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高中数学人教版必修4全套教案


第 1,2 课时 1.1.1 任意角
教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集 合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写

. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位臵旋转 到另一个位臵所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位臵旋转到另一个位臵所形 成的图形. ②角的名称: 始 B 边 终 ③角的分类: O 边 A 顶 正角:按逆时针方向旋转形成的角 点 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么 1

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? y 45° O ⑴ B1 30° O ⑵ B2 y

x

60o B3

x

例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为 1、2、3、4、1、2 象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角, 连同α在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k〃 360°, k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角 有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k〃 720 °与角α终边相同, 但不能表示与角α终边相同的所有角. 例 3.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们 是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12' . 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限 角; 例 4.写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n〃180°,n∈Z}. 例 5.写出终边在 y ? x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β< 720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类:

2

正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: 练习第 1-5 题; 习题 1.1 第 1、2、3 题 思考题:已知α角是第三象限角,则 2α,

解:?? 角属于第三象限, ? k〃360°+180°<α<k〃360°+270°(k∈Z) 因此,2k〃360°+360°<2α<2k〃360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z) 故 2α是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角. 又 k〃180°+90°<

? 各是第几象限角? 2

? <k〃180°+135°(k∈Z) . 2

当 k 为偶数时,令 k=2n(n∈Z),则 n〃360°+90°< (n∈Z) , 此时,

? <n〃360°+135° 2

? 属于第二象限角 2

k 为奇数,令 k=2n+1 (n∈Z),则 n〃360°+270°< ∈Z) , 此时,

? <n〃360°+315°(n 2

? 属于第四象限角 2

因此

? 属于第二或第四象限角. 2

3

第 3 课时 1.1.2 弧度制(一)
教学目标 (一)知识与技能目标 理解弧度的意义; 了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应 的关系;熟记特殊角的弧度数. (二)过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算, 能推导弧度制下的弧长公式及 扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题 (三)情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神; 通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受 弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美. 教学重点:弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. 教学难点: “角度制”与“弧度制”的区别与联系. 教学过程: 一、复习角度制: 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的

1 作为 1 度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 360

二、新课: 1.引入: 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是 60 进 制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一 种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢? 2.定义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用弧度来 度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下, 1 弧度记做 1rad. 在实际运算中, 常常将 rad 单位省略. 3.思考: (1) 一定大小的圆心角 ? 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆 的半径大小有关吗? (2)引导学生完成 P6 的探究并归纳: 弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为

?r
r

? ?;

②整圆所对的圆心角为

2?r ? 2? . r

4

③正角的弧度数是一个正数. ⑤零角的弧度数是零. 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:

④负角的弧度数是一个负数. ⑥角α的弧度数的绝对值|α|= .

l r

360 ? ? 2? ; 180 ? ? ? ; 1? ?
②将弧度化为角度:

?
180

? 0.01745 rad ; n? ?

n? rad . 180

? 180 ? ? 1? ? ? ? 57.3 ? ? ?
5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 角 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 度 弧 度 0

?

270°

360°

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

7.弧长公式

l??r
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.

3 ? rad 化成度 5 ? ? 例 2.计算: (1) sin ; . ( 2) cos 4 6
例 1.把 150°化成弧度;把 例 4.将下列各角化成 0 到 2π的角加上 2kπ(k∈Z)的形式:

(1)

例 5.将下列各角化成 2kπ + α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象 限.

19? ; (2) ? 315? . 3

31? 19? ; ( 2) ? . 6 3 19? 7? 7? ? 2? ? , 解: (1) 是第三象限的角,所以它是第三象限角. 3 6 6

(1)

R

l

O

5

( 2) ?

31? 是第二象限角. 6

例 6. 利用弧度制证明扇形面 积公式 S ?

1 lR, 其中 l是扇形弧长 , R是圆的半径 . 2

证法一:∵圆的面积为 ?R ,∴圆心角为 1 的扇形面积为
2

为 l,半径为 R, ∴扇形的圆心角大小为

1 ?R 2 ,又扇形弧长 2?

l 1 2 1 l rad, ∴扇形面积 S ? ? R ? lR . R 2 2 R n ? ?R 2 证法二:设圆心角的度数为 n, 则在角度制下的扇形面积公式为 S ? , 360 n?R 1 n?R 1 ?R ? l?R. 又此时弧长 l ? ,∴ S ? ? 180 2 180 2
可看出弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得 多. 扇形面积公式 : S ?

