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浙江省杭州市2013年第二次高考科目教学质量检测数学文科试卷


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浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测

数学(文)试题
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题上无效 4.考试结束,只需上交答题卷 参考公式: 球的表面积公式 棱柱的体积公式

S = 4p R 2
球的体积公式 的高

V=Sh 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱柱

V=

4 3 pR 3

台体的体积公式

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式

V=

1 h( S1 + 3

S1S 2 + S 2 )

其中 S1,2 分别表示台体的上、 S 下底面积, h表 示台体的高 如果事件 A、B 互斥,那么

V=

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 A = {x | x ? 2}, B A. {x | - 1 < x

{x | - 1 < x

3}, 则 (痧A) ? ( U B) U

2}

B. {x | x ?

1或x > 2}

C. {x | 2 < x < 3}

D. {x | x > 3}

2.已知 i 是虚数单位,则

1+ i i + =( ) i 1+ i
B.

A. -

1 3 + i 2 2

1 3 - i 2 2

C.

3 1 + i 2 2

D.

3 1 - i 2 2

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3.设 m ? R ,则“ m = 5 ”直线 l : 2 x - y + m = 0 与圆 C : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 5 恰好有 一个公共点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在一盆子中号为 1,2 的红色球个,编号为 1,2 的白色球 2 个,现从盒子中摸出两个球, 每个球被摸到的概率相同, 则摸出的两个球中既含有 2 种不同颜色又含有 2 个不同编号 的概率是 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5.设 m,n 是两条不同的直线, a , b 是两个不同的半面 A.若 m∥ a ,n∥ b ,m∥n,则 a ∥ b C.若 m⊥ a ,n⊥ b ,m⊥n 则 a ⊥ b B.若 m∥ a ,n∥ b , a ∥ b 则 m∥n D.若 m⊥ a ,n⊥ b , a ⊥ b 则 m⊥n

ì x- y 0 ? ? ? 6.已知实数 x,y 满足不等式组 í x - 3 y + 2 0, 则 2 x - y + 3 的最小值是 ? ? x+ y- 6 0 ? ? ?
A.3 B.4 C.6 D.9 7. P 为函数 f ( x) = sin(p x) 的图象上的一个最高点, 为函数 g ( x) = cos(p x) 的图象上 设 Q 的一个最低点,则|PQ|最小值是( ) A.

p2 +4 4

B.2

C.

17 2

D.2 2

8.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,BAD=60,E 是 BC 的中点,则 AC · AE =

??? ?

??? ?

A.

3+ 3 3

B.

9 2

C. 3

D.

9 4

9.已知双曲线

y 2 x2 + = 1(a > 0, b > 0) ,A,B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一 a 2 b2

点,且与点 B 在双曲线的同一支上.P 关于 y 轴的对称点是 Q 若直线 AP,BQ 的斜率分 别是 k1,k2, 且 k1·k2= -

4 ,则双曲线的离心率是( ) 5
B.

A.

3 5 5

9 4

C.

3 2

D.

9 5

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10.若函数 f ( x) = ( x + 1).e x ,则下列命题正确的是(



A.对任意 m < -

1 ,都存在 x ? R ,使得 f ( x) < m e2 1 ,都存在 x ? R ,使得 f ( x) < m e2 1 ,使得 f ( x) < m e2 1 ,使得 f ( x) < m e2

B.对任意 m > -

C.对任意 x ? R ,都存在 m < -

D.对任意 x ? R ,都存在 m > -

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.函数 f ( x) ? 1n 12.已知 cos x =

x?2 的定义域是 x ?1 R ) ,则 cos( x p )= 3

。 。

2 (x 3

13.已知数列{an}中 a3=7,a7=3,且 {

1 }) 是等差数列,则 a10= an - 1



14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 值是____ 。 15.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为 。 16.在△OAB 中,C 为 OA 上的一点,且

???? 2 ??? ? OC = OA, D 是 BC 的中点,过点 A 的直线 l ∥ OD,P 3 ??? ? ??? ? ??? ? 是直线 l 上的任意点,若 OP = l 1OB + l 2 OC
则l 1 - l 2 = 。

