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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷


2014-2015 学年辽宁省沈阳二中高一(下)期中数学试卷
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知向量 A. 1 B. =(1,n) , C. =(﹣1,n) , D. 4 垂直于 ,则| |=( )

2.已知 cos(θ+ A.
2 2

)= B.

,θ∈(0, C.

) ,则 cosθ=( D.



3.设圆 C:x +y =4,直线 l:y=x+b.若圆 C 上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b 的 取值范围是( ) A. [﹣ , ] B. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) C. (﹣ ,﹣1)∪(1, ) D. (﹣ , ) 4.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. B. ) C. 0 D .
2 2

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

5.过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为( ) A. 2x+y﹣3=0 B. 2x﹣y﹣3=0 C. 4x﹣y﹣3=0 D. 4x+y﹣3=0 6.若 3sinα+cosα=0,则 A. B. C. D. ﹣2 的值为( )

7.设函数 线 x=0 对称,则( ) 上为增函数 上为减函数

,且其图象关于直

A. y=f(x)的最小正周期为 π,且在 B. y=f(x)的最小正周期为 π,且在

C. y=f(x)的最小正周期为 D. y=f(x)的最小正周期为

,且在 ,且在

上为增函数 上为减函数

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的结果是(



A.

B.

C.

D.

9.函数 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.设方程 2 +x+2=0 和方程
x

+2cosπx(﹣2≤x≤4)的所有零点之和等于(



的根分别为 p 和 q,若函数 f(x)=(x+p) (x+q)

+2,则( ) A. f(0)<f(2)<f(3) B. f(0)=f(2)<f(3) C. f(3)<f(2)=f(0) D. f(0)<f(3)<f(2) 11.给出以下四个选项,正确的个数是( ) ①函数 f(x)=sin2xcosx 的图象关于直线 x=π 对称 ②函数 y=3?2 +1 的图象可以由函数 y=2 的图象仅通过平移得到. ③函数 y= ln ④在△ ABC 中,若 与 y=lntan 是同一函数. = = ,则 tanA:tanB:tanC=3:2:1.
x x

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个

12.C 为线段 AB 上一点,P 为直线 AB 外一点,满足| = , =λ , = +m( +

|=|

|=4

,|



|=2 )



) ,m>0,则 λ=(

A. 1 B.

C. 4 D. 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 α∈( ,π) ,sinα= ,则 tan2α= .

14.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是 (cm) .

15.已知△ ABC 是锐角三角形,P=sinA+sinB,Q=cosA+cosB,则 P 与 Q 的大小关系 为 . 16.设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2014 成立,若函数 g(x)=f(x)+2014x
2013

有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=



三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2005?天津)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、 b、c 满足条件 b +c ﹣bc=a 和 = +
2 2 2

,求∠A 和 tanB 的值.

18. (12 分) (2010 秋?淄博校级期中) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已 知 =(cos ,sin ) , =(cos ,sin ) ,且满足| + |= .

(1)求角 A 的大小; (2)若| |+| |= | |,试判断△ ABC 的形状.

19. (12 分) (2010?台州一模)已知向量 =(sin(x+ 数 f(x)=m( ? + sin2x) , (m 为正实数) .

) ,sinx) , =(cosx,﹣sinx) ,函

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移 个单位得到 y=g(x)的图象,试探讨:当 x?[0,π]时,函数 y=g(x)与 y=1 的图象的 交点个数. 20. (12 分) (2015 春?沈阳校级期中)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底 面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点,G 在 BC 上,且 CG= CB (1)求证:PC⊥BC; (2)求三棱锥 C﹣DEG 的体积; (3)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG?若存在,求 AM 的长;否则,说明 理由.