1 1 lR ? ? R 2 2 2

7.课堂小结 ①什么叫 1 弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的 联系与区别. 8.课后作业: ①教材 P9 练习第 1、2、3、6 题 ②教材 P10 面 7、8 题及 B2、3 题.

6

第 4 课时 1.2.1 任意角的三角函数(三)
教学目的: 知识目标: 1.复习三角函数的定义、 定义域与值域、 符号、 及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示 角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三 角函数的定义域、值域有更深的理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精 神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z) cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z) tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z)
练习 1.
o tan600 的值是__________ __. D

A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

练习 2.

若 sin θ cosθ ? 0, 则θ在 ________ . B A. 第 一 、 二 象 限 B. 第 一 、 三 象 限

练习 3.

C. 第 一 、 四 象 限 D. 第 二 、 四 象 限 若 cosθ ? 0,且sin2? ? 0则θ的终边在 ____
A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第四象限

C

D. 第二象限

二、讲解新课: 当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足 时,有三角函数正弦、 余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 7

x2 ? y2 ? 1

1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位 圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T .

y
P
M

y P

T A

o

A
T

x

o

M

x

(Ⅱ)

(Ⅰ)

y

T
A

y
M A

M

o

x

o

x

P

P T

(Ⅲ)

(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA

8

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: (1)三条有向线段的位臵: 正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴 上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段 中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向: 正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正 切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负: 三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值, 与 x 轴或 y 轴反向的为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

解:图略。

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 3 6 3
?
2

(4) ?

13? . 6

例 2. 若0 ? ? ?

,证明 sin ? ? cos ? ? 1.

例3.比较大小: 2 4 (1) sin ?与 sin ? 3 5 2 4 (3) t an ?与 t an ? 3 5

2 4 (2) cos ?与 cos ? 3 5

1 例4.在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( ) 2 ? ?? ?? 5? ? ? ? 2? ? A. ?0, ? B. ? , ? C. ? , ? ? 6? ?6 6 ? ?6 3 ?
例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

1 (1) sin x ? ? ; 2

( 2) c o sx ?

1 . 2

9

答 案 : ( 1 )

?

?
6

7? 11? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 6 6

; ( 2 )

? 2k? ? x ?

?

6

? 2k? , k ? Z ;

三、巩固与练习:P17 面练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4

10

第 5,6 课时 1.2.1 任意角的三角函数(1)
教学目的: 知识目标:1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量 的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推 导,提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角 度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式; (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科 学精神; 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定 义域和函数值在各象限的符号) , 以及这三种函数的第一组诱导 公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切 函数值分别用他们的集合形式表示出来. 教学过程: 一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正 弦、余弦、正切依次为 sinA ? 新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点 P (除了原点) 的坐标为 ( x, y ) ,它与原点的距离为

a b a , cosA ? , tanA ? . c c b

角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r
(1)比值 11

y y 叫做α的正切,记作 tan? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y 说明:①α的始边与 x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或
(3)比值 负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位臵; ② 根据相似 三角形的 知识 ,对于确 定的角α, 四个比 值不以 点 P ( x, y ) 在α的终边上的位臵的改变而改变大小; ③当 ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α的终边在 y 轴上,终边上任意一点

的横坐标 x 都等于 0 , 所以 tan? ? 意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值

y x 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时, cot? ? 无 x y

y x y x 、 、 、 分别 r r x y

是一个确定的实数, 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上 四种函数统称为三角函数。 2.三角函 函 数 定 义 域 值 域 数的定 [ ?1,1] y ? sin ? R 义域、 y ? cos? 值域 [ ?1,1] R

y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的 非负半轴重合.? (2) α 是任意角, 射线 OP 是角 α 的终边, α 的各三角函数值 (或是否有意义) 与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位臵无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是 这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相 12

似(直角)三角形的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是 以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距 离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上,由锐角三角 函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角 形臵于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边 与 x 轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值: (通过本例总结特殊角的 三角函数值) (1) 0 ; (2) ? ; (3)

解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以

3? . 2
cot 0 不存在。

tan 0 ? 0 , (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以 sin ? ? 0 , cos ? ?? , 1 tan ?? , 0
在, (3)因为当 ? ?

sin 0 ? 0 ,

cos 0 ? 1 ,

cot ? 不存

3? 时, x ? 0 , y ? ?r ,所以 2 3? 3? 3? sin ? ?1 , cos ?0 , 不存在, tan 2 2 2 3? cot ?0, 2 例 2.已知角α的终边经过点 P(2, ?3) ,求α的四个函数值。
解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ?

