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江西省南昌市2017-2018学年高三第一轮复习训练题数学(一)《集合、简易逻辑、初等函数》


1.若集合 A ? {0,1,2, x} , B ? {1, x 2 } ,A ? B ? A ,则满足条件的实数 x 的个数有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )



2.若集合 A ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 3}, B ? {x | A. {x | ?1 ? x ? 0} 3.函数 y ? A. (?1,3) B. {x | 0 ? x ? 1} 的定义域是( )

2? x ? 0} ,则 A ? B =( x
C. {x | 0 ? x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

log 2 (3 ? x) x2 ? 1

B. (??, ?1) ? [1,3)

C. (??, ?1) ? (1,3]

D. (??, ?1) ? (1,3) )

x 4.已知 U ? R , A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? { y | y ? ( ) ? 1} ,则 (CU A) ? B ? (

1 2

A.

[3,??)

B. (3,??)
2

C. [1,3] )

D. (1,3)

5.命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 1 ”的否定是( A. 对任意 x ? R ,都有 x ? 1
2

B. 不存在 x ? R ,使得 x ? 1
2

2 C. 存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1

2 D. 存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1

6. 下列命题为真命题的是(


B. 命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题
2

A. 命题“若 x ? y ,则 x ?| y | ”的逆命题
2

C. 命题“若 x ? 1 ,则 x ? x ? 0 ”的否命题 D. 命题“若 a ? b,则 7.“函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? m 存在零点”的一个必要不充分条件是( A. m ? 1 B. m ? 2 C. m ? 0

1 1 ? ”的逆否命题 a b


D. 1 ? m ? 2

8. 已知命题 p : ?x ? e, ( ) ? lnx ;命题 q : ?a ? 1, b ? 1,logab ? 2logb a ? 2 2 ,则下列命题
x

1 2

中为真命题的是 ( A.


B. p ? q C. p ? ? ?q ? D. p ? ? ?q ?

? ?p ? ? q

9. 函数 y ?

2x 的图象大致为( ln | x |



A.

B.

C.

D.

13. 函数 y ? log1 ( x 2 ? 6 x ? 18) 的值域是________.
3

14. 设全集 U ? R ,集合 M ? {x | 2a ? 1 ? x ? 4a, a ? R} , N ? {x | 1 ? x ? 2} ,若 N ? M , 则实数 a 的取值范围是 . 15. 已知 p : ( x ? m ? 1)(x ? m ? 1) ? 0 ; q : 数 m 的取值范围是 16. 下列几个命题:①函数 y ? ②“ ? .

1 3 ? x ? ,若 ? q 是 ? p 的必要不充分条件,则实 2 4

x2 ?1 ? 1? x2 是偶函数,但不是奇函数;

?a ? 0
2 ?? ? b ? 4ac ? 0

”是“一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R ”的充要条件;

③ 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,则函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 y 轴对称; ④若函数 y ? A cos(?x ? ? )( A ? 0) 为奇函数,则 ? ? ⑤已知 x ? ?0, ? ? ,则 y ? sin x ?

?
2

? k? (k ? Z ) ;

2 的最小值为 2 2 .其中正确的有__________. sin x
3

17. 已知集合 A ? {x | 3x ? 1} ,集合 B ? {x | log1 ( x ? 1) ? ?1} (Ⅰ)求 (CR A) ? B ; (Ⅱ)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

18.已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (1,5) ,且 f ( x) 在区间 [?1, 4] 上的最大值 是 24 .(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)设函数 f ( x) 在 x ? [t , t ? 1] 上的最小值为 g (t ) ,求

g (t ) 的表达式.

20.

已知函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 3a) ,(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求该函数的定义域和值域;

(Ⅱ)如果 f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. 设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R ) .(Ⅰ)若函数 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;(Ⅱ) 2 ?1
x

试证明:对于任意 a , f ( x) 在 R 上为单调函数;(Ⅲ)若函数 f ( x) 为奇函数,且不等式

f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 9) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B C D B D A B A 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. (??,?2] ; 14. ( ,1] ;

9 B

10 C

11 D

12 A

1 2

15. [ ?