17.设 a,b 是关于 x 的方程 x sin q + x cos q - 2 = 0, 的两个实根( ? ? R, a ? b ) ,直线 l
2

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___。

过点 A(a,a2) ,B(b,b2) ,则坐标原点 O 到直线 l 的距离是_

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 c=2.acosB-bcosA= (I)求 bcosA 的值; (Ⅱ )若 a=4.求△ ABC 的面积。 19. (本小题满分 14 分) 在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=2,2a3 ,a5 ,3a4 成等差数列,数列{bn}满足 bn=21og2an+1。 (I)求数列{an}的通项公式; (II)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,数列{cn}满足 cn ?

7 。 2

S n ? 4n 。当 cn 最大时,求 n 的值。 nan

20. (本题满分 15 分) 在几何体中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,CC1∥ 1,AB=BC AA AA1=2,CC1=1,D,E 分别是 AB,AA1 的中点。 (Ⅰ)求证:BC1∥ 平面 CDE; (Ⅱ )求二面角 E—DC—A 的平面的正切值。

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax(a ? 0) 。
3

(I)当 a=1 时,求过点 P(-1,0)且曲线 y=f(x)相切的直线方程; (Ⅱ )当 x ? [0,1] 时,不等式

1 1 1 1 x ? ? f ( x) ? x ? 恒成立,求 a 的取值集合。 4 4 4 4

22. (本题满分 14 分) 已知直线 y=2x-2 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 M1,M2 两点,|M1M2|= 8 15 。 (I)求 P 的值; (Ⅱ )设 A 是直线 y=

p 上一点,直线 AM2 交抛物 2

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p 于 2

线于另点 M3,直线 M1M3 交直线 y= 点 B,求 OA · OB 的值。

??? ?

??? ?

2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学(文科)试题参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 B D A C C B C D C B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分): 11. {x | x ? ?1或x ? 2} 15. 50(1 ? 3) 12. 16.?

1 15 ? 3 6
3 2

13. 17. 2

7 3

14. 6

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 7 7 ?b? ? , (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ,根据余弦定理得, a ? 2ac 2bc 2 2 ∴ 2a 2 ? 2b2 ? 7c ,又∵ c ? 2 ,∴ a 2 ? b 2 ? 7 , b2 ? c2 ? a2 3 ?? . ∴ b cos A ? 2c 4 7 3 11 (Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 及 b cos A ? ? ,得 a cos B ? . 4 4 2 3 15 11 又∵ a ? 4 ,∴ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? , 16 16 1 3 ∴ S?ABC ? ac sin B ? 15 . 2 4 19. (本题满分 14 分) (Ⅰ) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵ 2a3 , a5 , 3a4 成等差数列, 1 ∴ 2a5 ? 2a3 ? 3a4 ,即 2q2 ? 2 ? 3q ,∴ q ? 2 或 q ? ? (舍去). 2
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7分

14 分

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又 a2 ? 2 ,则 an ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n ?1 , 即数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 . (Ⅱ) bn ? 2 log2 2n ? 2n ,则 {bn } 是等差数列, Sn ? 7分

n(2 ? 2n) ? n2 ? n , 2

n 2 ? 3n 1 ? (n ? 3) ? ( )n ?1 , 则 cn ? n ?1 n?2 2 1 1 1 cn ?1 ? cn ? (n ? 2) ? ( ) n ? (n ? 3) ? ( ) n ?1 ? ( ) n (4 ? n) , 2 2 2 ∵当 n ? 4 时, cn ?1 ? cn ,当 n ? 5 时, cn ?1 ? cn ,
∴ c n 取最大值时, n 的值是 4 和 5. 14 分 20. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 连接AC 1 交EC于点F,由题意知四边形ACC 1 E是矩形,则F是AC 1 的中点, 连接DF,∵D是AB的中点,∴DF是△ABC 1 的中位线, ∴ BC 1 //DF, 4分 ∵ BC 1 ? 平面EDC,DF ? 平面EDC, ∴BC 1 //平面CDE. 7分 (Ⅱ) 作 AH⊥直线 CD,垂足为 H,连接 HE, ∵ AA 1 ⊥平面ABC,∴ AA 1 ⊥DC, ∴ CD⊥平面 AHE, ∴ CD⊥EH, ∴ ? AHE 是二面角 E – CD – A 的平面角. 11 分 ∵ D 是 AB 的中点, ∴ AH 等于点 B 到 CD 的距离,
R R R R R R R R R R R R R R R R R R

