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【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测25 平面向量的基本概念及线性运算]


课时限时检测(二十五) 平面向量的基本概念及线性运算
(时间:60 分钟 考查知识点及角度 基础 平面向量的有关概念 平面向量的线性运算 共线向量定理的应用 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 a+c 与 b 都是非零向量,则“a+b+c=0”是“b∥(a+c)”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 1 2,3,7 10 4 8,11 9 5,6 12 满分:80 分)命题报告 题号及难度 中档 稍难

若 a+b+c=0,则 b=-(a+c),∴b∥(a+c);

若 b∥(a+c),则 b=λ(a+c),当 λ≠-1 时,a+b+c≠0,因此“a+b+c =0”是“b∥(a+c)”的充分不必要条件. 【答案】 A

2.(2014· 天津模拟)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论 正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| 【解析】 ) B.a⊥b D.a+b=a-b 法一: (代数法)将原等式两边平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a· b

+b2=a2-2a· b+b2, ∴a· b=0,∴a⊥b,故选 B. 法二:(几何法)如图所示,

→ =a,AD → =b,∴AC → =a+b,DB → =a-b.∵|a+b|=|a-b|, 在?ABCD 中,设AB

∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形,∴a⊥b,故 选 B. 【答案】 B

图 4-1-2 → +CD → +EF → =( 3.如图 4-1-2,正六边形 ABCDEF 中,BA A.0 → C.AD 【解析】 【答案】 → B.BE → D.CF → +CD → +EF → =DE → +CD → +EF → =CD → +DE → +EF → =CF →. BA D )

a 4.(2014· 青岛模拟)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使|a|+ b =0 成立的是( |b| 1 A.a=-3b C.a=2b 【解析】 正确. 【答案】 A ) ) B.a∥b D.a⊥b a b 由|a|+|b|=0 可知 a 与 b 必共线且反向,结合四个选项可知 A

5.(2012· 浙江高考)设 a,b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】 2|a||b|+|b|2, 由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,即 a2+2a· b+b2=|a|2-

∴a· b=-|a||b|. ∵a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ,∴cos〈a,b〉=-1, ∴〈a,b〉=π,此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误.当 a⊥b 时,a 与 b 不 反向也不共线,因此 B 错误. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ=-1,使 b=-a,满足 a 与 b 反向共线, 故 C 正确.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a| -|λa|=(1-|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则不能成 立,故 D 错误. 【答案】 C

→ +MB → +MC → =0.若存在实数 m 使得AB → +AC →= 6. 已知△ABC 和点 M 满足MA → 成立,则 m=( mAM A.2 C.4 【解析】 ) B.3 D.5 → +MB → +MC → =0 易得 M 是△ABC 的重心,且重心 M 分中 由MA

→ +AC → =2AE → =mAM → =2m· → ,∴2m=2.∴m 线 AE 的比为 AM∶ME=2∶1,∴AB AE 3 3 =3. 【答案】 B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

图 4-1-3 7.如图 4-1-3 所示,向量 a-b=________(用 e1,e2 表示). 【解析】 【答案】 → =e +(-3e )=e -3e . 由图知,a-b=BA 1 2 1 2 e1-3e2

→ |=8,|AC → |=5,则|BC → |的取值范围是________. 8.若|AB 【解析】 → =AC → -AB → ,当AB → 、AC → 同向时,|BC → |=8-5=3,当AB → 、AC → ∵BC

→ → → → → 反向时, |BC|=8+5=13, 当AB、 AC不共线时, 3<|BC|<13, 综上可知 3≤|BC|≤13. 【答案】 [3,13]

9.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线 的条件是________(将正确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ、μ,使 λa+μb=0; ③xa+yb=0(实数 x,y 满足 x+y=0). 【解析】 由①得 10a-b=0,故①对.②对.对于③,当 x=y=0 时,a

与 b 不一定共线,故③不对. 【答案】 ①②

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)设 a,b 是不共线的两个非零向量. → =2a-b,OB → =3a+b,OC → =a-3b,求证:A、B、C 三点共线. (1)若OA (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值. → =a+b,BC → =2a-3b,CD → =2a-kb,且 A、C、D 三点共线,求 k (3)若AB 的值. 【解】 (1)证明 → =OB → -OA → =a+2b, AB

→ =OC → -OA → =-a-2b. AC → =-AB → ,又因为 A 为公共点, 所以AC 所以 A、B、C 三点共线. (2)设 8a+kb=λ(ka+2b), ?8=λk, ?k=4, ?k=-4, 则? ?? 或? ?k=2λ ?λ=2 ?λ=-2, 所以实数 k 的值为± 4. → =AB → +BC → =(a+b)+(2a-3b)=3a-2b, (3)AC 因为 A、C、D 三点共线, → 与CD → 共线. 所以AC

→ → 从而存在实数 λ 使AC=λCD,即 3a-2b=λ(2a-kb), ?3=2λ, 3 4 得? 解得 λ=2,k=3, ?-2=-λk, 4 所以 k=3.

图 4-1-4 → =1NC → 11.(12 分)如图 4-1-4 所示,在△ABC 中,AN 3 ,P 是 BN 上的一点, → =mAB → + 2 AC → 若AP 11 ,求实数 m 的值. 【解】 → =AB → +BP →, 如题图所示,AP

→ =kBN →, ∵P 为 BN 上一点,则BP → =AB → +kBN → =AB → +k(AN → -AB →) ∴AP → =1NC → ,即AN → =1AC → 又AN 3 4 , → =(1-k)AB → +k AC → 因此AP 4 , k 2 所以 1-k=m,且4=11, 8 3 解得 k=11,则 m=1-k=11. 12.(13 分)设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P → → → =OA → +λ( AB + AC ),λ∈[0,+∞).求点 P 的轨迹,并判断点 P 的轨迹 满足OP → | |AC →| |AB 通过下述哪一个定点: ①△ABC 的外心;②△ABC 的内心;③△ABC 的重心; ④△ABC 的垂心.

【解】

→ → AB AC → → → ,AN → 都是单位向量,∴|AM →| 如图,记AM= ,AN= ,则AM → → |AB| |AC|

→ |,AQ → =AM → +AN → ,则四边形 AMQN 是菱形,∴AQ 平分∠BAC,∵OP → =OA → =|AN → → → → +AP,由条件知OP=OA+λAQ, → =λAQ → (λ∈[0,+∞)),∴点 P 的轨迹是射线 AQ,且 AQ 通过△ABC 的 ∴AP 内心.


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