2013高考百天仿真冲刺卷(文科数学试卷三)

2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷（三）
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ，则 z 等于 （A） 1 ? i （B） 1 ? i （C） ? 1 ? i （D） ? 1 ? i （2）命题“ ?x0 ?R ， log 2 x0 ? 0 ”的否定为 （A） ?x0 ?R ， log 2 x0 ? 0 （C） ?x ? R ， log2 x ? 0 ≥0 （B） ?x0 ?R ， log 2 x0≥00 ? （D） ?x ? R ， log2 x ? 0

（3）已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? ln( x ? 1) ，则函数 f ( x) 的大致图像为 y y y y

? 1 O１

x

?1 O 1

x

O

x

O （D）

x

（A） （B） （C） （4）给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行； ③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； ④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是 （A）①和② （B）②和③ （C）③和④ y ④ （5）已知函数 y ? sin ? ?x ? ?? (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分 图象如右图所示，则点 P ? ?, ? ? 的坐标为

（D）②和

? 2

1
? 3

? 3 1 ? （C） ( , ) 2 3
（A） (2, )

? 6 1 ? （D） ( , ) 2 6
（B） (2, )

o
?1

5? 6

x

（6）若右边的程序框图输出的 S 是 126 ，则条件①可为 （A）n≤5 （B）n≤6 （C）n≤7 （D）n≤8 （7）已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ，那么在下列区间中含有函数
x

1 2

1

f ( x) 零点的为 1 （A） (0, ) 3

（B） ( , )

1 1 3 2

-1-

（C） ( ,1)

1 2

（D） (1, 2)

（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为 该点到平面的距离．平面 ? ， ? ， ? 两两互相垂直，点 A ? ? ，点 A 到 ? ， ? 的距离都 是 3 ，点 P 是 ? 上的动点，满足 P 到 ? 的距离是到 P 到点 A 距离的 2 倍，则点 P 的轨迹 上的点到 ? 的距离的最小值为 （A） 3 （C） 6 ? 3 （B） 3 ? 2 3 （D） 3 ? 3 第Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 ． ． （10）在等差数列 ?an ? 中，若 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13 ，则 a4 ? a5 ? a6 ?

0 （ 11 ） 已 知 向 量 a ， b ， c 满 足 a ? b ?2c ? ， 且 a ? c ， | a |? 2 ， | c |? 1 ， 则 | b |? ．
（12）已知 ? ? ( , π) , tan(? ?

π 2

π 1 ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? 4 7

． ；

?2a x , x ? 1, ? （ 13 ） 设 f ( x) ? ? 且 f (2 2) ? 1 ， 则 a ? 2 ?log a ( x ? 1), x ? 1, ? f ( f (2)) ? ．

? x ? 0, ? （14）设不等式组 ? y ? 0, 在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ，则当 k ? 1 时， ? y ? ? kx ? 4k ?
kS 的最小值为 k ?1
．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ． cos C ? （Ⅰ）求证： A ? B ； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 S ?

4 ， c ? 2b cos A ． 5
P

15 ，求 c 的值． 2
E

D

C

A

B

-2-

（16） （本小题共 13 分） 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形． PB ? PD ， E 为 PA 的中点． （Ⅰ）求证： PC ∥平面 BDE ； （Ⅱ）求证：平面 PAC ? 平面 BDE ．

（17） （本小题共 13 分） 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组[75，80)，第 2 组 [80，85)，第 3 组[85，90)，第 4 组[90，95)，第 5 组 0.07 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示． 0.06 (Ⅰ)分别求第 3，4，5 组的频率； (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样 0.05 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3，4，5 组每组各抽取 0.04 0.03 多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 0.02 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考 0.01 官面试的概率．

频率 组距

75

80

85

90

95 100

分数

(18)（本小题共 14 分）

-3-

已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? c ，且 a ? f '( ) ． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）设函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x3 ] ? e x ，若函数 g (x) 在 x ? [?3,2] 上单调递增，求实数 c 的 取值范围．

2 3

（19） （本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 的最大值为 3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；

1 ，椭圆 C 上的点到焦点距离 2

（Ⅱ）若过点 P(0, m) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ，且 AP ? 3PB ，求实数 m 的取值范围．

??? ?