21. (12 分) (2011?银川校级模拟)已知圆 C 经过 P(4,﹣2) ,Q(﹣1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B,∠AOB=90°,求直线 l 的方程. 22. (12 分) (2014?沈北新区校级一模)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是 定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 的值.
2x
﹣2x

x

﹣x

﹣2m?f(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m

2014-2015 学年辽宁省沈阳二中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知向量 A. 1 B. =(1,n) , C. =(﹣1,n) , D. 4 垂直于 ,则| |=( )

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量垂直的坐标表示,列出方程,求出向量 ,再求| |的值. 解答: 解:∵向量 =(1,n) , =(﹣1,n) ,且 ⊥ , ∴1×(﹣1)+n =0, 解得 n=±1; ∴ =(1,±1) ∴| |= = .
2

故选:C. 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了向量垂直的坐标表示,是基础题目. ,θ∈(0, C.

2.已知 cos(θ+ A.

)= B.

) ,则 cosθ=( D.



考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由同角三角函数的基本关系可得 sin(θ+ (θ+ )+ sin(θ+ ) ,代入计算可得. )= ,θ∈(0, = )﹣ ] ) , , ) , ) ,而 cosθ=cos[(θ+ )﹣ ]= cos

解答: 解:∵cos(θ+ ∴sin(θ+ )=

∴cosθ=cos[(θ+ = = cos(θ+ +

)+ sin(θ+ =

故选:B. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题. 3.设圆 C:x +y =4,直线 l:y=x+b.若圆 C 上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b 的 取值范围是( ) A. [﹣ , ] B. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) C. (﹣ ,﹣1)∪(1, ) D. (﹣ , )
2 2

考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 若圆 C 上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1,则 O 到直线 l:y=x+b 的距离 d 小于 1, 代入点到直线的距离公式,可得答案. 2 2 解答: 解:由圆 C 的方程:x +y =4,可得 圆 C 的圆心为原点 O(0,0) ,半径为 2 若圆 C 上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1, 则 O 到直线 l:y=x+b 的距离 d 小于 1 直线 l 的一般方程为:x﹣y+b=0 ∴d= <1

解得﹣ <b< 故选 D 点评: 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,其中分析出圆心 O 到直线 l:y=x+b 的距离 d 小于 1 是解解答的关键. 4.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. B. ) C. 0 D . 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平 移 个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.

解答: 解:令 y=f(x)=sin(2x+φ) , 则 f(x+ ∵f(x+ ∴ )=sin[2(x+ )为偶函数, , )+φ]=sin(2x+ +φ) ,

+φ=kπ+

∴φ=kπ+

,k∈Z, . .

∴当 k=0 时,φ=

故 φ 的一个可能的值为

故选 B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.

5.过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为( ) A. 2x+y﹣3=0 B. 2x﹣y﹣3=0 C. 4x﹣y﹣3=0 D. 4x+y﹣3=0 考点: 圆的切线方程;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意判断出切点(1,1)代入选项排除 B、D,推出令一个切点判断切线斜率, 得到选项即可. 2 2 解答: 解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,所以 圆的一条切线方程为 y=1,切点之一为(1,1) ,显然 B、D 选项不过(1,1) ,B、D 不满 足题意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项 C 不满足,A 满足. 故选 A. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是 间接法,值得同学学习. 6.若 3sinα+cosα=0,则 A. B. C. D. ﹣2 的值为( )

2

2

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 首先考虑由 3sinα+cosα=0 求 在根据半角公式代入直接求解,即得到答案. 解答: 解析:由 3sinα+cosα=0?cosα≠0 且 tanα=﹣ 的值, 可以联想到解 sinα, cosα 的值,

所以 故选 A. 点评: 此题主要考查同角三角函数基本关系的应用,在三角函数的学习中要注重三角函数 一系列性质的记忆和理解,在应用中非常广泛.

