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第四章


第四章
【知识归类】 1.圆的两种方程: (1)圆的标准方程

圆与方程小结与复习(学案)

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,表示_________________________________.
(2)圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0


①当 D +E -4F>0 时,方程 ② 表示(1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示_______________;
2 2

2

2

2 2 ②当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E , y ? ? ,即只表示____________; 2 2

③当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程__________________________________________________.
2 2

综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆.
2 2

2.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在__________; (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在___________;
2 2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在___________.
2

3.直线与圆的位置关系 方法一:几何法 设直线 l :ax ? by ? c ? 0 , 圆 C :x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆的半径为 r , 圆心 (?

D E , ? ) 到直线的距离为 d , 2 2

则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C ___________; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C _____________; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C ____________. 方法二:代数法

?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 方程组 ? 消去 y (或 x ) ,整理得到关于 x (或 y )的一元二次方程,设其判别式为 ? ,于是有: ? Ax ? By ? C ? 0
①当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C ;
2

② ? ? 0 时,直线 l 与圆 C

;③当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C

.

弦长问题:弦长=2 r 2 ? d 2 = 1 ? k x1 ? x 2 (其中 d 表示圆心到直线的距离, k 表示弦所在直线斜率) 4.圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 _______; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 ______;

(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 ____; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 ___; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 ______.

1

5.圆的切线方程:先判断点与圆的位置(①点在圆内,没有切线;②点在圆上,只有一条切线;③点在圆外,有 两天切线) ⑴点在圆上: ①过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 ②若点(x0 ,y0)在圆 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 上,则圆的切线方程为(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=r ③过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D
x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ?0 2 2
2

⑵点在圆外:用点斜式设切线方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,然后化成一般式方程,再利用圆心到直线的距离等于半径 求得 k 。若 k 的解只有一个,则另一条切线的斜率不存在,即 x ? x0 。 7.空间直角坐标系 ⑴已知点 P(x,y,z),则它在面 xoy 的射影是(x,y,0),在面 yoz 的射影是(0,y,z),在面 xoz 的射影是(x,0,z)。 ⑵已知点 P(x,y,z),则它关于 x 轴的对称点是(x,-y,-z),关于 y 轴的对称点是(-x,y,-z),关于 z 轴的对称点是(-x,-y,z), 关于原点的对称点是(-x,-y,-z)。 ⑶任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标. ⑷空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式__________ ______.

【题型归类】 题型一:求圆的方程:例 1 .求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心 坐标.

题型二:圆的切线问题:例 2 .过圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3),向圆引两条切线切点为 A、B. 求经过两切点 的直线 l 方程.

变式练习:自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 C:x 2 + y 2 - 4x-4y +7 = 0 相切,求光线 L、m 所在的直线方程.

2 题型三:与圆有关的动点轨迹问题:例 3.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运 2

动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

题型四:直线与圆的位置关系:例 4:已知圆 C: ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 16 ,直线 l : (2m ? 3) x ? (m ? 4) y ? 2m ? 2 ? 0
2 2

(1) 当 m=1 时,直线 l 与圆 C 时怎么样的位置关系? (2) 当 m 取任意实数时,直线 l 和圆的位置关系有无不变性,试说明理由 (3) 请判断直线 l 被圆 C 截得的弦何时最短,并求截得的弦最短时,m 的值以及弦的长度。

2

【思想方法】 1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问题生动直观地加以解决,避 免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式 或韦达定理加以解决 2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式,与圆心及半径有关的一般设 圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式.

【自我检测】
1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值依次为( (A)2、4、4; (B)-2、4、4; (C)2、-4、4; (D)2、-4、-4 2.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为( ) . (A) 2 2 (B)4 (C) 4 2 (D)2 2 2 3.点 (1,1)在圆( x ? a) ? ( y ? a) ? 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) . (A) ? 1 ? a ? 1 (B) 0 ? a ? 1 (C) a ? ?1或a ? 1 (D) a ? ?1 ) . ) .