??? ?

（20）(本小题共 13 分)

? a11 ? ? a 21 * 对于 n ? N (n ? 2) ，定义一个如下数阵： Ann ? ? ? ? ?a ? n1
-4-

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? 其中对任意的 ? ?? ? ? a nn ? ?

1 ? i ? n ， 1 ? j ? n ，当 i 能整除 j 时， aij ? 1 ；当 i 不能整除 j 时， aij ? 0 ．
（Ⅰ）当 n ? 4 时，试写出数阵 A44 ； （Ⅱ）设 t ( j ) ?
n
n

?a
i ?1

n

ij

? a1 j ? a 2 j ? ? ? a nj ．若 [x ] 表示不超过 x 的最大整数， 求证：

? t ( j ) ? ?[
j ?1
i ?1

n ]． i

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷（三）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

-5-

（1）A （5）A

（2）D （6）B

（3）C （7）B

（4）D （8）D

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） (2, 0) （10） 42 （11） 2 2 （12） ?

1 5

（13） 7 ； 6 （14） 32 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） （Ⅰ）证明：因为 c ? 2b cos A ，由正弦定理得 sin C ? 2sin B ? cos A ， 所以 sin( A ? B) ? 2sin B ? cos A ，

sin( A ? B) ? 0 ， 在△ ABC 中，因为 0 ? A ? π ， 0 ? B ? π ， 所以 ? π ? A ? B ? π 所以 A ? B ． ????????6 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a ? b ． 4 3 因为 cos C ? ，所以 sin C ? ． 5 5 15 1 15 因为△ ABC 的面积 S ? ，所以 S ? ab sin C ? ， a ? b ? 5． 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 10 所以 c ? 10 ． ????????13 分
（16） （共 13 分） （Ⅰ）证明：因为 E ， O 分别为 PA ， AC 的中点， 所以 EO ∥ PC ． 因为 EO ? 平面 BDE PC ? 平面 BDE 所以 PC ∥平面 BDE ． E ????????6 分 （Ⅱ）证明：连结 OP D 因为 PB ? PD ， 所以 OP ? BD ． A 在菱形 ABCD 中， BD ? AC 因为 OP ? AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE 所以平面 PAC ? 平面 BDE ． ????????13 分 （17） （共 13 分） 解：(Ⅰ)由题设可知，第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ， 第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ， 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 ． ????????3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3 ?100 ? 30 ， 第 4 组的人数为 0.2 ?100 ? 20 ， 第 5 组的人数为 0.1?100 ? 10 ．
-6P

C O B

因为第 3 ， 4 ， 5 组共有 60 名学生， 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组抽取的人数分别为：

30 ?6 ? 3， 60 20 ?6 ? 2 ， 第 4 组： 60 10 ? 6 ? 1． 第 5 组： 60 所以第 3 ， 4 ， 5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1 人． ????????8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A ， A2 ， A3 ， 1 第 4 组的 2 位同学为 B1 ， B2 ，
第 3 组： 第 5 组的 1 位同学为 C1 ． 则从六位同学中抽两位同学有：

( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C1 ), ( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1 ), 共 15 种可能． 其中第 4 组的 2 位同学为 B1 ， B2 至少有一位同学入选的有： ( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ),( B1, B2 ),( A3 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1 ), 共 9 种可能， 9 3 ? ． 所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 15 5
????????13 分 （18） （共 14 分） 解： （Ⅰ）由 f ( x) ? x ? ax ? x ? c ，得 f '( x) ? 3x ? 2ax ?1 ．
3 2 2

2 2 2 2 2 2 时，得 a ? f '( ) ? 3 ? ( ) ? 2 f '( ) ? ( ) ? 1 ， 3 3 3 3 3 解之，得 a ? ?1 ． ????????4 分
当x? （Ⅱ）因为 f ( x) ? x ? x ? x ? c ．
3 2

从而 f '( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) ，列表如下：
2

1 3

x
f ' ( x) f (x)

1 (?? , ? ) 3
＋ ↗

?

