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北京市海淀区2015届高三第一学期期中练习 数学文


海淀区高三年级第一学期期中练习



学(文)

2014.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目要求的 一项。 (1)已知集合 A ? {0,1} , B ? {x ? R | 0 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( (A) {0} (B) {1} (C) [0,1] ) (D) ?1 或 1 ) (D) (0,1)

(2)若等比数列 {an } 满足 a1a5 ? a3 ,则 a3 ? ( (A) 1
1

(B) ?1
?

(C) 0 或 1 )

(3)设 a ? 2 3 , b ? log3 2 , c ? cos100 ,则( (A) c ? b ? a (C) c ? a ? b

(B) a ? c ? b (D) a ? b ? c )

(4)已知点 A(1, 0), B(0, ?1) ,向量 a ? (1,1) ,那么( (A) AB ? a

??? ?

(B) AB ∥ a

??? ?

(C) AB ? a

??? ?

(D) AB ? a )

??? ?

(5)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? x ( a 为常数) ,则函数 f ( x ? 1) 的图象恒过点(

(A) (?1, 0)

(B) (0,1)

(C) (1,1)
2 2

(D) (1, 0) )

(6)设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ? b ? a ? b ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (7)函数 f ( x) ? sin (A) 1

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

π 1 x ? ? 1 在区间 (0, 4) 内的零 恒谦 点个数为( 2 x
(B) 2 (C) 3

(D) 4

(8)设等差数列 {an } 的前 n 项和 为 Sn . 在 同 一 个 坐 标 系 中 ,
0.7

an(Sn)

7

8 n

an ? f (n) 及 Sn ? g (n) 的部分图
象如图所示,则( )

-0.4 O -0.8

(A)当 n ? 4 时, Sn 取得最大值 (C)当 n ? 4 时, Sn 取得最小值

(B)当 n ? 3 时, Sn 取得最大值 (D)当 n ? 3 时, Sn 取得最小值

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知角 ? 的终边过点 (?1, 3) ,则 tan ? ? ______. (10)已知 (1 ? i)(1 ? ai) ? 2 ( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为_____.

(11)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 ? ,且满足 a ? (tb ? a ) ,则实数 t 的值是________.

? x 2 ? x ? 1, ? 1≤x≤0, ? (12)已知函数 f ( x) ? ? 1 x 则 f ( f (0)) ? _______; f ( x ) 的最小值为 ( ) , 0 ? x ≤ 1, ? ? 2

.

mg / L ) (13) 为净化水质, 向一个游泳池加入某种化学药品, 加药后池水中该药品的浓度 C(单位:
随时间 t (单位: h )的变化关系为 C ? 大.

20t ,则经过_______ h 后池水中药品浓度达到最 t ?4
2

(14)已知全集 U ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,集合 A 是集合 U 的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条 件: ①若 a1 ? A ,则 a2 ? A ; ②若 a3 ? A ,则 a2 ? A ;

③若 a3 ? A ,则 a4 ? A . 则集合 A ? ___________.(用列举法表示) 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (Ⅰ)求 f (

π ). 3

4π ) 的值; 3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间.

(16) (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 是首项为 1 ,公差为 d 的等差数列,且 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1是等比数列 {bn } 的前三项. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
A D

(17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且

AD ? 1, CD ? 3, cos B ?

3 . 3

B

C

(Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 1 . 3

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象关于点 (0,1) 对称,直接写出 a 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅲ)若 f ( x) ? 1 在区间 [3,??) 上恒成立,求 a 的最大值.

(19) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a2 ? 2 , Sn 为其前 n 项和,且 S n ? (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求证: an ?

an (n ? 1) (n ? 1, 2,3,?) . 2

n an ?1 (n ? 2) ; n ?1

(Ⅲ)判断数列 {an } 是否为等差数列,并说明理由. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x) , x ? D ,设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? kx ? m . 如果 对任意的 x ? D ,均有: ①当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m ; ②当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m ; ③当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m , 则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的一个“? -点”. (Ⅰ)判断 0 是否是下列函数的“? -点” : ① f ( x) ? x3 ; ② f ( x) ? sin x .(只需写出结论) (Ⅱ)设函数 f ( x) ? ax2 ? ln x . (ⅰ) 若 a ?

1 ,证明: 1 是函数 y ? f ( x) 的一个“? -点” ; 2

(ⅱ) 若函数 y ? f ( x) 存在“? -点” ,直接写出 a 的取值范围.

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)A (6)A (3)D (7)C

2014.11

(4)B (8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) ? 3 (12) (10)1 (13) 2 (11) 2 (14) {a2 , a3}

1 1 ; 2 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f (

4π 4π 4π π ) ? sin ? sin( ? ) ? 0 . 3 3 3 3 π (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) 3 π π ? sin x ? (sin x cos ? cos x sin ) 3 3

?????? 3 分

?????? 5 分

1 3 1 3 π ? sin x ? ( sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 2 2 2 2 3
?????? 9 分 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ?