4.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( (A)
5

(B) 3

(C)

10

(D) 5 ) . (D) x 2 ? y 2 ? 4( x ? ?2)

5.已知 M (-2,0), N (2,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹方程是( (A) x 2 ? y 2 ? 2 (B) x 2 ? y 2 ? 4 (C) x 2 ? y 2 ? 2( x ? ?2)

6.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( ) . (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D)-1 2 2 7.过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( (A) y ? 3x (B) y ? ? 3x (C) y ?

) .

3 3 x (D) y ? ? x 3 3

8.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ) . 2 2 2 2 2 2 2 (A) (x-3) +(y+1) =4 (B) (x+3) +(y-1) =4 (C) (x-1) +(y-1) =4 (D)(x+1) +(y+1)2=4 9.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是( (A) ) .

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2
) .

10.M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系是( (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)相切或相交 11.点 P(a,b,c)关于 z 轴的对称点为 P 1 ,点 P 1 关于 xOy 平面的对称点为 P 2 ,则 P 2 的坐标是
2 2 12.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是

。 。

13.已知点 M 在 y 轴上,A(1,0,2),B(1,-3,1),且 MA ? MB ,则点 M 的坐标是



2 2 14.已知圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90? .求 m 的值.

15.已知直角坐标平面内点 Q(2,0),圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0),求动 点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
3

第二章

圆与方程小结与复习 (教案)

【知识归类】 1.圆的两种方程 (1)圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,表示圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程.
(2)圆的一般方程
2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①当 D +E -4F>0 时, 方程 ② 表示 (1) 当 D ? E ? 4F ? 0 时, 表示以 (为半径的圆;
2 2 ②当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E 1 , - ) 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 2

D E D E , y ? ? ,即只表示一个点(- ,- ) ; 2 2 2 2

③当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
2 2

综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆.
2 2

2.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外; (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上;
2 2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内.
2

3.直线与圆的位置关系 设直线 l :ax ? by ? c ? 0 , 圆 C :x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆的半径为 r , 圆心 (? 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交. 4.圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆
C1 与圆 C 2 内含.

D E , ? ) 到直线的距离为 d , 2 2

5.空间直角坐标系 任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标. 空间中任意一点 P ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 . 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式 P 1P 2 ?
4

【题型归类】 题型一:求圆的方程 例 1 .求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标. 【审题要津】据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标, 不妨试着先写出圆的一般方程. 解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ∵ A(0,0), B(11 所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程, 可以得到关于 D, E, F , ),C(4,2)在圆上, 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 . ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 .

r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 .得圆心坐标为(4,-3). 2 2 2
或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 .
2 2 2 2

【方法总结】条件恰给出三点坐标,不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解. 题型二:圆的切线问题 例 2 .过圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3),向圆引两条切线切点为 A、B. 求经过两切点的直线 l 方程. 【审题要津】此题考察过切点的直线的求法,但是要与切点在圆上的切线求法区别开来,此题不要通过求切点的 方法来求直线方程,这样计算会很繁琐. 解:设圆(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心为 O1 ,由题可知,以线段 P O1 为直径的圆与与圆 O1 交于 AB 两点,线段 AB 为两 圆公共弦,以 P O1 为直径的圆方程.