22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是

y ?3 3 13 x 2 2 13 ; ; ? ?? cos ? ? ? ? r 13 r 13 13 13 y 3 x 2 tan ? ? ? ? ; cot ? ? ? ? . x 2 y 3 例 3.已知角α的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α的四个三角函数值。 sin ? ?
解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当

x ? a, y ? 2a

a ? 0时, sin ? ?

x a 5a y 2a 2a 2 5 ; cos ? ? ? ? ? ? ? r 5 r 5 5a 5|a| 5a

1; 5 tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? 2 2
13

当 a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a

cos? ?

x a 5a ; ? ?? r ? 5a 5

1 . ? ? ? 5;csc ? ? ? tan ? ? 2;cot ? ? ;sec 2 2

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为 r 负( y ? 0, r ? 0 ) ; x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为 r 负( x ? 0, r ? 0 ) ; y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负 x ( x, y 异号) .
①正弦值 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1)cos 250 ;
?

(2)sin( ?

?
4

);

(3)tan(?672 ) ;
?

(4)

tan

例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则角 ? 是第三象限角,反之也成立。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? ,

11? . 3

cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角 函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值: (1) cos 例 6.求函数 y ?

11? 9? ), , (2) tan( ? 6 4

cos x cos x

?

tan x 的值域 tan x
又∵tanx?0 ∴x 的终边

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 不在 y 轴上 14

∴当 x 是第Ⅰ象限角时, x ? 0, y ? 0 ∴y=2

cosx=|cosx| tanx=|tanx|

… … … … Ⅱ … … … … , x ? 0, y ? 0 |tanx|=?tanx ∴y=?2
x ? 0, y ? 0 …………ⅢⅣ………, x ? 0, y ? 0

|cosx|=?cosx

|cosx|=?cosx |tanx|=tanx

∴y=0 四、小结:本节课学习了以下内容: 1.任意角的三角函数的定义;2.三角函数的定义域、值域;3.三角 函数的符号及诱导公式。 五、巩固与练习 1、教材 P15 面练习; 2、作业 P20 面习题 1.2A 组第 1、2、3(1) (2) (3)题及 P21 面第 9 题的(1) 、 (3)题。

15

第 7,8 课时 4-1.2.2 同角三角函数的基本关系
教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数定义导出同角三角函数基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解 题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值符号的确定,同角三角函数基本关系式变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P ( x, y ) ,它与原点的距离为

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) , 那 么 : s i n? ?

y x , cos ? ? , r r

tan ? ?

y , x 3 ,A 为第一象限角,如何求角 A 的其它三角函数 5

2.当角α分别在不同的象限时,sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin A ? 值; 4.问题:由于α的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α的三个三角函数 之间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: ( 1 ) 商 数 关 系 : tan ? ?

sin ? con ?

(2)平方关系:

sin 2 ? ? con2? ? 1
说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等; ②对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形 用) ,如:
2 2

16

?? cos? ? ? 1? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , c o s
2.例题分析: 一、求值问题 例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

sin ? 等。 tan ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , . cot ? 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5

2 2 12 2 5 2 2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( )

又∵ ? 是第二象限角,

tan ? ?

sin ? 12 ?? cos ? 5

13 13 5 ∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ? ,从而 13

2 2 (2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,

2

2

4 5

2

3 5

2

又∵ cos ? ? ?

3 sin ? 3 ?? ; ,tan ? ? 5 cos ? 4 3 n?? , 当 ? 在 第 四 象 限 时 , 即 有 sin ? ? 0 , 从 而 s i ? 5 sin ? 3 tan ? ? ? . cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值, 便可运用基本关系式求出其它三角 函数值。在求值中,确定角的终边位臵是关键和必要的。有时,由于 角的终边位臵的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是: ①没有确定好或不去确定角的终边位 臵;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan? 为非零实数,用 tan? 表示 sin ? ,cos ? .
2 2 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。



又∵ tan? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 17

sin ? , cos ? (cos? ? tan ? )2 ? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1 1 c 2? o ?s , 2 1? t? a n







cos ? ?

