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甘肃省兰州市2014年高三第一次诊断考试数学(文)


2014 年兰州市高三第一次诊断考试数学(文科)试卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效。

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? ( A. ( ? 2 , 0 ) B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) ) C. 1 ? 2i D. 2 ? i ) D. ( ? 2 , 3 ) )

2. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i

3?i = ( 1? i
B. 1 ? 2i

3.已知等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a4 ? 4 ,记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,S13=( A.78 B.68 C.56 D.52 )

4.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 (

4 ? 6 3 5.设 a=log3 2,b=log 2 3,c= log 1 5 ,则(
A. 3 ? B. 3 ?
2

?

C. 3 3 ? )

4 ? 3

D. 3 3 ?

?
6

A.c﹤b﹤a

B.a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b. D.b﹤c﹤a

6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? .
·1 ·

其中正确的命题是 ( A.①②

) B.②③ C.③④ D.①④

7. 对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回归直线方程 是y?

?

1 x ? a: ,且 x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数 a 的值是( 3 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 4 2 16



x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1 F2 | 为直径的圆与双曲 a b
线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

9. 执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 为(

)

(A)3 1 (C) 2

4 (B) 3 (D)-2

(第10题图)

10设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a x ? b y ? 2 , a 2 ? b ? 4 ,则 A.1 B.2 C.3

2 1 ? 的最大值为( x y
D.4

)

11.如图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外 两个顶点 C n , Dn 在函数 .若点 Bn 的坐标

f ?x ? ? x ?

?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ,


1 ( x ? 0) 的图象上 x

y Dn Cn

记矩形 An Bn C n Dn 的周长为 a n ,

则 a2

? a3 ? ? ? a10 ? (

O An

Bn

x

A.208 B.216 C.212 D.220 (第 11 题图) 12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件则称 f ( x) 为闭函数:① f ( x) 是 D 上单调函
·2 ·

数;②存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上值域为 [a, b] . 现已知 f ( x) ? 的取值范围是( ) A. ?1 ? k ? ?

2 x ? 1 ? k 为闭函数,则 k

1 2

1 C. k ? ?1 ? k ?1 2 第Ⅱ卷 (90 分)
B.

D. k ? 1

二、 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若等比数列

{an }

的首项是

a1

,公比为 q ,

Sn

是其前 n 项和,则

Sn

=_____________.

? x-y+1≥0 ? 14.如果实数 x,y 满足条件 ?y+1≥0 , ? x+y+1≤0 ?
那么目标函数 z=2x-y 的最小值为____________. 15.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线
2

及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是
?


?

16.函数 f (n) ? log n ?1 (n ? 2)( n ? N ) , 定义使 f (1)?f (2)?f (3) ????f (k ) 为整数的数 k (k ? N ) 叫 做企盼数,则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有 个

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量 m =(cosB, cosC), n =(2a+c,b),且 m ⊥ n .

?? ?

?

?? ?

?

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

3 ,求 a ? c 的范围

18(本小题满分 12 分)公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次: “酒后驾 车”和“醉酒驾车” ,其判断标准是驾驶人员每 100 毫升血液中的酒精含量 X 毫克,当 20≤X<80 时, 认定为酒后驾车;当 X≥80 时,认定为醉酒驾车,张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次 随机拦查行动中,依法检测了 200 辆机动车驾驶员的每 100 毫升血液中的酒精含量,酒精含量 X(单 位:毫克)的统计结果如下表: . X 人数

?0, 20 ?
t

? 20, 40 ?
1

? 40, 60 ?
2

? 60,80 ?
1

?80,100 ?
1

?100, ?? ?
1

依据上述材料回答下列问题: (1)求 t 的值: (2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取 2 人,求这 2 人中含有醉酒驾车司机的概率
P

19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD , ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB / /CD ,

E

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点。
·3 ·
D

A C

B

(1)求证:EC//平面 PAD (2)求证:平面 EAC ? 平面 PBC x2 y2 F2 (1, 0) , 20. (本小题满分 l2 分) 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?1, 0) 、 直线 l : x ? a2 a b ???? ???? ? 交 x 轴于点 A ,且 AF1 ? 2 AF2 .
(1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 面积的最大值和 M 、 N 四点(如图所示) 试求四边形 D M E N 最小值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

(1)当 a ? 0 且 b ? 1 时,证明:对 ?x ? 0 , f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若 b ? 2 ,且 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)数列 ?a n ? ,若存在常数 M ? 0 , ?n ? N ? ,都有 a n ? M ,则称数列 ?a n ? 有上界。已知

1 2 ax ? bx ? 1 , 2

bn ? 1 ?

1 1 ? ? ? ,试判断数列 ?bn ? 是否有上界. 2 n

四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,?ABC 是直角三角形,?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , 点 D 是 BC A 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; E (2)求证: 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB O M D C B 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长 度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin?

( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为

? ? cos( ? ? ) ? 2 2.
4
(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1) 已知 x 、 y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

·4 ·

(2) 如果关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a ? ( x ? 2)2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

数学(文科)答案 (仅供参考)
一、选择题:1——6 D A D D C D 二、填空题: 7——12 BCCBBA

?na1 ? ? ? q ? 1 ? 13 ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? ? ? q ?1 ?
三、 解答题:

14 —3,

15 y 2 ? 3x ,16

9

17.解:∵ m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且 m⊥n.

∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ∴cosB=-1/2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (2)由余弦定理,得

2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac 3 ? (a ? c) 2 ? (
? (a ? c) 2 ? 4
又a ?c ? b ?

a?c 2 3 ) ? (a ? c) 2 2 4

当且仅当 a ? c 时,取等号.。 。 。 。10 分

a?c ? 2
3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 11 分

? a ? c ? ( 3,2] 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

18(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)200-6=194 ?????4 分

(Ⅱ)令酒后驾车的司机分别为 A、B、C 、D,醉酒驾车的司机分别为 a、b 则 所 有 抽
·5 ·











( A, B) , ( A, C ) ,(A,D) ( A, a) , ( A, b) ,(B,D) ( B, C ),( B, a) , ( B, b),(C, a),(C, b),(a, b)
(C,D),(D,a),(D,b) 则含有醉酒驾车司机概率为

9 3 ? ?????12 分 15 5

19(本小题满分 12 分) (1) 作线段 AB 的中点 F.连接 EF,CF.则 AF=CD AF∥CD 所以四边形 ADCF 是平行四边形 则 CF∥AD 又 EF∥AP 且 CF∩EF=F ∴面 CFE∥面 PAD 又 EC 包含于面 CEF ∴EC//平面 PAD …………6 分 (2) (Ⅰ)法一:几何方法证明:勾股定理→AC⊥BC,由已知得 AC⊥PC,证出 AC⊥平面 PCB, 得证.…………………………………………….6 分 20(本题 12 分) 解: (1)由题意, | F1 F2 | ? 2c ? 2,? A(a 2 , 0),
?????? ?

? AF1 ? 2 AF2

? F2 为 AF1 的中点

? a 2 ? 3, b 2 ? 2
即:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 2

…………………………………………(5分)

2 (2)当直线 DE 与 x 轴垂直时, | DE |? 2 b ? 4 ,此时 | MN |? 2a ? 2 3 ,四边形 DMEN 的面积

a

3

S?
S?

| DE | ? | MN | ?4 . 同 理 当 2

MN 与 x 轴 垂 直 时 , 也 有 四 边 形 DMEN 的 面 积

| DE | ? | MN | ?4. 2

当直线 DE , MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE : y ? k ( x ? 1) ,代入消去 y 得:
? ? 6k 2 x1 ? x 2 ? , ? ? 2 ? 3k 2 D ( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ), 则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0. 设

2 4 3 (k 2 ? 1) 所以, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 ? k ? 1 ,所以, | DE |? k 2 ? 1 | x1 ? x 2 |? , 2 ? 3k 2 3k 2 ? 2

同理

1 1 4 3[(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k | MN |? ? . 1 3 2 ? 3(? ) 2 2? 2 k k

………………………9 分

·6 ·

所以四边形的面积

| DE | ? | MN | 1 4 3 (k 2 ? 1) S? ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2

4 3(

1 1 2 ? 1) 24(k ? 2 ? 2) 2 k k ? 1 3 2 6(k ? 2 ) ? 13 2? 2 k k

令 u ? k 2 ? 1 , 得S ? 24(2 ? u ) ? 4 ? 2
k 13 ? 6u

4 13 ? 6u

因为 u ? k 2 ?

1 ? 2, 当 k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 , 2 k 25
25

且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以 96 ? S ? 4 . 综上可知, 96 ? S ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4,最小值为 96 .……12 分
25

25

21 。解:⑴ 当 a ? 0 且 b ? 1 时, 设 g ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , ?x ? 0 ,

g / ( x) ?

1 ? 1 ……1 分,解 g / ( x) ? 0 得 x ? 1 。 x 1 1 当 0 ? x ? 1 时, g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? 1 时, g / ( x) ? ? 1 ? 0 , x x
g ( x) 单 调 递 减 , 所 以 g ( x) 在 x ? 1 处 取 最 大 值 , 即 ?x ? 0 ,

g ( x) ? g (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 即 f ? x ? ? g ? x ? ……4 分
(2)若 b ? 2 , h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? = ln x 所以 h ?? x ? ?

1 2 ax - 2 x ? 1 2

因为函数 h? x ? 存在单调递减区间,所以 h ?? x ? ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 a ? 令t ?

1 ax 2 ? 2 x ? 1 - ax - 2 ? ? x x

1 ? 2x 2 ?1? 在 ?0,?? ? 上有解,即 ?x ? ?0,?? ? 使得 a ? ? ? ? 2 x x ? x?

2

1 , x ? 0 ,则 t ? 0 ,研究 y ? t 2 ? 2t , t ? 0 ,当 t ? 1 时, y min ? ?1 x

所以 a ? ?1 …………8 分 (3)数列 ?bn ?无上界

1 1 1 1 1 n ?1 , x ? 1 ? , 由 ⑴ 得 ln(1 ? ) ? , ? ln ,所以 n n n n n n 1 1 2 3 n ?1 bn ? 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln(n ? 1) ,?M ? 0 ,取 n 为任意一 2 n 1 2 n
?n ? N ? , 设 x ? 1 ?
个不小于 e 的自然数,则 bn ? ln(n ? 1) ? ln e M ? M ,数列 ?bn ? 无上界。…………12
M

·7 ·

分 四、选做题 22.证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH )
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 ? DM ? DO ? DM ? OH .。 1 1 2 所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2 所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分
2

x2 23.(1)曲线 C: 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? y 2 ? 1,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 。 3
(2) 3 2
3 3

P( ?
2

3 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 ,? ) 2 2
2 2 2

24.(1)证明:由 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y ) ? y ( y ? x)

? ( x ? y)( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y ) 2 ( x ? y ) 。 。 。 。 。 。3 分
又 x 、 y 都是正实数, 所以 ( x ? y ) ? 0 、 x ? y ? 0 ,即 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? 0
2 3 3 2 2

所以 x ? y ? x y ? xy 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分
3 3 2 2

(2) 设 g ( x) ? a ? ( x ? 2) ,由函数 f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像可知:
2

f ( x) 在 x ?[?1,5] 时取最小值为 6, f ( x) 在 x ? 2 时取最大值为 a ,
若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 a ? 6 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

·8 ·


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