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“点差法”在解析几何题中的应用


“点差法”在解析几何题中的应用
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法:设弦的两个 端点坐标分别为 ? x1 , y1 ?、 ? x2 , y2 ? ,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜 率的关系,然后加以求解,这即为“点差法” ,此法有着不可忽视的作用,其特点是巧代斜率.本文 列举数例,以供参考. 1 求弦中点的轨

迹方程

x2 ? y 2 ? 1 ,求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程. 例 1 已知椭圆 2
解 设弦的两个端点分别为 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , PQ 的中点为 M ? x, y ? .

x12 x2 2 2 ? y1 ? 1 , ? y2 2 ? 1 , 则 (1) (2) 2 2

?1? ? ? 2? 得:

x12 ? x2 2 x ? x2 y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? ? 0 , ? 1 ? ? y1 ? y2 ? ? 0 . 2 2 x1 ? x2

又 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y2 ? 2 y,

y1 ? y2 ? 2 ,? x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2

弦中点轨迹在已知椭圆内,? 所求弦中点的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0 (在已知椭圆内). 例 2 直线 l : ax ? y ? ? a ? 5? ? 0 ( a 是参数)与抛物线 f : y ? ? x ? 1? 的相交弦是 AB ,则弦
2

AB 的中点轨迹方程是

.

解 设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? , AB 中点 M ? x, y ? ,则 x1 ? x2 ? 2 x .

l : a ? x ? 1? ? ? y ? 5? ? 0 ,? l 过定点 N ?1, ?5? ,? k AB ? kMN ?
又 y1 ? ? x1 ? 1? , (1) y2 ? ? x2 ? 1? , (2)
2 2

y?5 . x ?1

?1? ? ? 2? 得: y1 ? y2 ? ? x1 ? 1?
? k AB ?

2

? ? x2 ? 1? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2 ? ,
2

y1 ? y2 y?5 ? 2 x ? 2 ,即 y ? 2 x2 ? 7 . ? x1 ? x2 ? 2 . 于是 x ?1 x1 ? x2
2

弦中点轨迹在已知抛物线内,? 所求弦中点的轨迹方程为 y ? 2 x ? 7 (在已知抛物线内).

1

2

求曲线方程 例 3 已知 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y 2 ? 32x 上,其中 A? 2,8? ,且 ?ABC 的重心 G 是抛

物线的焦点,求直线 BC 的方程. 解 由已知抛物线方程得 G ?8, 0? . 设 BC 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,则 A、G、 M 三点共线,且

? 2 ? 2 x0 ?8 ? ? 1? 2 , AG ? 2 GM ,? G 分 AM 所成比为 2 ,于是 ? 8 ? 2 y 0 ? ?0 ? ? 1? 2
解得 ?

? x0 ? 11 ,? M ?11, ?4? . 设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? ?8 . ? y0 ? ?4

又 y12 ? 32 x1 , (1) y22 ? 32 x2 , (2)

?1? ? ? 2? 得: y12 ? y22 ? 32 ? x1 ? x2 ? ,? kBC

?

y1 ? y2 32 32 ? ? ? ?4 . x1 ? x2 y1 ? y2 ?8

? BC 所在直线方程为 y ? 4 ? ?4 ? x ? 11? ,即 4 x ? y ? 40 ? 0 .
例 4 已知椭圆

? x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线方程是 x ? 1 , 有一条倾斜角为 的直线交椭 2 4 a b
? 1 1? ? 2 4?

圆于 A、B 两点,若 AB 的中点为 C ? ? , ? ,求椭圆方程. 解 设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x 2 ? ?1, y ? 1 y ? 2

x2 y2 1 , 且 12 ? 12 ? 1 ,( 1 ) 2 a b

x2 2 y2 2 ? 2 ? 1, (2) a2 b
b 2 ? x1 ? x2 ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 y1 ? y2 b 2 ?1 ?? 2 ?? 2 ? , ?1? ? ? 2? 得: 2 ? ? 2 ,? x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a 1 a b 2

?1 ? k AB ?

y1 ? y2 2b2 (3) ? 2 ,? a 2 ? 2b2 , x1 ? x2 a




a2 ? 1 ,? a 2 ? c , (4) c

a 2 ? b2 ? c 2 , ( 5)

2

2 由(3) , (4) , (5)可得 a ?

x2 y 2 1 2 1 , b ? , ? 所求椭圆方程为 ? ? 1. 1 1 2 4 2 4

3

求直线的斜率 例 5 已知椭圆

x2 y 2 ? 9? ? ? 1 上不同的三点 A ? x1 , y1 ? , B ? 4, ? , C ? x2 , y2 ? 与焦点 F ? 4,0? 的距离 25 9 ? 5?