1 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?
sin ? ? tan ? ? cos ? ?

tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ? 当 ? 在 第 二 、 三 象 限 时 , 即 有 cos ? ? 0 , 从 而

cos ? ? ?

1 1 ? tan 2 ? , ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?
sin ? ? tan ? ? cos ? ? ? tan ? 1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

例 3、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 解:? sin ? ? 2 cos?

sin ? ? 4 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ?

⑵ 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos2 ?.

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除

强调(指出)技巧:1? 分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 以 cos? ,将分子、分母转化为 tan? 的代数式; 2? “化 1 法” 可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,
2 2

再利用商数关系化归为 tan? 的分式求值; 小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式 子中的“1”作巧妙的变形, 二、化简 练习 1.化简 1 ? sin 2 440? . 解:原式

? 1 ? sin 2 (360? ? 80? ) ? 1 ? sin 2 80?

? cos2 80? ? cos80? .
3? ) 2

练习 2. 化简 三、证明恒等式

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos?

(? ? ? ?

18

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边. ∴左边= ? cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x
例 4.求证: ∴原式成立. 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? cos x ? cos x ,

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? ? 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x


cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? 0, (1 ? sin x) cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x ?
总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一 的过程,证明时常用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边同等于同一个式子; (3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 五、课后作业:作业第 五 课时

19

第 9,10 课时 1.3 诱导公式(一)
教学目标 (一)知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式. ⑵培养学生化归、转化的能力. (二)过程与能力目标 (1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五. (2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒 等式的证明. (三)情感与态度目标 通过公式四、五的探究,培养学生思维的严密性与科学性等思维品 质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质. 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途, 熟练驾驭公式. 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、 化简以及简单三角恒等式的证明. 教学过程 一、复习: 诱导公式(一)

sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( 360?k ? ? ) ? tan?

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

tan( 180? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四)

cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan?
tan( 180? ? ? ) ? ? tan?

sin(180? ? ? ) ? sin ?
对于五组诱导公式的理解 :

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

① 公式中的?可以是任意角; ②这四组诱导公式可以概括为:

? ? ?, ? ? ? ,的三角函数值,等于它 的同名 三角函数值, 前面加上一个把 ?看成锐角时原函数值的 符号。
20

2k? ? ? (k ? Z),

??,

总结为一句话:函数名不变,符号看象限 练习 1:1、2、3、4。 2:例 2:化简 二、新课讲授: 1、诱导公式(五) 2、诱导公式(六)

sin( sin(

?

?

2 2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos( cos(

?

?

2 2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

总结为一句话:函数正变余,符号看象限 例 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 3:求下列函数值:

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4 3? ? ? ) ? ? cos ? 例 2.证明: (1) sin( 2 3? ? ? ) ? ? sin ? (2) cos( 2 ? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 3.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 例4. 已知 tan( ? ? ? ) ? 3, (1) cos

2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 求: 的值。 4cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. 解:? tan( ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3
小结: ①三角函数的简化过程图: 任 意 负 角 公 式 一 或任 意 正 角 00~3600 间 公式一或二或 的 的 角 三 四 三角函数 三角函数 的三角函 ②三角函数的简化过程口诀: 数 负化正,正化小,化到锐角就行了. 练习 4:教材 P28 页 7. 三.课堂小结 21 00~900 间角 的三角函 数 查表 求值

①熟记诱导公式五、六; ②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限; ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数. 四.课后作业: ①阅读教材;②练习册.

22

第 11,12 课时 1.3 诱导公式(二)
教学目标 (一)知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式. ⑵培养学生化归、转化的能力. (二)过程与能力目标 (1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五. (2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒 等式的证明. (三)情感与态度目标 通过公式四、五的探究,培养学生思维的严密性与科学性等思维品 质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质. 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途, 熟练驾驭公式. 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、 化简以及简单三角恒等式的证明. 教学过程 一、复习: 诱导公式(一)

sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( 360?k ? ? ) ? tan?

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

tan( 180? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四) sin(?-?)=sin? 诱导公式(五)

cos(?? ) ? cos?
cos(? -?)=-cos?

tan(?? ) ? ? tan?
tan (?-?)=-tan?

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

诱导公式(六)

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? ? sin ?

