段 ) C.直线 D.射线

【解析】 【答案】

动点 P 的条件满足抛物线的定义. A
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2.抛物线 x2=-16y 的焦点坐标是(

)

A.(0,-4) B.(0,4) C.(4,0) D.(-4,0)
p 【解析】 =4,焦点在 y 轴上,开口向下,焦点 2 p 坐标应为(0,- ),即(0,-4). 2

【答案】

A

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3.抛物线 y=2x2 的准线方程为________.
1 p 【解析】 化方程为标准方程形式为 x = y, 故 = 2 2 1 1 ,开口向上,∴准线方程为 y=- . 8 8 1 【答案】 y=- 8
2

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4.抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为 -9,它到焦点的距离为 10,求此抛物线方程和 M 点 的坐标.
【解】 p 设焦点为 F(- ,0), 2

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M 点到准线的距离为 d, 则 d=|MF|=10, p 即 9+ =10,∴p=2, 2 ∴抛物线方程为 y2=-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线的方程, 得 y=± 6. ∴M 点坐标为(-9,6)或(-9,-6).
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课时作业(十二)

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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标

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设圆 A 的方程为 x +y -10x=0,求与 y 轴相切, 且与已知圆 A 相外切的动圆圆心 M 的轨迹方程.

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【自主解答】

如图所示,圆 A 的方程可化为(x

-5)2+y2=52,所以 A(5,0),设直线 l 的方程为 x=- 5.
菜 单

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结合已知条件,得动圆圆心 M 到定点 A 和定直线 l 的距离相等,所以动圆圆心 M 的轨迹为抛物线. 根据抛物线的定义可得其轨迹方程为 y2=20x(x> 0). 又由于圆 M 与 y 轴相切, 若圆 M 与 y 轴切于原点, 则必与圆 A 相切.根据外切的条件,得 M 的轨迹方程 为 y=0(x<0),当 x>0 时,圆 M 与圆 A 内切,不符合 条件.

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所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 y =20x(x>0)或 y =0(x<0).
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如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, P 是侧 面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线 C.双曲线

B.圆 D.抛物线

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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

【解析】

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,C1D1

⊥平面 BB1C1C,连结 PC1,则 PC1⊥C1D1,所以 P、 C1 两点间的距离 PC1 即为 P 到直线 C1D1 的距离.所以 在平面 BB1C1C 内,动点 P 到定点 C1 的距离等于到定 直线 BC 的距离.根据抛物线的定义,知点 P 的轨迹所 在的曲线是以点 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的抛物 线.

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【答案】

D

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