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2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析


(2016 全国卷 1 理 21 题)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ? 1) 2 有两个零点。 (1)求 a 的取值范围。 (2)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2. 考点分析:零、方程根、图象交点问题的相互转化。不等式的单调性转化。如何用导数求最 值。 难度系数:0.1 解: (1) :零点 ? f ( x) ? 0 ? ?a ?

( x ? 2)e x ( x ? 2)e x 有两个零点。 两条曲 y ? ? a , y ? 1 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

线有两个交点。接下来画图即可。 首先验证 x ? 1 不是其零点。因为接下来讨论过程中 x ? 1 不在定义中。

?? y2

( x ? 1)3 e x ? 2( x ? 1)(x ? 2)e x e x ( x 2 ? 4 x ? 5) ? ( x ? 1) 4 ( x ? 1)3

所以 y2 在 (??,1) 递减, (1,??) 递增,大致图象为:

所以只有当 a ? 0 时图象 y1 , y2 才有两个交点。即函数 f ( x) 有两个零点。
x (2): f ?( x) ? ( x ?1)(e ? 2a) ,由于 a ? 0 所以 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减。设 x1 ? x2 。

由(1)知 x1 ? (??,1), x2 ? (1,??) ,所以 2 ? x2 ? (??,1) 。所以

x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? 2 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f (2 ? x2 )
由于 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)e 2 ? a( x2 ?1) ? 0 所以
x 2

f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? ( x2 ? 2)e x2
下面构造函数 g ( x) ? ? xe
2? x

? ( x ? 2)e x , x ? 1

g?( x) ? ( x ?1)(e2? x ? e x ). 所 以 当 x ? 1 时 g ?( x) ? 0 ? g ( x) 在 (1,??) 递 减 。 所 以
g ( x) ? g (1) ? 0 。所以 f (2 ? x2 ) ? 0 恒成立。所以不等式 x1 ? x2 ? 2 成立。


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