二、新课讲授: 23

练习 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 2:求下列函数值:

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4 3? ? ? ) ? ? cos ? 例 1.证明: (1) sin( 2 3? ? ? ) ? ? sin ? (2) cos( 2 ? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 2.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 2cos( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ?) 例3. 已知 tan( ? ? ? ) ? 3, 求: 的值。 4cos( ?? ) ? sin(2 ? ? ?) ? ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. 解:? tan( ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3 (1) cos
例 4.

已知sin( ? ??) ?

4 2 sin( ? ? ? ) ? 3 tan(3? ? ? ) , 且 sin? cos? ? 0, 求 的值. 5 4 cos( ? ? 3? )

小结: ①三角函数的简化过程图: 任意负角的 公 式 一 或 任意正角的 00~3600 间 公式一或二或 三角函数 三 三角函数 角 四 的三角函数 ②三角函数的简化过程口诀: 负化正,正化小,化到锐角就行了. 练习 3:7. 化简: 00~900 间角 的三角函数 查表 求值

?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin( ? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ); ? 5? ? sin? ?? ? ? 2 ?

24

( 2) cos2 ( ?? ) ?
例 5.

tan(360o ? ? ) . sin( ?? )

已知sin? , cos?是关于 x的方程 x 2 ? ax ?

1 7? ? 0的两根,且 3? ? ? ? . 2 2



tan(6? ? ? ) sin( ?2? ? ? ) cos(6? ? ? ) 的值. cos(? ? 180? ) sin( 900? ? ? )

三.课堂小结 ①熟记诱导公式五、六; ②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限; ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数. 四.课后作业: ①阅读教材; ②练习册——诱导公式.

25

第 13,14 课时 1.4.1 正弦、余弦函数的图象
教学目的: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象, 明确图象的形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不 苟的学习和工作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y) P 与原点的距离 r( r ? 则比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
记作: 记作:

2

2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

y r x cos ?? r sin ??

?

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x, y),过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α的正弦线, 有向线段 OM 叫做角α的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几 何法) :为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使 自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度 26

应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的 正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆, 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数 的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0,

?
6



? ? , ,…,2π的正弦线正 3 2

弦线(等价于“列表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起 点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 (等 价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦 函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向 左连续地平行移动,每次移动的距离为 2π,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R ) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应 的点 x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形 变换得到余弦函数的图象?

27

根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 平移

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左

? 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲 2
y 1 -4?

线” )
y=sinx
o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

-6?

-5?

-3?

-2?

-?

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和 余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π]的图象中, 五个关键点是: (0,0) ( (
3? ,-1) (2?,0) 2

? ,1) (?,0) 2

余弦函数 y=cosx (
3? ,0) (2?,1) 2

x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (

? ,0) (?,-1) 2

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太 高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π], 翻转等)来得到 (1)y=1+sinx ,x∈?0,2π?的图象; (2)y=sin(x- π/3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 探究3. 28 (2)y=-COSx 探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈?0,2π?的图象,通过图形变换(平移、

如何利用 y=cos x,x∈?0,2π?的图象,通过图形变换(平移、翻 转等)来得到 y=-cosx , x∈?0,2π?的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 探究4. 如何利用 y=cos x,x∈?0,2π?的图象,通过图形变换(平移、翻转等) 来得到 y=2-cosx ,x∈?0,2π?的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π/2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请 在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2
三、巩固与练习

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:练习 1,2

29

第 15 课时 1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的: 知识目标:要求能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函 数的最小正周期。 德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊到一般的 数学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程: 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

?2?

x
函数值

?

3? 2

??

?

? 2

0
0

? 2
1

?
0

3? 2

2?

sin x

0

1

0
y

?1
– 1

?1

0

?5?

?2?

??

?

?
2

O

?
2

?

2?

5?

x

?1 – 正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下:

(观察图象) 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2? 规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重 复出现) 3? 这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 30

二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取 定义域内的每一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? 是它的周期? 3

2? ? ) ? sin ,能否说 3 6

(2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是
*

多少?( 2k? , k ? Z 且 k ? 0 ) (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期 吗?为什么? (是, 其原因为:f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2、说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无 上界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正 周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没 有最小正周期) 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x ( 3 ) 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周 期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最

1 ? y ? 2 sin( x ? ) , x ? R . 2 6 解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? , 函数 y ? 3cos x ,x ? R 的
值才能重复出现, 所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的 31

值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . (3)∵ 2sin( x ?