1 3 , ]; 4 2

16. ②④;

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】(Ⅰ)依题意有 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} , CR A ? {x | x ? 0} ,

?(CR A) ? B ? {x | ?1 ? x ? 0} .
(Ⅱ)? B ? C ? C ,? B ? C ,由 B ? {x | ?1 ? x ? 2} , C ? { x | x ? ? } , 画出数轴,可得 ?

a 2

a ? ?1 ,所以 a ? 2 . 2

18.【解析】(Ⅰ) f ? x ? 是二次函数,且 f ? x ? ? 0 的解集是 (1,5) ,∴可设

f ? x ? ? a( x ?1)( x ? 5)(a ? 0) ,可得 f ? x ? 的对称轴为 x ? 3 ,在区间 [?1,3] 上函数是减函
数,区间 [3, 4] 上函数是增函数,∴ f ? x ? 在区间 [?1, 4] 上的最大值是 f (?1) ? 12a ? 24 ,得
2 a ? 2 .因此,函数的表达式为 f ( x) ? 2( x ?1)(x ? 5) ? 2x ?12x ? 10 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 2( x ? 3) 2 ? 8 ,函数图象的开口向上,对称轴为 x ? 3 ①当 t ? 1 ? 3 时,即 t ? 2 时, f ? x ? 在 [t , t ? 1] 上单调递减, 此时 f ? x ? 的最小值 g (t ) ? f (t ? 1) ? 2(t ? 1) 2 ?12(t ? 1) ? 10 ? 2t 2 ? 8t ; ②当 t ? 3 时, f ? x ? 在 [t , t ? 1] 上单调递增, 此时 f ? x ? 的最小值 g (t ) ? f (t ) ? 2t 2 ?12t ? 10 ③当 2 ? t ? 3 时,函数 y ? f ? x ? 在对称轴处取得最小值 此时, g (t ) ? f (3) ? ?8 .

?2t 2 ? 8t , t ? 2 ? 综上所述,得 g (t ) 的表达式为: g (t ) ? ?? 8,2 ? t ? 3 ?2t 2 ? 12t ? 10, t ? 3 ?
20.【解析】(Ⅰ) 当 a ? ?1 时, f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3)

令 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 ,所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 3) . 令 t ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4 ,则 0 ? t ? 4 ,所以 f ( x) ? log2 t ? log 2 4 ? 2 因此函数 f ( x ) 的值域为 ( ??, 2] (Ⅱ) 解法一: f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax 2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间

[2, 3] 上恒成立.

令 g ( x) ? ax2 ? 2x ? 3a ? 2

当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 a ? 0 满足题意. 当 a ? 0 时, g ( x) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当 a ? 0 时, ? 解得 a ? ?2 ; 当?

1 , a

1 ? 0 ? 2 ,函数 g ( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数, g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 , a

1 5 2 ? a ? 0 时, ? ? , g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 a 2 5 2 2 1 5 时, 0 ? ? ? , g ( x)min ? g (3) ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ? 5 3 a 2

当a ? ?

综上, a 的取值范围是 [ ? , ? ? )
2 解法二: f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2, 3] 上恒成立.由

2 3

ax2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 且 x ? [2,3] 时, x2 ? 3 ? 0 ,得 a ?
令 h( x ) ?

2 ? 2x x2 ? 3

2 x2 ? 4 x ? 6 2 ? 2x ? ,则 h ( x ) ? ?0 x2 ? 3 ( x 2 ? 3)2
2 3

所以 h( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数,所以 h( x) max ? h(3) ? ? 因此 a 的取值范围是 [ ? , ? ? ) .

2 3

2 2 ? 2x ?a? 21.【解析】(Ⅰ) f (? x) ? a ? ? x ,且 f (? x) ? f ( x) ? 0 2 ?1 1? 2x 2(1 ? 2 x ) ? 2a ? ? 0? a ? 1 1? 2x
(注:通过 f (0) ? 0 求也同样给分)

(Ⅱ)证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? ( a ? ) ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ? x ? 在 R 上为增函
数。 (Ⅲ)因为 f ? x ? 为奇函数且在 R 上为增函数, 由 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 9) ? 0 得 f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9x ? 9) ? f (?3x ? 9x ? 9) 得 k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 9 即 32 x ? (1 ? k )3x ? 9 ? 0 对任意 x ? R 恒成立.
x x x

x 解法一:令 t ? 3 ? 0 ,问题等价于 t 2 ? (1 ? k )t ? 9 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立.

令 f (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 9 ,其对称轴 x ? 当

k ?1 . 2

k ?1 ? 0 即 k ? ?1 时, f (0) ? 9 ,符合题意. 2

?k ?1 ?0 k ?1 ? ? 0 当 时,对任意 t ? 0, f (t ) ? 0 恒成立,等价于 ? 2 解得: ? 1 ? k ? 5 .综上所 2 ? ?? ? 0
述,当 k ? 5 时,不等式 f (k ? 3k ) ? f (3k ? 9k ? 9) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.
k k k 解法二: k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 9 ,即 k ? 3 ?
x

9 ? 1 ,由 3x ? 0 ,可得 3x

y ? 3x ?

9 9 9 ? 1 ? 2 3x ? x ? 1 ? 5 ,当且仅当 3x ? x ,即 x ? 1 时,取得最小值 5,则 k ? 5 . x 3 3 3

故 k 的取值范围为 k ? 5 .


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