7.设函数 线 x=0 对称,则( ) 上为增函数 上为减函数 上为增函数

,且其图象关于直

A. y=f(x)的最小正周期为 π,且在 B. y=f(x)的最小正周期为 π,且在 C. y=f(x)的最小正周期为 ,且在

D. y=f(x)的最小正周期为

,且在

上为减函数

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 将函数解析式提取 2,利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为 一个角的余弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式,求出函数的最小正周期,再由函数图象 关于直线 x=0 对称,将 x=0 代入函数解析式中的角度中,并令结果等于 kπ(k∈Z) ,再由 φ 的范围,求出 φ 的度数,代入确定出函数解析式,利用余弦函数的单调递减区间确定出函 数的得到递减区间为[kπ,kπ+ 得到函数在(0, ](k∈Z) ,可得出(0, )?[kπ,kπ+ ](k∈Z) ,即可

)上为减函数,进而得到正确的选项. cos(2x+φ)+sin(2x+φ)

解答: 解:f(x)= =2[

cos(2x+φ)+ sin(2x+φ)] ) ,

=2cos(2x+φ﹣ ∵ω=2, ∴T= =π,

又函数图象关于直线 x=0 对称, ∴φ﹣ 又|φ|< ∴φ= =kπ(k∈Z) ,即 φ=kπ+ , , (k∈Z) ,

∴f(x)=2cos2x, 令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z) ,解得:kπ≤x≤kπ+ ∴函数的递减区间为[kπ,kπ+ 又(0, )?[kπ,kπ+ ](k∈Z) , (k∈Z) ,

](k∈Z) ,

∴函数在(0,

)上为减函数, )上为减函数.

则 y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,

故选 B 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,余弦函数的对称性,余弦函数的单调性, 以及两角和与差的余弦函数公式,其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破 点.

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的结果是(



A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,该程序框图的意图是求 S=1+ + + 的值,由此不难得到本题的答案. 解答: 解:由题意,k、S 初始值分别为 1,0.当 k 为小于 5 的正整数时,用 S+ 的值代 替 S,k+1 代替 k, 进入下一步运算.由此列出如下表格

因此,最后输出的 s=1+ + + = 故选:C 点评: 本题给出程序框图,求最后输出的 s 值,着重考查了分数的加法和程序框图的理解 等知识,属于基础题.

9.函数 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

+2cosπx(﹣2≤x≤4)的所有零点之和等于(



考点: 根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 专题: 综合题.

分析: 构造函数

,确定函数 图象关于直线 x=1 对称,利用﹣2≤x≤4

时,函数 数 解答: 解:构造函数 ∵﹣2≤x≤4 时,函数 称 ∴函数 ∵﹣2≤x≤4 时,函数 ∴函数

图象的交点共有 6 个,即可得到函 的所有零点之和.

图象都关于直线 x=1 对

图象关于直线 x=1 对称 图象的交点共有 6 个 的所有零点之和等于 3×2=6

故选 C. 点评: 本题考查函数的零点,解题的关键是构造函数,确定函数图象的对称性及图象的交 点的个数. 10.设方程 2 +x+2=0 和方程
x

的根分别为 p 和 q,若函数 f(x)=(x+p) (x+q)

+2,则( ) A. f(0)<f(2)<f(3) B. f(0)=f(2)<f(3) C. f(3)<f(2)=f(0) D. f(0)<f(3)<f(2) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把两个方程分别看作指数函数与直线 y=﹣x﹣2 的交点 B 和对数函数与直线 y=﹣x ﹣2 的交点 A 的横坐标分别为 p 和 q,而指数函数与对数函数互为反函数则关于 y=x 对称, 求出 AB 的中点坐标得到 p+q=﹣2.然后把函数 f(x)化简后得到一个二次函数,对称轴为 直线 x=﹣ =1,所以得到 f(2)=f(0) ,再根据二次函数的增减性得到 f(2)和 f(0)

都小于 f(3)得到答案. x x 解答: 解:方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 可以分别看作方程方程 2 =﹣x﹣2 和方程 log2x=﹣x﹣2, x x 方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q,即函数 y=2 与函数 y=﹣x﹣2 的交 点 B 横坐标为 p; x x x y=log2 与 y=﹣x﹣2 的交点 C 横坐标为 q.由 y=2 与 y=log2 互为反函数且关于 y=x 对称, 所以 BC 的中点 A 一定在直线 y=x 上,联立得 .