1 ? 1 ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 6 2 6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? , 函数 y ? sin 2 x ,x ? R 的 1 2

?

值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . 练习 1。求下列三角函数的周期: 1? y=sin(x+
? ) 3
x ? + ) 2 5

2? y=cos2x

3? y=3sin(

解:1? 令 z= x+

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2)?+ 2?令 z=2x

∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令 z= =3sin(
x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?

思考: 从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪 些量有关? 说明: (1)一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ,

x ? R (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0 ,? ? 0 )的周期 T ?
( 2 ) 若 ? ? 0 , 如 : ① y ? 3cos(? x) ; ③ y ? 2sin( ?

2?

? ② y ? sin(?2 x) ;



则这三个函数的周期又是什么?一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 思考: 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 解:1? y1=sin(2x+
? ) 4

1 ? x? ),x?R. 2 6

2? |? |
? ? )+2cos(3x- ) 2? y=|sinx| 4 6

最小正周期 T1=?

y2=2cos(3x-

? ) 最小 6

32

正周期 T2=

2? 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 三、巩固与练习 1,2,3 四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期

2?

T=? 作图

-?

??

五、课后作业:练习册——正弦函数图象和性质

y 1 o 1

?

2?

3?

x

33

第 16 课时 1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数 的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学 生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程: 一、复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象 有怎样的对称性呢? 二、讲解新课: 1. 奇偶性 请观察正、 余弦函数图形, 说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形:当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: f(∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的 任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上,这时, 我们说函数 y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形: 观察函数 y=sinx 的图象, 当自变量取一对相反数 时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的 图象关于原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关 于原点对称的点 (-x,-y) 也在函数 y=sinx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=sinx 是奇函数。 2.单调性:从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( ); …… 3 2 3 2 3 3

由于 cos(-x)=cosx

? 3?

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
34

]的图象上可看出: , 2 2

? ? +2kπ, + 2 2 ? 2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ + 2 3? 2kπ, +2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2
结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间[- 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从- 1 增加到 1; 在每一个[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴: 观察正、 余弦函数的图形, 可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ? k∈Z y=cosx 的对称轴为 x= k? k∈Z

? 2

练习 1.写出 y ? 3 sin 2 x 对称轴;2. y ? sin( x ? (A) x 轴, (B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4

) 的一条对称轴是( C )
(D) 直线 x ? ?

?
4



?
4

4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ); ;对称中心是 ② cos( ? .

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是 ① sin( ?

例 3.不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0;

?
18

) ? sin( ?

?
10

)

思考:你能求 y ? sin( 练习 2:练习

?
3

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

?

1 x) 2

x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗?

三、小 结:本节课学习了以下内容:正弦、余弦函数的性质 1. 单调性 2. 奇偶性 3. 周期性 五、课后作业:练习册。

35

第 17,18 课时 1.4.3 正切函数的性质与图象
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:

下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1. 正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

? ? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? , 2 ? ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正
周期?下面作出正切函数图象来 判断。 3.作 y ? tan x , x ? ? ? 的图象 说明: (1)正切函数的最小正周 期不能比 ? 小,正切函数的最小 正周期是 ? ; 36

? ? ?? , ? ? 2 2?

(2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正 切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?
线” 。

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲

y
y

O
x
3 ? ? ? ? 2 ? 2 x ? k? ? ? k ? Z ?2所隔开的无穷多 (3)正切曲线是由被相互平行的直线 2
支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得:

?? ? ?

0

3 ? 2

(1)定义域: ? x | x ?

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2
? ?k ? z ? , x ? ?? k? ? 2

( 2 ) 值 域 : R 观 察 : 当 x 从 小 于 k? ?

时,

t a nx ? ? ? ??
当 x 从大于

?
2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是 奇函数;

? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?
5.讲解范例:例 1 比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

2? ? ? 13? ? ? 17? ? , ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan 5 4 ? 4 ? ? 5 ?

37

0?

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增 5 ? 2? ? tan 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

? tan
王新敞
奎屯 新疆

?
4

例 2:求下列函数的周期: (1)y ? 3tan ? x ? 说明:函数

? ?

??
? 5?

T ?? 。 答: (2)y ? tan ? 3x ?
的周期 T ?

? ?

??

T? 。 ? 答: 6? 3

?

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0?

? . ?