π π , 2kπ ? ](k ? Z) , 2 2
?????? 11 分

π π π ≤x ? ≤2kπ ? (k ? Z) , 2 3 2 π 5π (k ? Z) . 得 2kπ ? ≤x≤2kπ ? 6 6
由 2kπ ?

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2kπ ?

π 5π , 2kπ ? ](k ? Z) . ?????? 13 分 6 6

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知: a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d . 因为 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1成等比数列, 所以 (a2 ?1)2 ? a1 (a3 ?1) . 因为 a1 ? 1 , 所以 d ? 2d .
2

?????? 2 分

??????4 分

若 d ? 0 ,则 a2 ?1 ? 0 ,与 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1成等比数列矛盾. 所以 d ? 0 . 所以 d ? 2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ)因为 ?????? 7 分 ??????9 分

b2 a2 ? 1 ? ? 2 , b1 ? a1 ? 1 , b1 a1

?????? 11 分

所以 等比数列 {bn } 的首项为 1 ,公比为 2 . 所以 Tn ?

1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 . 1? 2

?????? 13 分

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?D ? 2?B , cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

3 , 3
1 . 3
?????? 3 分

因为 ?D ? (0, π) ,

所以 sin D ? 1 ? cos D ?
2

2 2 . 3

?????? 5 分

因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ?1? 3 ? ? 2 . ?????? 7 分 2 2 3

(Ⅱ)在△ ACD 中, AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 . 所以 AC ? 2 3 . 因为 BC ? 2 3 , ?????? 9 分

AC AB ? , sin B sin ?ACB

?????? 11 分

所以

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin( π ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
?????? 13 分

所以 AB ? 4 .

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ) a 的值是 0. (Ⅱ) f ?( x) ? x2 ? 2ax . 当 a ? 0 时, f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 (??, ??) 内单调递增; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 2a ; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得: 2a ? x ? 0 . ?????? 7 分 ?????? 2 分 ?????? 4 分

综上所述,当 a ? 0 时,无递减区间;当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, 2a) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (2a, 0) . (Ⅲ)因为 f ( x) ? 1 在区间 [3,??) 上恒成立,即 所以 a ?

1 3 x ? ax 2 ? 0 在区间 [3,??) 上恒成立. 3
??????10 分

1 x 在区间 [3,??) 上恒成立. 3

因为 x ≥ 3 , 所以

1 x ≥1. 3

?????? 11 分 ?????? 13 分

所以 a ? 1 .

所以 若 f ( x) ? 1 在区间 [3,??) 上恒成立, a 的最大值为 1.

?????? 14 分

(19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意知: S 2 ? 所以 a2 ? 2a1 . 因为 a2 ? 2 , 所以 a1 ? 1 . (Ⅱ)证明: 因为 S n ? ?????? 3 分

3a2 3a ,即 a1 ? a2 ? 2 . 2 2
?????? 2 分

an (n ? 1) (n ? 1, 2,3,?) , 2 a (n ? 1 ? 1) 所以 S n ?1 ? n ?1 ( n ≥ 2 ). 2
因为 an ? Sn ? Sn?1 , 所以 an ?

?????? 4 分 ?????? 6 分

(n ? 1)an ? nan ?1 ,即 (n ? 1)an ? nan?1 . 2 n an ?1 . n ?1

因为 n ≥ 2 , 所以 an ? ?????? 8 分 ??????9 分

(Ⅲ)数列 {an } 是等差数列.理由如下: 由(Ⅱ)得: 所以

an an ?1 ? (n ? 2,3, 4,?) . n n ?1
?????? 11 分

an ? a1 ? 1(n ? 2) ,即 an ? n(n ? 2) . n

由(Ⅰ)知: a1 ? 1 ,所以 an ? n(n ? 1) . 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列. ?????? 13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) ①0 是 f ( x) ? x 的“? -点” ;
3

②0 不是 f ( x) ? sin x 的“? -点”.

?????? 2 分

(Ⅱ)当 a ?

1 2 1 1 时, f ( x ) ? x ? ln x .其定义域为 (0, ??) , f '( x) ? x ? ( x ? 0 ). 2 2 x 1 (ⅰ)因为 f '(1) ? 2 , f (1) ? . 2 1 所以 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) , 2 3 即 y ? 2x ? . ?????? 4 分 2
令 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? ) ?

3 2

1 2 3 x ? ln x ? 2 x ? . 2 2
?????? 5 分

则 g '( x) ? x ? 因为 x ? 0 , 所以 g '( x) ?

1 ( x ? 1) 2 . ?2 ? x x

( x ? 1) 2 x

≥0.

所以 函数 g ( x) 是 (0, ??) 上的增函数. 所以 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ? 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ?

?????? 7 分

3 ; 2

3 ; 2 3 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ? . 2
所以 1 是函数 y ? f ( x) 的 “? -点”. (ⅱ)若函数 y ? f ( x) 存在“? -点” ,则 a 的取值范围是 a ? 0 . ?????? 10 分

?????? 14 分


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