1 3

1 (? , 1) 3
－ ↘

1 0 有极小值

(1 , ? ?)
＋ ↗

0 有极大值

所以 f (x) 的单调递增区间是 (?? , ? ) 和 (1 , ? ? ) ；

1 3

1 f (x) 的单调递减区间是 (? , 1) ． 3
（Ⅲ）函数 g ( x) ? ( f ( x) ? x ) ? e ? (? x ? x ? c) ? e ，
3 x 2 x x 2 x 2

????????9 分

有 g（x) ? (?2 x ?1)e ? (? x ? x ? c)e = (? x ? 3x ? c ?1)e ， '
x

因为函数在区间 x ? [?3,2] 上单调递增，

-7-

等价于 h( x) ? ? x2 ? 3x ? c ?1 ? 0 在 x ? [?3,2] 上恒成立， 只要 h(2) ? 0 ≥0，解得 c ? 11 ≥11，

? 11． 所以 c 的取值范围是 c ≥11 （19） （共 14 分）
解： （Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

????????14 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 由题意： ? a ? c ? 3 ? ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?c ? 1 ? ? x2 y 2 ? ? 1． 所求椭圆方程为： 4 3
（Ⅱ）若过点 P(0, m) 的斜率不存在，则 m ? ?

????????5 分

3 ． 2 3 若过点 P(0, m) 的直线斜率为 k ，即： m ? ? 时， 2 直线 AB 的方程为 y ? m ? kx ? y ? kx ? m ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 由? 2 3 x ? 4 y 2 ? 12 ? ? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) 因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点 2 2 所以 ? ? 0 ， 4k ? m ? 3 ? 0 2 2 所以 4k ? m ? 3 ① 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ??? ? ??? ? 8km 4m2 ? 12 , x1 x2 ? 由已知 AP ? 3PB ，则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? AP ? (?x1, m ? y1 ), PB ? ( x2 , y2 ? m) ③ ? x1 ? 3x2

②

4km 2 4m2 ? 12 ) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 2 2 2 整理得： 16m k ? 12k ? 3m ? 9 ? 0 9 ? 3m 2 9 ? 3m2 2 2 ? m2 ? 3 所以 k ? 代入①式得 4k ? 2 2 16m ? 12 4m ? 3 2 2 3 4m (m ? 3) ? 0 ，解得 ? m 2 ? 3 ． 2 4 4m ? 3 3 3 ?m? 3． 所以 ? 3 ? m ? ? 或 2 2 3 3 ] ? [ , 3) ． 综上可得，实数 m 的取值范围为： (? 3, ? 2 2
将③代入②得： ?3( ????????14 分

-8-

（20）(共 13 分)

?1 ? 0 解： （Ⅰ）依题意可得， A44 ? ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 0 1 0

1? ? 1? 0? ? 1?
????????4 分

（Ⅱ）由题意可知， t ( j ) 是数阵 Ann 的第 j 列的和， 因此

? t ( j ) 是数阵 A
j ?1

n

nn

所有数的和．

而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加． 对任意的 1 ? i ? n ，不超过 n 的倍数有 1i ， 2i ，?， [ ]i ． 因此数阵 Ann 的第 i 行中有 [ ] 个１，其余是 0 ，即第 i 行的和为 [ ] ． 所以

n i

n i

n i

? t ( j ) ? ?[
j ?1
i ?1

n

n

n ]． i
????????13 分

-9-