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2013年福建普通高中毕业班质量检查理科数学


2013 年福建普通高中毕业班质量 检查理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题), 第II 卷第 21 题为选考题,其他题为必 考题.本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照題号在各题的答题区域 (黑色线框)

内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非 选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4. 做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑. 5. 保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回

参考公式:
样本数据 x1,x 2 , ? x n 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x 1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] n

1 V ? Sh , 3
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

其中 x 为样本的平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的.

第1页

1. 已知复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是
A. z =-1-i
2

B. z =-1+i

C. | z | =2

D. | z | =

2

2. 已知向量 a= (m ,4),b=(1,1)则“m= -2”是“a//b”的 A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 3. 函数 f ( x) ? log 1 cos x(?
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2

?x?

?
2

) 的图象大致是

4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 2,则输出的x 值为 A. 3 C. 127 B. 126
D. 128

5. 设 M,N 是两条不同的直线,A,β 是两个不同的平面.下列命题正确的是 A. 若 m//n, m 丄 n 丄 β,则 β B. 若 m//n,m //β ,则 n //β C. 若 m//a, m//β, a//β 则 D. 若 丄 n 丄 n a, β,则 a 丄 β 6. 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 的图象关于点( ? ,0)对称, ? 的值 则 可以是
A. ? C. ?

?
? 12
6

B. D.

? 6 ? 12

第2页

7. 设抛物线 y =6x 的焦点为 F,准线为 L,P 为抛物线上一点, 丄 垂足为 A,如果Δ APF PA l, 为 正三角形,那么|PF|等于
A ,

2

4 3

B .

6 3

C 6

D . 12

8. 在矩形ABCD 中,AB= 1 ,AD = 3 ,P 为矩形内一点,且.AP=

3 若 2

AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) , 则 ? ? 3? 的最大值为
A.

3 2

B.

6 2

C.

3? 3 4

D.

6 ?3 2 4

? x ? kx 2 , x ? 0 ? 9. 若函数 f ( x) ? ? x ? 1 有且只有 2 个不同的零点, 则实数 k 的取值范围是 ?ln x, x ? 0 ?
A. (-4,0) B, ( -∞ ,0] C. ( -4,0] D, ( - ∞ ,0)

10. 设数集 S={a,b,c,d}满足下列两个条件: (1) ?x, y ? S , xy ? S ; 现给出如下论断: ①A,B,C,D 中必有一个为 0; ③若 x∈S 且 xy=1.,则 y∈S; 确论断的个数是
A

(2) ?x, y, z ? S或x ? y, 则xz ? yz

②A、b,c,d 中必有一个为 1;

④存在互不相等的 x,y,z∈S,使得 x2=y,y2=z. 其中正

1

B.2

C. 3

D.4

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.(x+2) 展开式中含 x 项的系数等于________.
4 2

?3 x ? y ? 1 ? 0 ? 12.若变量 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 11 ? 0 ,则 z =2x+y 的最大值为_____. ?y ? 2 ?

第3页

13.已知直线 l:y=- 3 (x-1)与圆 O:x2 +y2=1 在第一象限内交于点 M,且 l 与 y 轴交于 点 A,则Δ MOA 的面积等于______. 14.如图.A1,A2,?Am-1(m ? 2)将区间[0,l] m 等分,直线x=0,x=1, y = 0 和
曲线 y = e 所围成的区域为Ω 1 图中 m 个矩形构成的阴影区域 为Ω2 在Ω1中任 . 取一点, 则该点取自Ω2的概率等于_ _ _ _ _ _ .
x

15.定义两个实数间的一种新运 算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y∈R 当.x *x=y 时,记 x=*
①(a*b) *

y 对于任意实数 a,b,c,给出如下结论:
=a

c

* (b

*

c ); ②(a * b ) +c =(a +c) * (b +c); ④* a *b ?

③a *b= b * a ;

a?b 2

其 e 正确的结论是_____.(写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本小题满分 1 3 分) 某几何体 ABC-A1B1C1 的三视图和直观图如图所示. (I)求证:A1C 丄平面 AB1C1

(II)求二面角 C1-AB1 -C 的余弦值.

第4页

17 (本小题满分 13 分) 国 IV 标准规定:轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 80mg/km.根据这个标准,检测单 位 从某出租车公司运营的 A,B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆,对其氮氧化物的排放量 进行检测,检测结果记录如下(单位:mg/km)

由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计员只记得 A、B 两种出租车的氮氧化物排放量 的平均值相等,方差也相等. (I)求表格中 x 与 y 的值; (II )从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆,“氮氧化物排放量超过 80mg/km” 记 的车辆数为 ? 求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 13 分) 如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行 至 A 处, 此时测得其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外 国船只,且D 岛位 于海监船正东 14 2 及海里处. (I)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (II)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度 沿正南 方向航行.为了将该船拦截在离 D 岛 12 海 里处,不让其进入 D 岛 12 海里内的海域,试确定海 监船的航向,并求其速度的最小值. (参考数据: )

第5页

19. (本小题满分 13 分)
如图 1,椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 F2 ,左、右顶点分别 a2 b2

为 A1 ,A2,T( 1,

3 )为椭圆上一点,且 TF2垂直于 x 轴. 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)给出命题:“已知 P 是椭圆 E 上异于 A1,A2 的一点,直线 A1P,A2P 分别交直线 l:x=t(t 为常数)于不同两点 M,N, 点 Q 在直线 L 上.若直线 PQ 与椭圆 E 有且只 有一个公共 点 P,则 Q 为线段 MN 的中点” 写出此命题的逆命题, 断 , 判 你所写出的命题的真假,并加以证明; (III)试研究(II)的结论,根据你的研究心得,在图 2 中作出与该双 曲 线有且只有一个公共点 S 的直线 m,并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 的图象在点(2,f(2))处的切线方程为 y = 2 . 2x ? b

( I )求 a,b 的值及 f(x)的单调区间; (II)是否存在平行于直线 y =

1 x 且与曲线 y=f(x)没有公共点的直线?证明你的结论; 2
1

(III)设数列{a n }满足 a 1 =λ (λ ≠ l),a n + λ 的取值 范围.

=f(a n ),若{a n }是单调数列,求实数

第6页

21. 本题有 (1)、 (2)、 (3)三个选答题, 题7 分,请考生任选 2 题作答, 分14 分.如果多 每 满 做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 并 将所选题号填人括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ? 2  1 ? ,向量,a= a ? ? 5  ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 4  3 ?

? 7  ?

(I)求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;
(II)求 M a
3

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 如图,在极坐标系中 ,圆C 的圆心坐标为(1,0),半径为 1. (I)求圆 C 的极坐标方程; (II)若以极点 0 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.已知

? ? ? x ? ?1 ? t cos 6 ? 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 ? y ? t sin ? ? 6 ?

(3)(本小题满分 7 分)选修 4 一 5 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 5 ? x

:不等式选讲

(I)求证: f ( x) ? 5 ,并说明等号成立的条件; (II)若关于 x 的不等式. f ( x) ?| m ? 2 | 恒成立,求实数 m 的取值范围,

第7页

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