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1.2.1排列(1)


1.2.1 排列(1)
主备人: 审核人:

编号:37

日期:2011.4.18

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入: 1 分类加法计数原理: 2.分步乘法计数原理: 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区 别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一 类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中 的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才 算做完这件事 应用两种原理解题: 1.分清要完成的事情是什么; 2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立, “步”间互相联系; 3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课: 1 问题: 问题 1.从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加 上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
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问题 2.从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个不同 的三位数? 2.排列的概念: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺 .... 序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 3.排列数的定义: 从 n 个不同元素中, 任取 m( m ? n ) 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元
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1

m 素的排列数,用符号 An 表示

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注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素按照 一定的顺序 排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的 .....
m 所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列
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4.排列数公式及其推导:
2 由 An 的意义: 假定有排好顺序的 2 个空位, 从 n 个元素 a1 , a2,

an 中任取 2 个元素去填空,

一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填
2 法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 An .由分步计数原理完成上述填空共有 2 = n(n ? 1) n(n ?1) 种填法,∴ An

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3 3 由此,求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑,∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) , m m 求 An 以按依次填 m 个空位来考虑 An ? n(n ?1)(n ? 2)

(n ? m ?1) ,

排列数公式:
m An ? n(n ?1)(n ? 2)

(n ? m ?1)

( m, n ? N , m ? n ) 说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个因数 是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列
n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)
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?

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2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘) 另外,我们规定 0! =1 .

4 5 18 13 例 1.用计算器计算: (1) A10 ; (2) A18 ; (3) A 18 ? A 13 . 3 2 2 例 2.解方程:3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax . x 例 3.解不等式: A9 ? 6 A9x?2 . n m n ?m 例 4.求证: (1) An ? An ? An ?m ;

(2n)! ? 1? 3 ? 5 (2n ? 1) . 2n ? n ! 1 2 3 n ?1 例 5.化简:⑴ ? ? ? ? ;⑵ 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? 2! 3! 4! n!
(2)

? n ? n!

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1.2.1 排列(2)
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编号:38

日期:2011.3.11

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第二课时 例 1.(课本例 2).某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加,每队要与其余各队在 主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?
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例 2.(课本例 3). (1)从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?

例 3.(课本例 4).用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?

四、课堂练习: 1.若 x ?
3 ( A) An 3 7

n! ,则 x ? 3!

( )

n?3 ( B ) An

(C ) A3n

3 ( D) An ?3

2.与 A10 ? A7 不等的是 ( )
9 ( A) A10 8 ( B ) 81A8 9 (C ) 10 A9 10 ( D) A10

3

5 3 3.若 Am ,则 m 的值为 ( ) ? 2 Am

( A) 5
4.计算:

(B) 3
5 2 A9 ? 3 A96 ? 6 9!? A10

(C ) 6


( D) 7


(m ? 1)! ? A ? (m ? n)!
n ?1 m ?1

5.若 2 ?

(m ? 1)! ? 42 ,则 m 的解集是 m ?1 Am ?1



m 6. (1)已知 A 10 ? 10 ? 9 ?

? 5 ,那么 m ? ;

7 (2)已知 9! ? 362880 ,那么 A9 = ; 2 (3)已知 An ? 56 ,那么 n ? 2 2 (4)已知 An ? 7 An ?4 ,那么 n ?

; .

7.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只 能停放 1 列火车)? 8.一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一单位放映 1 场,有多少种轮映次序? 答案:1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.

?2,3, 4,5,6?
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6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 巩固练习:书本 20 页1,2,3,4,5,6 课外作业:第 27 页 习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5 小结: 排列的特征:一个是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置 有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义,两个排列相同,且仅 当两个排列的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义, 掌握排列数公式 及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题, 一般都有两个方向的列式途径, 一个是 “正面凑” , 一个是 “反过来剔” . 前 者指,按照要求,一点点选出符合要求的方案;后者指,先按全局性的要求,选出方案,再把不 符合其他要求的方案剔出去. 了解排列数的意义, 掌握排列数公式及推导方法, 从中体会 “化归” 的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。

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1.2.1 排列(3)
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日期:2011.3.11