2 5 , 5 AE 5 ? 在△AEH 中, tan ?AHE ? AH 2
在△BCD 中,求得:AH= 即所求二面角的正切值为

(第 20 题)

5 . 2

15 分

21. (本题满分 15 分) (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 1, 设切点 T ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x0 ) ? ?3x02 ? 1 , ∴ 切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即: y ? (? x0 ? x0 ) ? (?3x0 ? 1)( x ? x0 ) . 1 把 (?1,0) 代入得: ( x0 ? 1) 2 (2x0 ? 1) ? 0 ,∴ x0 ? ?1 或 x ? . 2 当 x0 ? ?1 时,切线方程为 y ? ?2 x ? 2 . 1 1 1 当 x0 ? 时,切线方程为 y ? x ? . 7分 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅱ) 不等式 x ? ? f ( x) ? x ? ,即: x ? ? ? x3 ? ax ? x ? , 4 4 4 4 4 4 4 4 ①当 x ? 0 时,不等式显然成立. 1 1 1 1 ②当 x ? (0,1] 时,不等式化为 ? ? x2 ? a ? ? ? x2 , 4 4x 4 4x 1 1 1 1 设 g ( x) ? ? ? x 2 , h( x) ? ? ? x2 , 4 4x 4 4x
3 2

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则 g ?( x) ?

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1 ? 2x ? 0 ,∴ g (x) 在(0,1]上递增,∴ g ( x) max ? g (1) ? 1 , 4x 2

8 x3 ? 1 1 1 h?( x) ? ,∴ h(x) 在(0, ]上递减,在( ,1 ]递增, 2 2 2 4x
1 ∴ h( x) min ? h( ) ? 1, 2 ∴ 1 ? a ? 1 ,即 a ? 1 . 综上所述, a 的取值集合为 {a | a ? 1} .

15 分

(第 22 题)

22. (本题满分 14 分) ? y ? 2x ? 2 (Ⅰ) 由 ? 2 ,整理得, x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设M 1 ( x1 , y1 )、M 2 ( x2 , y2 ), x ? 2 py ?
R R R R

?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p ,∵ | M1M 2 |? 8 15 , ?x ? x ? 4 p ? 1 2



[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ](1 ? 22 ) ? 8 15 ,即: [(16 p 2 ? 16 p] ? 5 ? 8 15 .
∴ p 2 ? p ? 12 ? 0 ,得 p ? 4 或 p ? ?3 (舍去),且 p ? 4 满足 ? ? 0 , ∴ p?4.
2

7分

2 ? x ? x2 ? 16 x x (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 1 , M 1 ( x1 , 1 ) , M 2 ( x2 , 2 ) , 8 8 ? x1 x2 ? 16 2 x 设 M 3 ( x3 , 3 ) ,A (t ,2) , B(a,2) , 8 由A、M 2 、M 3 三点共线得 kM2M3 ? k AM 2 ,
R R R R

x2 ?2 x2 ? x3 2 2 ∴ ,即: x2 ? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 , ? 8 8 x2 ? t 整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 ,??①

2

由B、M 3 、M 1 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 ,??②
R R R R

②式两边同乘 x 2 得: x1x2 x3 ? a( x1x2 ? x2 x3 ) ? ?16x2 即: 16x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16x2 ,??③, 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 代入③得: 16x3 ? 16a ? tq( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16x2 , 即: 16( x2 ? x3 ) ? at( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 . ∴ OA ? OB ? at ? 4 ? 20 . 14 分

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