解得 A 点坐标为(﹣1,﹣1)根据中点坐标公式得到
2

=﹣1,即 p+q=﹣2, =1,

则f (x) = (x+p) (x+q) +2=x + (p+q) x+pq+2 为开口向上的抛物线, 且对称轴为 x=﹣ 得到 f(0)=f(2) ,且当 x>1 时,函数为增函数,所以 f(3)>f(2) , 综上,f(3)>f(2)=f(0) , 故选 B.

点评: 此题是一道综合题,考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质,要求学 生掌握反函数的性质,会利用二次函数的图象与性质解决实际问题,属于中档题. 11.给出以下四个选项,正确的个数是( ) ①函数 f(x)=sin2xcosx 的图象关于直线 x=π 对称 ②函数 y=3?2 +1 的图象可以由函数 y=2 的图象仅通过平移得到. ③函数 y= ln ④在△ ABC 中,若 与 y=lntan 是同一函数. = = ,则 tanA:tanB:tanC=3:2:1.
x x

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数图象的对称变换,分析函数 f(x)=sin2xcosx 的图象关于直线 x=π 对称后 的函数解析式与原函数解析式的关系,可判断①; 根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则,可判断②; 分析两个函数的定义域和对应关系是否一致,可判断③; 根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化,求出 tanA:tanB:tanC 的值,可 判断④ 解答: 解:①函数 f(x)=sin2xcosx 的图象关于直线 x=π 对称变换后的解析式为:f(x) =sin2(2π﹣x)cos(2π﹣x)=sin(4π﹣2x)cos(2π﹣x)=﹣sin2xcosx, x=π 不是函数 f(x)=sin2xcosx 的图象的对称轴,故①错误;

②函数 y=3?2 +1=

x

的图象可以由函数 y=2 的图象向左平移 log23 个单位, 再向

x

上平移 1 个单位得到,故②正确; ③函数 y= ln = ln = ln = ln =lntan ,

但函数 y= ln

的定义域与函数 y=lntan 的定义域不同,

故两个函数不是同一函数,故③错误; ④在△ ABC 中,若 则 则 = , , = ,

则 tanA=3tanB 且 tanA=2tanC, 则 tanA:tanB:tanC=6:3:2,故④错误. 故正确的命题的个数是 1 个, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档.

12.C 为线段 AB 上一点,P 为直线 AB 外一点,满足| = , =λ , = +m( +

|=|

|=4

,|



|=2 )



) ,m>0,则 λ=(

A. 1 B.

C. 4 D. 2

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: 根据向量的正交分解,将 沿 和 方向分解,设得到两个向量为 和 ,得到

四边形 ADIE 为菱形,由菱形的性质及根据角平分线定理即可求出. 解答: 解:∵ ∴PC 平分∠APB, 将 设 沿 和 方向分解,设得到两个向量为 方向上的单位向量, 和 , 方向上的单位向量, = ,

为 m 倍的

为 m 倍的

∵单位向量的模长为 1, ∴| |=| |=m,

∴四边形 ADIE 为菱形, ∴AI 平分∠PAC, ∵| ﹣ |=| |=2 ,| |=| = |=4 , =λ =4, ,

∴根据角平分线定理,得 λ= 故选:C.

点评: 本题考查了向量的正交分解,以及有关四边形和角平分线的性质,属于中档题 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 α∈( ,π) ,sinα= ,则 tan2α= ﹣ .

考点: 二倍角的正切;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 利用题目提供的 α 的范围和正弦值,可求得余弦值从而求得正切值,然后利用二倍 角的正切求得 tan2α. 解答: 解:由 α∈( ∴tan2α= ,π) ,sinα= =﹣ ,得 cosα=﹣ ,tanα= =

故答案为:﹣ 点评: 本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系,是个基础题. 14.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是 (cm) .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥;结合图中数据即可 求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得: 该几何体是底面为矩形,高为 且底面矩形的长为 4,宽为 2, 所以,该四棱锥的体积为 V= ×4×2× 故答案为: = . . = 的直四棱锥;