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第三课时 例 1. (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 解: (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一
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3 个排列,因此不同送法的种数是: A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ,所以,共有 60 种不同的送法

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(2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名 同学,每人各 1 本书的不同方法种数是: 5 ? 5 ? 5 ? 125 ,所以,共有 125 种不同的送法 说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学,各 人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的书中 任选 1 种,各人得到那种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算 例 2.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?
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1 解:分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A3 种; 2 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3 种; 3 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3 种, 1 2 3 由分类计数原理,所求的信号种数是: A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3? 2 ? 3? 2 ?1 ? 15 ,

答:一共可以表示 15 种不同的信号 例 3.将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上,
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4 即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A4 种方法;

5

4 第二步:把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A4 种方法,

利用分步计数原理即得分配方案的种数

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4 4 解:由分步计数原理,分配方案共有 N ? A4 ? A4 ? 576 (种)

答:共有 576 种不同的分配方案 例 4.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法 1:用分步计数原理:
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1 2 所求的三位数的个数是: A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648

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解法 2:符合条件的三位数可以分成三类:每一位
3 的三位数有 A9 个, 个位数字是 0 的三位 2 个,十位数字是 0 的三位数有 A9 个,

数字都不是 0
2 数 有 A9

由分类计数原理,符合条件的三位数的
3 2 2 A9 ? A9 ? A9 ? 648 .

个数是:

3 解法 3:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 ,其中以 0 为排头的排列数为 3 2 ? A9 ? 648 - A92 . A92 ,因此符合条件的三位数的个数是 A10

说明:解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法 直接法:通过对问题进行恰当 的分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法 1,2;间接法:对于有限制条件的排列应用 题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种数如 解法 3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防止重复与遗漏
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1.2.1 排列(4)
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编号: 40

日期:2011.3.11

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第四课时 例 5. (1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
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7 解:问题可以看作:7 个元素的全排列 A7 =5040.

(2)7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040. (3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
6 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A6 =720.

(4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A2 种;
2 5 5 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 A5 种,所以,共有 A2 =240 种排列方法 ? A5
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2

(5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
2 解法 1 (直接法) : 第一步从 (除去甲、 乙) 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有 A5 5 2 5 种方法; 第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 (全排列) 有 A5 种方法, 所以一共有 A5 A5

=2400 种排列方法

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6 6 解法 2: (排除法)若甲站在排头有 A6 种方法;若乙站在排尾有 A6 种方法;若甲站在排头 5 7 6 且乙站在排尾则有 A5 种方法,所以, 甲不能站在排头, 乙不能排在排尾的排法共有 A7 - 2 A6 + 5 =2400 种. A5

说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” ,对某些特殊元素可以优 先考虑
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例 6.从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能 排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 ; A9 ? 136080 5 6 解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 ;若不选: A9 ,
5 6 则共有 5 ? A9 ? A9 ? 136080 种; 6 5 解法三: (间接法) A 10 ? A 9 ? 136080

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编号:41

日期:2011.3.11

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第五课时 例 7. 7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行
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2 6 全排列有 A6 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的排法一共
6 2 有 A6 ? A2 ? 1440 种

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(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
5 3 解:方法同上,一共有 A5 =720 种 A3
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(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不能
2 站在排头和排尾,所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A5 种方法;

将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方
2 法.所以这样的排法一共有 A5 A4 A2 =960 种方法
4 2
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4

2

解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,若丙站在排
5 头或排尾有 2 A5 种方法, 6 5 2 所以,丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960种方法

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解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不能 站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法,再将其余的 5 个元素进行全
5 5 排列共有 A5 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑” ,所以,这样的排法一共有 A4 A5 A2 =960
1 2 1

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种方法. (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起 解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成
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3 4 2 一个元素,时一共有 2 个元素,∴一共有排法种数: A3 A4 A2 ? 288 (种)

说明:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松) . 例 8.7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 ? 3600; 5 解法二: (插空法) 先将其余五个同学排好有 A5 种方法, 此时他们留下六个位置 (就称为 “空” 2 5 2 吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种方法,所以一共有 A5 A6 ? 3600种方

法. (2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
4 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空” ,再将甲、乙和丙三个同

3 3 学分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4 A5 =1440 种.

