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山东省兖州市2010-2011学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)


山东省兖州市 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
2011.7 第(Ⅰ)卷 一、选择题(本题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,四个选项中只有一个正确) 1. 若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 2. B.2 C.1 或 2 D.-1 ( )

设火箭发射失败的概率为 0.01,若发射 10 次,其中失败的次数为 X,则下列结论正确 的是 ( ) B.P(X=k)=0.01k×0.9910?k
k D.P(X=k)= C10 0.01k×0.9910?k

A.E(X)=0.01 C.D(X)=0.1 3.

从 20 名男同学, 名女同学中任选 3 名参加体能测试, 10 则选到的 3 名同学中既有男同 学又有女同学的概率为 ( A. )

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29
( )

4.

下列计算错误的是 A. ? sin xdx ? 0
?π π

B. ?
π

1

0

xdx ?

2 3

C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 2 0

π

D. ? sin 2 xdx ? 0


π

5.

函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数是 ( ) B. 2sin 2 x C. 2 cos x D. sin 2x

A. 2 sin x 6.

已知两条曲线 y ? x2 ? 1 与 y ? 1 ? x3 在点 x 0 处的切线平行,则 x 0 的值为 ( A.0 ) B. ?

2 3

C.0或 ?

2 3

D.0 或 1 )

7.

设随机变量 X~N(0,1) ,已知 P( X ? ?1.96) ? 0.025 ,则 P( X ? 1.96) ? ( A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

8.

用数学归纳法证明不等式“
n ? k ? 1 时,不等式的左边

1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中,由 n ? k 到 n ?1 n ? 2 2n 24

1

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1 2( k ? 1) 1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 ? ,又减少了一项 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1 1 1 ,又减少了一项 2( k ? 1) k ?1

A.增加了一项

B.增加了两项

C.增加了两项

D.增加了一项 9.

定义 A ? B,B ? C,C ? D,D ? A 的运算分别对应下图中的 (1) , (2) , (3) , (4), 那么,图中 A,B 可能是下列( ( ) )的运算的结果

A. B ? D , A ? D C. B ? C , A ? D

B. B ? D , A ? C D. C ? D , A ? D

10. 已知(1?2x)7=a0+a1x+a2x2+?a7x7,那么|a1|+|a2|+?|a7|= ( A.?1 ) B.1 C.0 D.37?1

11. 二面角 α-l-β 等于 120° ,A、B 是棱 l 上两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内,AC ⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=BD=1,则 CD 的长等于 ( A. 2 C.2 ) B. 3 D. 5

12. 如图,阴影部分的面积是 ( ) B. ?2 3

A. 2 3

2

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C.

32 3

D.

35 3

第(Ⅱ)卷

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 计算:

(1 ? i)(1 ? 2i) =__________. 1? i

14. 在口袋中有不同编号的 3 个白球和 2 个黑球.如果不放回地依次取两个球,则在第 1 次取到白球的条件下,第 2 次也取到白球的概率是______________. 15. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己, 假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有 一准时响的概率是 .

16. 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑 第四棒,则共有____________多少种参赛方法(用数字作答) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在二项式( x + 理项. 18.(本小题满分 12 分) 求证:32n+2?8n–9(n∈N*)能被 64 整除. 19.(本小题满分 12 分) 求函数 f ? x ? ?

1 )n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有 4 2? x

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3

20.(本小题满分 12 分) 如图在四棱锥 P—ABCD 中底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1) 求证:PA∥平面 EDB; (2) 求证:PB⊥平面 EFD; (3) 求二面角 C?PB?D 的大小.