点评: 本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题,是基础题目. 15.已知△ ABC 是锐角三角形,P=sinA+sinB,Q=cosA+cosB,则 P 与 Q 的大小关系为 P >Q . 考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数线;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 作差由和差化积公式可得 P﹣Q=2cos (sin ﹣cos ) ,由锐角三角形角的

范围可判每个式子的正负,由此可得结论. 解答: 解:由题意可得 P﹣Q=(sinA+sinB)﹣(cosA+cosB) =2sin =2cos cos (sin ﹣2cos ﹣cos cos ) ,

∵△ABC 是锐角三角形,∴A+B=π﹣C> ∴ > ,∴sin >cos < , <

由 A 和 B 为锐角可得﹣

,∴cos

>0,

∴P﹣Q>0,即 P>Q, 故答案为:P>Q. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及和差化积公式及三角函数的值域,属中 档题. 16.设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2014 2013 成立,若函数 g(x)=f(x)+2014x 有最大值 M 和最小值 m,则 M+m= ﹣4028 .

考点: 函数奇偶性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可先研究函数 f(x)的特征,构造与 f(x) 、g(x)相关的奇函数,利用奇函 数的图象对称性,得到相应的最值关系,从而得到 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的和,得 到本题结论. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) +2014 成立, ∴取 x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0)+2014,f(0)=﹣2014, 取 y=﹣x,得到:f(0)=f(x)+f(﹣x)+2014, ∴f(x)+f(﹣x)=﹣4028. 2013 记 h(x)=f(x)+2014x +2014, 2013 2013 则 h(﹣x)+h(x)=[f(﹣x)+2014(﹣x) +2014]+f(x)+2014x +2014 2013 2013 =f(x)+f(﹣x)+2014x ﹣2014x +4028 =f(x)+f(﹣x)+4028 =0, ∴y=h(x)为奇函数. 记 h(x)的最大值为 A,则最小值为﹣A. ∴﹣A≤f(x)+2014x +2014≤A, 2013 ∴﹣A﹣2014≤f(x)+2014x ≤A﹣2014, 2013 ∵g(x)=f(x)+2014x , ∴∴﹣A﹣2014≤g(x)≤A﹣2014, ∵函数 g(x)有最大值 M 和最小值 m, ∴M=A﹣2014,m=﹣A﹣2014, ∴M+m=A﹣2014+(﹣A﹣2014) =﹣4028. 故答案为:﹣4028. 点评: 本题考查了函数奇偶性及其应用,还考查了抽象函数和构造法,本题难度适中,属 于中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2005?天津)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、 b、c 满足条件 b +c ﹣bc=a 和 = +
2 2 2 2013

,求∠A 和 tanB 的值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 根据余弦定理表示出 cosA,把已知条件 b +c ﹣bc=a 代入化简后,根据特殊角的三 角函数值及 cosA 大于 0 即可得到∠A;利用三角形的内角和定理和∠A 表示出∠C 与∠B 的关系,然后根据正弦定理得到 与 相等,把∠C 与∠B 的关系代入到 中,利用

两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于 cotB 的方程,求出方程 的解即可得到 cotB 的值,根据同角三角函数的关系即可得到 tanB 的值. 解答: 解: 由 b +c ﹣bc=a , 根据余弦定理得 cosA=
2 2 2

=

= >0 , 则∠A=60°;

因此,在△ ABC 中,∠C=180°﹣∠A﹣∠B=120°﹣∠B. 由已知条件,应用正弦定理 + = = = = = cotB+ ,

解得 cotB=2,从而 tanB= . 所以∠A=60°,tanB= . 点评: 此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值,灵活运用三角形的内角和定理、 两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题. 18. (12 分) (2010 秋?淄博校级期中) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已 知 =(cos ,sin ) , =(cos ,sin ) ,且满足| + |= .

(1)求角 A 的大小; (2)若| |+| |= | |,试判断△ ABC 的形状.

