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高中数学:三角函数的诱导公式 课件


2016/9/29

一切立体图形中最美的是球形, 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派

圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔

一.复习回顾

任意角三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:
(1)

正弦sinα= (2)余弦cosα=

y
P(x,y)

y

x
O

(3)正切tanα=

y x

x

问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等

2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 ? -α与α的终边 有何位置关系?

终边关于y轴对称
4.角 ? +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称

终边相同的角的同一三角函数值相等
sin( ? ? 2k? ) ? sin ? (k ? Z )

cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) tan( ? ? 2k? ) ? tan ? (k ? Z )

(公式一)

二、思考:

已知任意角? 的终边与单位圆相交于点P?x,y ? , 请同学们思考回答点 P 关于原点、x 轴、y 轴对称 的三个点的坐标是什么?

x

? y ? ,关于 点 P?x,y ?关于原点对称点 P 1 ? ? x, ? y ? ,关于 y 轴对称点 P2 ?? x,y ? 轴对称点 P3 ? x,

探究1
r ?1
sin ? ? y cos? ? x y tan ? ? x sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

形如 ? ? ? 的三角函数值与 ? 的三角函数值之间 的关系
? ??
?

sin(? ? ? ) ? ? sin ?

公式二

cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan(? ? ? ) ? tan ?

探究2
我们再来研究角? 与 ? ? 的三角 函数值之间的关系

r ?1 sin ? ? y
cos( ?? ) ? x

公式三
cos? ? x

sin( ?? ) ? ? y
?y y tan( ?? ) ? ?? x x

y tan ? ? x

?
??

公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

探究3
sin( ? ? ?) ? ? sin? cos(? ? ?) ? ? cos? tan(? ? ?) ? tan?

si n ( ? ? ) ? ? si n? cos(? ? ) ? cos? tan( ? ? ) ? ? tan?

由上面两组公式的推导方法, 你能同理推导出 角 ? ? ? 与? 的三角函数值之间的关系吗?

r ?1 sin ? ? y

公式四
cos? ? x

sin(? ? ? ) ? y cos(? ? ? ) ? ? x
y y tan(? ? ? ) ? ?? ?x x

y tan ? ? x

? ??

?

公式四
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式一:
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan(? ? k ? 2? ) ? tan? (k ? Z )

公式二: sin( ? ? ? ) ? ? sin? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? tan?
公式四:
sin( ? ? ? ) ? sin? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? ? tan?

公式三:

sin( ? ?) ? ? sin? cos(? ?) ? cos? tan(? ?) ? ? tan?

三.发现规律:
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式. 等于? 的同名三角函数值前面加上把 ? 看作 锐角时原函数值的符号。

2k? ? ? (k ? z )、??、 ? ? ? 的三角函数值,

简记为“函数名不变,符号看象限”

小结
1、通过例题,你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗?
任意负角的 三角函数 用公式 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角的三 角函数 用公式 二或四

三或一

0 ~ 2? 的
三角函数

上述过程体现了由未知到已知的化归思想。

2 (1) cos225? ? cos(180? ? 45?) ? ? cos 45? ? ? 2 11? ? ? ? sin ? ? ? 3 (2) sin ? sin( 4? ? ) 3 3 2 3
? 3 16 ? ? 16? ? ? sin( 5? ? ) ? ? ( ? sin ) ? (3) sin( ? ) ? ? sin 3 3 2 3 3

例1.求下列三角函数值

四.例题分析

(4) cos(?2040 ?) ? cos 2040 ? ? cos(5 ? 360? ? 240?)

? cos 240 ?
? ? cos 60?

? cos(180? ? 60?)
1 ?? 2

练习反馈
填写下表
?
3

?
sin ?

?

2? 3

4? 3
3 ? 2

3 ? 2

cos?

1 2

1 ? 2

3 2

5? 3
3 ? 2

7? 3
3 2

1 ? 2

1 2

1 2

cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) 例2 化简: 0 0 sin(?? ? 180 ) ? cos(?180 ? ? )
0 0

练习反馈

(1)已知: tan ? ? 3, 求 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )
3 (2)已知cos( +? )= , 6 3 5? 求cos( -? )的值. 6

?

探索研究

已知任意角? 的终边与单位圆相交于点P?x,y ? , 请同学们思考回答点 P 关于直线 y ? x 对称的 点的坐标是什么?

y 1

P′(y,x)

公式五 : π sin( ?α )? cos α , 2 π cos( ?α )? sin α . 2

-1 0 -1

?

P(x,y) 1 x

公 式六 :

π sin( ?α )? cos α , 2 函数值,前面加上一个 把α 看 π 成锐角时原函数值的符 号。 cos( ?α )? ?sin α . 2

π ?α 的正弦(余弦)函数 2 值,分别等于 α 的余弦 (正弦)

总结:

1.公式五,六口诀: 函数名改变,符号看象限;

11

公式五 :

公 式七 :

3π π sin( ?α )? cos α , sin( ?α )? ?cos α , 2 2 3π π cos( ?α )? sin α . cos( ?α )? ?sin α . 2 2 公 式六 : 公 式八 : 3π π sin( ?α )? cos α , sin( ?α )? ?cos α , 2 2 3π π cos( ?α )? ?sin α . cos( ?α )? sin α . 2 2
.

诱导公式记忆 口诀:

奇变偶不变 符号看象限

注意: 看成锐角,原函数值的符号

?

例题与练习
3π 例 3、 证 明 : ( 1) in( s ?α )? ?cos α ; 2 3π (2)cos( ?α )? ?sin α . 2

例题与练习
1 求下列三角函数值 (1)sin(-12000) (1) ? 3 2 (2)cos(47?/6)
3 ( 2) 2

2 求三角式sin(-12000)· cos(12900)+cos(-10200)· sin(-10500)+tan9450 2

3 计算 cos(?/5)+ cos(2?/5)+ cos(3?/5)+ cos(4?/5)

0

例题与练习
练习1 已知sin(?/4+?)=1/2,则sin(3?/4-?)的 值是 1/2 。

2 已知cos (750+?)=1/3, 求cos(1050-?)+cos(2850-?)

0

例题与练习
1 已知角?的终边上的一点P(3a,4a) (a<0) 则cos(5400-?)的值是 3/5 。 2 cos(?-8?/3)+cos(?+13?/3)= 0 .

例题与练习
例4 化简

sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ] (k ? Z ) sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? )
3 ? 当n为奇数时, 4

练习1 求sin(2n?+2?/3)· cos(n?+4?/3)的值(n?Z)
3 当n为偶数时, 4

2 化简 cos[(4n+1)?/4+x]+ cos[(4n-1)?/4-x]
当n为奇数时,原式=-2cos(?/4+x) 当n为偶数时,原式=2cos(?/4+x)

小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗?
圆的对称性 角的终边 的对称性 角之间的 数量关系 诱导公式

对称点的 数量关系

“对称是美的基本形式”

作业
P27 第2题

P28 第7题


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