3 ( x ? ) 2 ? ( y ? 20) 2 ? 5 ① 已知圆 O1 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1② 2 1 ① ② 作差得 x+2y- =0, 即为所求直线 l 的方程. 4
【方法总结】通过两圆作差来求公共弦,是非常简便的求法. 变式练习:自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 C:x 2 + y 2 - 4x-4y +7 = 0 相切,求光线 L、m 所在的直线方程. 解: 已知圆的标准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, 它关于 x 轴的对称圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, 设光线 L 所在 的 直 线 方 程 是 y-3=k(x+3), 由 题 设 知 对 称 圆 的 圆 心 C1 (2,?2) 到 这 条 直 线 的 距 离 为 1 , 即
1? k 2 3x ? 4 y ? 3 ? 0或4x ? 3y ? 3 ? 0 这.时反射光线所在直线的 d? 5k ? 5

3 4 ? 1 ? 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0, 解 得 k ? ? 或k ? ? . 故 所 求 入 射 光 线 L 所 在 的 直 线 方 程 为 : 4 3

3 4 斜率为 k1 ? 或k 1 ? ,所以反射光线 m 所在的直线方程为:3x-4y-3=0 或 4x-3y+3=0. 4 3

题型三:与圆有关的动点轨迹问题
2 例 3.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 2

程.
2 【审题要津】如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y ? 4 。建立 2

5

点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标是(x,y),点 A 的坐标是 ( x0 , y0 ) x ?

x0 ? 4 y ?3 , y? 0 , x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 ① , 2 2
A 的 坐 标 满 足 方 程

因为点A在圆

? x ? 1?

2

? y2 ? 4 上 运 动 , 所 以 点
2

? x ? 1?

2

? y2 ? 4 , 即

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 . ? x0 ? 1? ? y0 2 ? 4 ②
2 2

3? ? 3? ? 把①代入②,得 ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?
?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 . ?2 2?
【方法总结】此题属于相关点问题,相关点问题的求轨迹方法利用代入法. 题型四:练习册教师版 P130 19 题 【思想方法】 1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问题生动直观地加以解决,避 免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式 或韦达定理加以解决 2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式,与圆心及半径有关的一般设 圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式.

2

2

1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值 依次为( B ) . (A)2、4、4; (B)-2、4、4; (C)2、-4、4; (D)2、-4、-4 2.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为( C ) . (A) 2 2 (B)4 (C) 4 2 (D)2 3.点 (1,1)在圆( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,则 a 的取值范围是( A ) . (A) ? 1 ? a ? 1 (B) 0 ? a ? 1 (C) a ? ?1或a ? 1 (D) a ? ?1

4.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( B ) . (A)
5

(B) 3

(C)

10

(D) 5 (D) x 2 ? y 2 ? 4( x ? ?2)

5.已知 M (-2,0), N (2,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹方程是( D ) . (A) x 2 ? y 2 ? 2 (B) x 2 ? y 2 ? 4 (C) x 2 ? y 2 ? 2( x ? ?2)

6.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( D ) . (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D)-1 2 2 7.过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( C ) . (A) y ? 3x (B) y ? ? 3x (C) y ?

3 3 x (D) y ? ? x 3 3

8.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( C ) . (A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 (D)(x+1)2+(y+1)2=4 9.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是( C ) . (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2
6

10.M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与 该圆的位置关系是( C ) . (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)相切或相交 11.练习册教师版 P123 9 12. 练习册教师版 P129 14 13. 练习册教师版 P125 9 14.已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A、 B 两点, 圆心为 P, 若 ?APB ? 90? .求 m 的值. 解: 由题设△ APB 是 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴圆 心 到 y 轴 的 距 离 是 圆 半 径 的
2 倍,将圆方程 2

x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? m ? 0 配 方 得 :

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? m .圆心是 P(2,-1),半径 r= 5 ? m ∴ 5 ? m ? 2 ? 2 解得 m= -3.
15.已知直角坐标平面内点 Q(2,0),圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0),求动 点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:M 的轨迹方程为(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4x2)=0,当 λ=1 时,方程为直线

5 1 ? 3?2 2?2 2 2 1 ? 3?2 2? 2 x= .当 λ≠1 时,方程为(x- 2 ) +y = 2 它表示圆,该圆圆心坐标为( 2 ,0)半径为 . 4 ? ?1 ? ?1 (? ? 1) 2 ?2 ? 1

7


8.第四章

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