考点: 三角形的形状判断;向量的模;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: (1)由 A= . a 结合正弦定理可得,sinB+sinC= sinA,从而有 sinB+sin( 得 整理可得 cosA= 结合 0<A<π 可求

(2)由已知可得 b+c= ﹣B)= sin(B+ × )= ,

.由 0<B<

可得

<B+



,结合正弦函数的性质可求 B,进

一步可求 C,判断三角形的形状 解答: 解: (1)由 即 1+1+2(cos cos +sin 得 sin )=3, .

∴cosA= ,∵0<A<π,∴A= (2)∵| |+| |= | |,

∴b+c= a, 由正弦定理可得,sinB+sinC= ∴sinB+sin( ﹣B)= ×

sinA, ,



sinB+ cosB= )= ,∴ 或

, . <B+ ,故 B= ;当 B= < 或 , . .

∴sin(B+ ∵0<B< ∴B+ 当 B= =

时,C=

时,C=

故△ ABC 是直角三角形. 点评: 本题主要考查了向量的向量的模的求解,向量数量积的运算,和角的三角函数及正 弦定理的应用,由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用,属于综合试题.

19. (12 分) (2010?台州一模)已知向量 =(sin(x+ 数 f(x)=m( ? + sin2x) , (m 为正实数) .

) ,sinx) , =(cosx,﹣sinx) ,函

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移 个单位得到 y=g(x)的图象,试探讨:当 x?[0,π]时,函数 y=g(x)与 y=1 的图象的 交点个数. 考点: 平面向量的综合题;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析:(1) 向量 = (sin (x+ ) , sinx) , = (cosx, ﹣sinx) , 代入 f (x) =m ( ? + sin2x) ,

利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式, 求出它的周期, 利 用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可. (2)横坐标扩大到原来的两倍,得 ,向右平移 个单位,得

,从而可求 g(x)的解析式,利用函数 g(x)的最值结合图象即 可得出答案. 解答: 解: (1)

= = …(2 分)

由 m>0 知,函数 f(x)的最小正周期 T=π. (4 分)

又 解得 所以函数的递减区间是: (2)横坐标扩大到原来的两倍,得 向右平移 个单位,得

, (k∈Z) , (k∈Z)..(5 分) , (k∈Z) (6 分) , ,

所以:g(x)=2msinx.…(7 分) 由 0≤x≤π 及 m>0 得 0≤g(x)≤2m …(8 分) 所以当 0<m< 时,y=g(x)与 y=1 无交点 当 m= 时,y=g(x)与 y=1 有唯一公共点 当 m> 时,y=g(x)与 y=1 有两个公共点 …(12 分)

点评: 本题是基础题,考查向量的数量积,三角函数的周期以及单调增区间的求法,三角 函数的图象的平移,是常考题型. 20. (12 分) (2015 春?沈阳校级期中)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底 面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点,G 在 BC 上,且 CG= CB (1)求证:PC⊥BC; (2)求三棱锥 C﹣DEG 的体积; (3)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG?若存在,求 AM 的长;否则,说明 理由.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 PD⊥BC.BC⊥CD.推出 BC⊥平面 PCD.然后证明 PC⊥BC. (2)说明 GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高.求出 S△ EDC.然后通过 VC﹣DEG=VG﹣DEC,求解几 何体的体积. (3) 连结 AC, 取 AC 中点 O, 连结 EO、 GO, 延长 GO 交 AD 于点 M, 则 PA∥平面 MEG. 利 用直线与平面平行的判定定理证明.通过△ OCG≌△OAM,求解所求 AM 的长. 解答: 解: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC.又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD.

又∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面 PCD.又∵PC?平面 PCD,∴PC⊥BC.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 (2)∵BC⊥平面 PCD, ∴GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高. ∵E 是 PC 的中点, ∴S△ EDC= S△ PDC= = ×( ×2×2)=1.