3

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21.(本小题满分 12 分) 袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球记 0 分,每 取到一个白球记 1 分,每取到一个红球记 2 分,用 X 表示得分数. (1) 求 X 的概率分布列; (2) 求 X 的数学期望 EX. 22.(本小题满分 14 分) 用总长 14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器的底面的一边长比另一 边长多 0.5m,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

4

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兖州市 2011 高二期末数学试题 理科参考答案 2011.7 一、选择题: BDDDD 二、填空题: 13.2?i 三、解答题: 17.解:前三项系数为 C 0 , 1 n 2 2分 由已知 C1 = C 0 + 1 n n 4 4分 即 n2?9n+8=0,解得 n =8 或 n =1(舍去). 6分 展开式的通项为
3r 1 4 r r Tr+1= C 8 ( x )8?r(2· x )?r= C 8 · 2r · x 4 ? 4 ,r =0,1,?,8,

CCCBD

CC

14.

1 2

15. 0.98

16.252

C1 , 1 C 2 , n n 4

?????????????

C2 , n

?????????????

?????????????

?????????????8 分 ∵4? 3r ∈Z 且 0≤r≤8,r∈Z,∴r =0,r =4,r =8, 4 ?????????????10 分
1 ∴展开式中 x 的有理项为 T1=x 4,T5= 35 x,T9= 256 x?2.????????????? 8

12 分 18.方法 1:二项式定理 证明:32n+2?8n–9=9n+1?8n–9=(8+1)n+1?8n–9 分 =8n+1+ C1 ? 1 ·8n+?+ C n ?1 ·82+ C1 ? 1 ·8+ C n ?1 ?8n?9 n n ?1 n n ?1 =82(8n-1+ C1 ? 1 8n-2+?+ C n ?1 )+8(n+1)+1-8n-9???????8 n n ?1 分 =64(8n-1+ C1 ? 1 8n-2+?+ C n ?1 ) n n ?1
5

????????????4

?????????????

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10 分 ∵8n-1+ C1 ? 1 8n-2+?+ C n ?1 ∈Z, n n ?1 ∴32n+2-8n–9 能被 64 整除. 12 分 方法 2:数学归纳法 (1) 当 n=1 时,式子 32n+2?8n–9=34?8?9=64 能被 64 整除,命题成立. ????????????2 分 (2) 假设当 n=k 时,32k+2?8k?9 能够被 64 整除.????????????4 分 当 n=k+1 时, 32k+4?8(k+1) ?9 =9[32k+2?8k?9]+64k+64 =9[32k+2?8k?9]+64(k+1) 8分 因为 32k+2?8k?9 能够被 64 整除, ∴9[32k+2?8k?9]+64(k+1)能够被 64 整除. 10 分 即当 n=k+1 时,命题也成立. 由(1) (2) 可知,32n+2?8n–9(n∈N*)能被 64 整除.???????????12 分 19.解:∵ f ? x ? ? ????????????? ????????????? ?????????????

1 3 x ? 4x ? 4 , 3
?????????????3 分 ?????????????6 分

∴ f ' ? x ? =x2?4=(x-2)(x+2). 令 f ' ? x ? =0,解得 x=2,或 x= -2. 下面分两种情况讨论: 当 f ' ? x ? >0,即 x>2,或 x<-2 时; 当f
'

? x ? <0,即-2<x<2 时.
'

当 x 变化时, f x

? x ? ,f(x)的变化情况如下表:
-2 0 (-2,2) _ 2 0 (2,+∞) + +

(-∞,-2)

f ' ? x?

6

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f(x)

单调递增

28 3

单调递减

?

4 3

单调递增

?????????????9 分 因此,当 x= -2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= 当 x=2 时,f(x)有极小值,且极小值为 f(2) = ? 分 20.解:如图建立空间直角坐标系,点 D 为坐标原点,设 DC=1
P

28 ; 3

4 .???????????12 3

(1) 证明:连结 AC,AC 交 BD 于点 G,连结 EG. 依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E( 0,