4

说明:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑) .

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编号:42

日期:2011.3.11

教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想, 并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第六课时 例 9.5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法: (1)男女相间; (2)女生按指定顺序 排列
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5 解: (1)先将男生排好,有 A5 种排法;再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡” (包括两 5 端)中,有 2 A5 种排法

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5 5 故本题的排法有 N ? 2 A5 ; ? A5 ? 28800 (种)
10 A10 5 ? A10 ? 30240 ; 5 A5

(2)方法 1: N ?

5 方法 2:设想有 10 个位置,先将男生排在其中的任意 5 个位置上,有 A10 种排法;余下的 5

个位置排女生,因为女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法
5 故本题的结论为 N ? A 10 ?1 ? 30240 (种)

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巩固练习: 1.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一 种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同 的涂色方法共有 390 种(用数字作答) .

2.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定 每位同学选修 4 门,共有 75 种不同选修方案。 (用数值作答) 3.记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两 端,不同的排法共有( B ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种
11

4.图3是某汽车维修公司的维修点分布图,公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的某 种配件各50件,在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、4 5、 54、 61件, 但调整只能在相邻维修点之间进行, 那么完成上述调整, 最少的调动件次 (n 个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 答案:B;

5.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙 二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种. (用数字作答) 6.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期 五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有( B ) A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 7.安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有 210 种.(用数 字作答) 8.用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( ) (A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个 解析:选 B.对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位-中
3 间三位”分步计数:①个位是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 1? 4 ? A4 ? 96 个;②个位不是 0 3 并且比 20000 大的五位偶数有 2 ? 3? A4 ? 144 个;故共有 96 ? 144 ? 240 个.本题考查两个基

本原理,是典型的源于教材的题目. 9.某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲乙两门课程不能都选,则不同的选课方案 有____25_____种.(以数字作答) 10.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班, 不同的安排方法共有 240 种. (用数字作答) 11. 将数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 拼成一列, 记第 i 个数为 ai (i ? 1 若 a1 ? 1 ,a3 ? 3 ,a5 ? 5 , , 2, , 6) ,

a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有

种(用数字作答) .

解析:分两步: (1)先排 a1 , a3 , a5 , a1 =2,有 2 种; a1 =3 有 2 种; a1 =4 有 1 种,共有 5 种; (2)再排 a 2 , a 4 , a6 ,共有 A3 ? 6 种,故不同的排列方法种数为 5×6=30,填 30.
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1.2.1排列(教案)

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1.2.1排列(1)

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1.2.1_排列(一)教案_图文

1.2.1_排列(一)教案_数学_小学教育_教育专区。§1.2.1 一 、教学目标: 排 列(一) 1.知识与技能: (1)通过实例理解排列的概念,能用列举法、树形图列出...

1.2.1排列组合的应用(1)

1.2.1排列组合的应用(1)_信息与通信_工程科技_专业资料。高二 排列组合例题及解答,题型归类。1.2.1 排列组合的应用 例 1 从 1,2,3,4 这 4 个数中,...

人教A版 1.2.1 排列与组合(一)

(A 级)例 1、判断下列问题是否是排列问题. (1)12、3、4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从 12、3、4 四个数字...

1.2.1排列(1)

1.2.1 排列(1) 主备人: 审核人: 编号:37 日期:2011.4.18 教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学...

1.2.1排列(1)

教学设计年级 高二课题内容 科目___ 数学 __ _ 1.2 排列(1) 主备教师___ __ 备课组长审核时间 2009 教学 资源 分析 课程标准 考试说明 课程标准:基本要求...

《1.2.1_排列(一)》

排列,求共有多少种不同排法的问题. 解决这个问题需分 2 个步骤. 第 1 ...: 得出排列数公式: A m = n ( n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n -...

1.2.1排列(1)

1.2 排列(一) 知识清单 1、一般地,从 n 个___中取出 m (m___n)个元素,按照___排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、...

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16页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 1.2.1排列(1) 隐藏>> 1.2.1 排列(1) 设计教师:王...