∴VC﹣DEG=VG﹣DEC= GC?S△ DEC= × ×1= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 (3)连结 AC,取 AC 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA∥平面 MEG. 证明:∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO∥PA.又∵EO?平面 MEG,PA?平面 MEG, ∴PA∥平面 MEG. 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 的中点,BC=PD=2,CG= CB. ∴△OCG≌△OAM,∴AM=CG= ,∴所求 AM 的长为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12

点评: 本题考查直线与平面平行,几何体的体积的求法,距离公式的应用,考查空间想象 能力以及逻辑推理能力计算能力. 21. (12 分) (2011?银川校级模拟)已知圆 C 经过 P(4,﹣2) ,Q(﹣1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B,∠AOB=90°,求直线 l 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键,根据待定系数 法设出圆心坐标和半径, 寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键, 注意弦长问题的处理 方法; (2)利用直线的平行关系设出直线的方程,利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中 未知数的方程,通过方程思想确定出所求的方程,注意对所求的结果进行验证和取舍. 解答: 解: (1)直线 PQ 的方程为 y﹣3= 即直线 PQ 的方程为 x+y﹣2=0, ×(x+1)

C 在 PQ 的中垂线 y﹣

=1×(x﹣



即 y=x﹣1 上, 2 2 2 2 设 C(n,n﹣1) ,则 r =|CQ| =(n+1) +(n﹣4) , 2 2 2 由题意,有 r =(2 ) +|n| , 2 2 ∴n +12=2n ﹣6n+17, 2 ∴n=1 或 5(舍去) ,r =13 或 37(舍去) , 2 2 ∴圆 C 的方程为(x﹣1) +y =13. (2)设直线 l 的方程为 x+y+m=0, 由
2 2



得 2x +(2m﹣2)x+m ﹣12=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=1﹣m,x1x2= ,

∵∠AOB=90°,∴x1x2+y1y2=0 2 ∴x1x2+(x1+m) (x2+m)=0,整理得 m +m﹣12=0, ∴m=3 或﹣4(均满足△ >0) , ∴l 的方程为 x+y+3=0 或 x+y﹣4=0. 点评: 本题考查直线与圆的综合问题,考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法,注 意待定系数法的运用, 考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法, 考查设而不求思 想的运用,考查方程思想和转化与化归的思想. 22. (12 分) (2014?沈北新区校级一模)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是 定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 的值. 考点: 指数函数综合题;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)依题意,由 f(﹣x)=﹣f(x) ,即可求得 k 的值; (Ⅱ)由 f(1)= ,可解得 a=2,于是可得 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2
﹣x

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2m?f(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2m(2 ﹣2

x

) ,令 t=2 ﹣2 ,则 g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈∈[ ,+∞) ,通过对

x

﹣x

2

2

2

m 范围的讨论,结合题意 h(t)min=﹣2,即可求得 m 的值. ﹣x x x 解答: 解: (Ⅰ)由题意,对任意 x∈R,f(﹣x)=﹣f(x) ,即 a ﹣(k﹣1)a =﹣a +(k ﹣x ﹣1)a , x ﹣x x ﹣x x ﹣x 即(k﹣1) (a +a )﹣(a +a )=0, (k﹣2) (a +a )=0, x ﹣x ∵x 为任意实数,a +a >0,

∴k=2. (Ⅱ)由(1)知,f(x)=a ﹣a , ∵f(1)= , ∴a﹣ = ,解得 a=2. 故 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2 令 t=2 ﹣2 ,则 2 +2
2 x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2m(2 ﹣2 ) ,

x

﹣x

2x

﹣2x

=t +2,由 x∈[1,+∞) ,得 t∈[ ,+∞) ,
2 2

2

∴g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈[ ,+∞) , 当 m< 时,h(t)在[ ,+∞)上是增函数,则 h( )=﹣2, ﹣3m+2=﹣2, 解得 m= (舍去) .
2

当 m≥ 时,则 h(m)=﹣2,2﹣m =﹣2,解得 m=2,或 m=﹣2(舍去) . 综上,m 的值是 2. 点评: 本题考查指数函数的综合应用,考查函数的奇偶性与单调性,突出换元思想与分类 讨论思想在最值中的综合应用,属于难题.


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