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3.2二倍角的三角函数(一)学案教师版


淮安区数学优课竞赛学案

淮安市钦工中学

路朋超

课题:§3.2 二倍角的三角函数(一)
【学习目标】 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等 证明; 2.引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用, 培养学生的创新意识. 【重点难点】 学习重点:二倍角公式的推导及简单应用. 学习难点:理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 【学习过程】 一、 温故知新 1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: .(2)商数关系: 2 两角和的正弦、余弦和正切公式

C(? ?? ) : cos(? ? ? ) =

; ; .

S (? ?? ) : sin(? ? ? ) =

T(? ?? ) : tan(? ? ? ) =
二、自主学习与交流反馈: 问题 1:函数 y ? sin x 与 y ? sin 2 x 图像之间有什么关系?

问题 2:有形到数角 α 与角 2α 的三角函数之间又有什么联系?

问题 3:我们如何由 C(? ?? ) , 三、知识建构与应用: sin2α = cos2α = tan2α = .

S (? ?? ) , T(? ?? ) 推导 C(? ?? ) , S (? ?? ) , T(? ?? )
(S2α) (C2α) (T2α)

说明:①“二倍角”的意义是相对的,如:
2 2

? ? 是 的二倍角; 4 8

②观察公式特征: “倍角”与“二次”的关系; ③利用三角函数关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ,

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路朋超
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可将余弦的倍角公式变形为: cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ,

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? , cos 2? ? 2cos2 ? ?1 , cos 2? ?? 1 ? 2sin 2 ? 统称 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 为“升幂公式” ;类似地也有公式: cos ? ? , sin ? ? 称为 2 2
“降幂公式” ,这两个形式今后常用; ④注意公式成立的条件,特别是二倍角的正切公式成立的条件:

? ? k? ? ? ? k? ,? ? ? (k ? Z ) . 2 4 2

三、例题 例 1 已知 sin ? ?

12 ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 13 2

例 2 化简:⑴ 1 ? sin 40 ;⑵ 1 ? cos 20 ;

归纳: 1 + sinα = _____ ; 1 - sinα = _______ ; 1 + cosα = ______ ; 1 - cosα = ______. 例 3 求证:

1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

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四、巩固练习 1.利用倍角公式求下列各式的值.

① sin

π π cos = 8 8

; ② cos 2 ; ④

π π ? sin 2 = 8 8

; .

③ 2 sin 2 15? =

2 tan15? = 1 ? tan2 15?

2.已知. tan ? ?

1 ? , 求 tan( ? 2? ) 的值。 2 2

3.证明: ① 2sin(π ? ? ) cos( π ? ? ) ? sin 2? ; ③
1 ? cos 2? ? 2 sin ? ; sin ?

② 1 ? 2 cos2 ? ? cos2? ? 2 ; ④
1 ? cos 2 A ? tan 2 A . 1 ? cos 2 A

五、回顾反思

六、作业


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