成等差数列.(1)求证: x1 ? x2 ? 8 ; (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k . (1)证 略. (2)解

x1 ? x2 ? 8 ,? 设线段 AC 的中点为 D ? 4, y0 ? .

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ? 1, 又 A、C 在椭圆上,? (1) (2) 25 9 25 9 x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ?? , ?1? ? ? 2? 得: 25 9

?

9 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 9 8 36 . ?? ?? ? ?? x1 ? x2 25 ? y1 ? y2 ? 25 2 y0 25 y0
25 y0 25 y0 ,? 直线 DT 的方程为 y ? y0 ? ? x ? 4? . 36 36

? 直线 DT 的斜率 k DT ?

9 ?0 64 5 ? 64 ? 5 BT x ? 令 y ? 0 ,得 ,即 T ? 的斜率 k ? , 0 ? ,? 直线 ? . 64 4 25 ? 25 ? 4? 25
4 确定参数的范围 例 6 若抛物线 C : y ? x 上存在不同的两点关于直线 l : y ? m ? x ? 3? 对称,求实数 m 的取值
2

范围. 解 当 m ? 0 时,显然满足.

当 m ? 0 时 , 设 抛 物 线 C 上 关 于 直 线 l : y ? m ? x ? 3? 对 称 的 两 点 分 别 为
2 (1) y2 ? x2 , (2) P ? x1 , y1 ?、Q ? x2 , y2 ? ,且 PQ 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,则 y12 ? x1 ,

?1? ? ? 2? 得: y12 ? y22 ? x1 ? x2 ,? kPQ ?

y1 ? y2 1 1 , ? ? x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0
3

又 k PQ ? ?

1 m ,? y0 ? ? . m 2 5 . 2

中点 M ? x0 , y0 ? 在直线 l : y ? m ? x ? 3? 上,? y0 ? m ? x0 ? 3? ,于是 x0 ? 中点 M 在抛物线 y 2 ? x 区域内

5 ? m? ? y0 ? x0 ,即 ? ? ? ? ,解得 ? 10 ? m ? 10 . 2 ? 2?
2

2

综上可知,所求实数 m 的取值范围是 ? 10, 10 . 5 证明定值问题 例 7 已知 AB 是椭圆

?

?

x2 y 2 O ? ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于 x 轴的任意一条弦,P 是 AB 的中点, a 2 b2

为椭圆的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值. 证明 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,

x12 y12 x2 2 y2 2 则 2 ? 2 ? 1, (1) 2 ? 2 ? 1 , (2) a b a b x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ?1? ? ? 2? 得: 2 ? ? 2 , a b

?

b2 ? x ? x2 ? b2 ? x ? x ? y1 ? y2 y ? y2 ,? k AB ? 1 ?? 2 1 ?? 2 1 2 . x1 ? x2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a ? y1 ? y2 ?
y1 ? y2 b2 b2 1 ,? k AB ? ? 2 ? ,? k AB ? kOP ? ? 2 (定值). a x1 ? x2 a kOP

又 kOP ? 6

处理存在性问题 例8 已知双曲线 x ?
2

1 2 y ? 1 ,过 B ?1,1? 能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P , Q 两点, 2

且 B 是线段 PQ 的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 解 假 设 这 样 的 直 线 存 在 , 设 P, Q 的 坐 标 分 别 为 ? x1 , y1? ,? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? 2 ,

y1 ? y2 ? 2 ,又 x12 ?

1 2 1 2 2 y1 ? 1 , (1) x2 ? y2 ? 1, (2) 2 2
4

?1? ? ? 2? 得: ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ,
? 2 ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 0
? PQ 的斜率 k ?

1

y1 ? y2 ?2 x1 ? x2

又直线 l 过 P, Q, B 三点,? l 的方程为 y ? 1 ? 2 ? x ? 1? ,即 y ? 2 x ? 1 . 但若将 y ? 2 x ? 1 代入 x ?
2

1 2 y ? 1 整理得方程 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,而此方程无实数解,所以满 2

足题设的直线不存在.