1 1 , ). 2 2
D

F

E

因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(

C G

1 1 , ,0 ), 2 2

A B

且 PA ? ?1,0,?1? , EG ? ? ,0,? ? , 所以 PA ? 2EG,即PA / / EG . 而 EG ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB, 因此 PA//平面 EDB.??????????4 分 (2) 证明;依题意得 B(1,1,0), PB ? ?1,1, ?1? . 又 DE ? ? 0, , ? ,故 PB ? DE ? 0 ? 由已知 PB ? EF,且EF ? DE ? E , 所以 PB ? 平面EFD. 8分 (3) 解:已知 PB ? EF , 由(2) 可知 PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角 C-PB-D 的 平面角. 设点 F 的坐标为( x, y, z ),则 PF ? ?x, y, z ? 1? , 因为 PF ? k PB ,所以 ?x, y, z ? 1? ? k ?1,1 ? 1? ? ?k , k ,?k ? ,则 x ? k , y ? k , z ? 1 ? k 因为 PB ? DF ? 0 , 所以 ?1,1,?1? ? ?k , k ,1 ? k ? ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 .
7

?1 ?2

1? 2?

??? ?

??? ?

??? ?

????

? ?

1 1? 2 2?

1 1 ? ? 0 .所以 PB ? DE . 2 2

?????????????

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所以 k ?

1 ?1 1 2? ,点 F 的坐标为 ? , , ? . 3 ?3 3 3?

又点 E 的坐标为 ? 0, , ? ,所以 FE ? ? ?

? 1 1? ? 2 2?

? 1 1 1? , ,? ? ? 3 6 6?

? 1 1 1? ? 1 1 2? 1 ? ? , ,? ? ? ? ? ,? ,? ? FE ? FD ? 3 6 6 ? ? 3 3 3 ? 6 1 因为 cos?EFD ? ? ? ? , 1 2 6 6 FE FD ? 3 6 3
所以 ?EFD ? 60? ,即二面角 C-PB-D 的大小为 60 ? .????????????? 12 分 21.解:(1) 依题意 X 的取值为 0、1、2、3、4 2分 X=0 时,取 2 黑 概率 P(X=0)=
2 C4 1 ? ; C92 6
1 1 C 4 ? C3 1 ? ; 3 C92

?????????????

X=1 时,取 1 黑 1 白

概率 P(X=1)=

X=2 时,取 2 白或 1 红 1 黑, 6分 X=3 时,取 1 白 1 红,

1 1 C 32 C2 ? C4 11 概率 P (X=2)= 2 + ;??????? ? 36 C92 C9

概率 P(X=3)=

1 1 C3 ? C 2 1 ? ; 6 C92 2 C2 1 .??????????? ? 2 C9 36

X=4 时,取 2 红, 8分 ∴X 分布列为 X P 0

概率 P(X=4)=

1

2

3

4

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36

?????????????10 分 (2) 期望 E(X)=0× 分 22.解:设该容器底面矩形的短边长为 x m,则另一边长为 ( x ? 0.5) m,
8

1 1 11 1 1 14 +1× +2× +3× +4× = .????????12 6 3 6 36 36 9

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此容器的高为 y ? 4分

14.8 ? x ? ( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2x , 4

?????????????

于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2x3 ? 2.2 x2 ? 1.6 x ,?????6 分 其中 0 ? x ? 1.6 , 8分 即 V ?( x) ? ?6x2 ? 4.4x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ? 10 分
1.6) 1) 因为, V ?( x) 在 (0, 内只有一个极值点,且 x ? (0, 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递增;
x ? (11.6) 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递减; ,

?????????????

4 (舍去),??????????? 15

?????????????

12 分 所以,当 x ? 1 时,函数 V ( x) 有最大值 V (1) ? 1? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ?1) ? 1.8m3 , 即当高为 1.2m 时,长方体容器的容积最大,最大容积为 1.8m 3 .????????14 分 年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入 一校 二校 高二 学科 数学 版本 期数

山东省兖州市 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) (通用 版) G.622.475 分类索引描述 统考试题与题解 山东省兖州市 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试 栏目名称 名校题库 数学试卷(理科)(通用版) 审稿老师 审核

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