一、

以定点为中点的弦所在直线的方程

例 1、过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线的方程。 16 4

解:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? M (2,1) 为 AB 的中点

? x1 ? x2 ? 4
2 2

y1 ? y2 ? 2
2 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16, x2 ? 4 y2 ? 16
两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 于是 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

?

y1 ? y2 x ?x 4 1 ?? 1 2 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2
1 1 ,故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2 2
2

即 k AB ? ?

例 2、 已知双曲线 x ?

y2 ?1, 经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l , 使 l 与双曲线交于 A 、B , 且点 M 2

是线段 AB 的中点。若存在这样的直线 l ,求出它的方程,若不存在,说明理由。 策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ,然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。 解:设存在被点 M 平分的弦 AB ,且 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

5

则 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2

,

y y 2 x1 ? 1 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 2 2
2

2

2

两式相减,得 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 故直线 AB : y ? 1 ? 2( x ? 1)

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 2

? k AB ?

y1 ? y2 ?2 x1 ? x2

? y ? 1 ? 2( x ? 1) ? 由 ? 2 y2 x ? ?1 ? 2 ?

消去 y ,得 2 x ? 4 x ? 3 ? 0
2

? ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0
这说明直线 AB 与双曲线不相交,故被点 M 平分的弦不存在,即不存在这样的直线 l 。 评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦 问题中判断点的 M 位置非常重要。 (1) 若中点 M 在圆锥曲线内, 则被点 M 平分的弦一般存在; (2) 若中点 M 在圆锥曲线外,则被点 M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中点 M ,求 例 3、已知椭圆 2 75 25
点 M 的坐标。 解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2 2 2

1 2
2

x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0



y x y1 x ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 75 25 75 25

两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 即 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 0

?

y1 ? y 2 3 ?? x1 ? x2 2 y0

? k?

y1 ? y 2 ?3 x1 ? x2

? ?

1 3 ? 3 ,即 y 0 ? ? 2 2 y0

1 1 ? 点 M 的坐标为 ( ,? ) 。 2 2

6

y2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。 例 4、已知椭圆 75 25
解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x, y ) ,则

x1 ? x2 ? 2 x ,
2 2

y1 ? y2 ? 2 y
2 2



y x y1 x ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 75 25 75 25

两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 即 y( y1 ? y 2 ) ? 3x( x1 ? x2 ) ? 0 ,即

y1 ? y 2 3x ?? x1 ? x2 y

? k?

y1 ? y 2 3x ? 3 ,即 x ? y ? 0 ?3 ?? y x1 ? x2

由 ? y2

? x? y ?0 5 3 5 3 5 3 5 3 ? ,? ) , ) Q( ,得 P(? x2 ? ? 1 2 2 2 2 ? ? 75 25

? 点 M 在椭圆内 ? 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 x ? y ? 0(?
三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

5 3 5 3 ?x? ) 2 2

例 5、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的横坐标为

1 ,求椭圆的方程。 2
解:设椭圆的方程为

y2 x2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 50 ┅┅① 2 a b

设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

1 1 , y 0 ? 3 x0 ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 2 2
2 2 2 2



y x y1 x ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 2 a b a b
2 2

两式相减得 b ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0
7

即 ? b2 ( y1 ? y2 ) ? a 2 ( x1 ? x2 ) ? 0

?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2
2

?

a2 ? 3 ┅┅② b2
y2 x2 ?1 ? 所求椭圆的方程是 ? 75 25

联立①②解得 a ? 75 , b ? 25
2

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,试确定的 m 取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m ,椭圆上总有不同 4 3

的两点关于该直线对称。 解:设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 的对称两点, P( x, y) 为弦 P 1P 2 的中点, 则 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12 两式相减得, 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 即 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , ? y ? 3x

y1 ? y 2 1 ?? x1 ? x2 4

这就是弦 P 1P 2 中点 P 轨迹方程。

它与直线 y ? 4 x ? m 的交点必须在椭圆内 联立 ?

? y ? 3x ? x ? ?m ,得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m
2

则必须满足 y ? 3 ?
2

3 2 x , 4

即 (3m) ? 3 ?

3 2 2 13 2 13 m ,解得 ? ?m? 4 13 13

五、注意的问题 (1)双曲线的中点弦存在性问题; (2)弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题,方法简捷明快,结构精巧,很好地体现了数学美,而且 应用特征明显,是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料,利于培养学生的解题能力和解题兴 趣。

8


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