?? ? ? 的定义域、值域,指出它的周期性、单调性, 3? ? ? ? k? 5? ? 解:1、由 3 x ? ? k? ? 得 x ? ,定义域为 3 2 3 18 k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? ? ? k? ? k? 5? ? 2、值域为 R,周期 T ? , 3、在 ? ? , ? ??k ? z ? 上为增。 3 ? 3 18 3 18 ?
例 3: 求函数 y ? tan? 3x ? 练习 1:求函数 y ? tan?

?? ?? x ? ? 的定义域、周期性、单调性。 3? ?2

解 : 定 义 域 : ? x | x ? R且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

值 域 : R



(k? ?

3? ? , k? ? ) 上是增函数 练习 2:教材 2、3、4、5、6 题 4 4
王新敞
奎屯 新疆

解:画出 y=tanx 在(- 围为:0<x<

? 2

? ? , )上的图象,此区间上满足 tanx>0 的 x 的范 2 2

在 x∈ R,且 x≠kπ+

? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+ )(k∈Z) 2 2

38

思考 2:你能用图象求函数 y ?

tan x ? 3 的定义域吗?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 ,利用图象知,所求定义域为

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , ? 3 2? ?
亦可利用单位圆求解。

y y
3
T 0 ? ?
3 2

3

x

四、小结:本节课学习了以下内容: 0

A

x

1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ? 以它的图象被 x ? ?

?
2

, k ? Z } ,所

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相 2 2

邻平行线间的图象是连续的。 2.作正切函数的图象,是先作出长度为一个周期(-π/2,π/2)的区间内 的函数图象,再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π个单位, 就可以得到整个正切函数图象。 五、作业:练习册。

39

第 19,20 课时 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
教学目标 知识与技能目标 (1)了解三种变换的有关概念; (2)能进行三种变换综合应用; (3)掌握 y=Asin(ωx+φ)+h 的图像信息. 过程与能力目标:能运用多种变换综合应用时的图象信息解题. 情感与态度目标: 渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点. 重点:处理三种变换的综合应用时的图象信息. 难点:处理三种变换的综合应用时的图象信息. 教学过程 一、复习 1. 如何由 y=sinx 的图象得到函数 y ? A sin( ?x ? ? )的图象 .

2. A、 ?、 ?对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响. 二、函数y ? A sin( ?x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义:
函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位臵的最大距离,称为“振幅”. T: T ? f :f ?

2?

?

往复振动一次所需的时 间,称为“周期”.

?x ? ? : 称为“相位” . ? : x=0 时的相位,称为“初相”.
三、应用 例 1、教材 P54 面的例 2。

1 ? ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . T 2? y

2 1
?

例2.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .
解析:由图象可知 A=2,

? o
8

3? 8

7? 8

x

?2

40

T? 即

2?

7? ? ? (? ) ? ? , 8 8 ? ?, ?? ? 2.

?

又(? ,0)为五点作图的第一个点 , 8 因此2 ? (?

?

?

8

) ? ? ? 0, ?? ?

?

4

.

因此所求函数的表达式 为y ? 2 sin(2 x ?

?
4

).

例3.右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

y

2

4 5? ? 2? A ? 2, T ? ( ? ) ? ? ,即 ? ?, 3 6 12 ? ?? ? 2 5? 又( , 0)是“五点法”作图的 第五个点, 6 5? ? 即2 ? ? ? ? 2?, ?? ? . 6 3 ? 所求函数的解析式为 y ? 2 sin(2 x ?

o ?
12

5? 6

x

?2

?

3

).

思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.

y

解 1:以点 N 为第一个零点,则 A ? ? 3,

3
N

T ? 2(

5? ? ? ) ??, 6 3

o

M

?? ? 2, 此时解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ? ? ). ? 点N (? ,0) 6 ??

?

?

?
3
?
3 )

3

5? x 6

?

6

?2 ?? ? 0 ?? ?

?
3

.? 所求解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ?

41

解 2:以点 M (

?
3

,0) 为第一个零点,则 A ? 3 , ? ?

2? ? 2, T

解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ? ), 将点 M 的坐标代入得

2?

?
3

?? ? 0 ?? ? ?

2? , 3

? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ?

2? ). 3 例4.函数y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0) 在同一周期内, 5? 7 11? 2 当x ? 时,y有最大值为 ; 当x ? 时,y有最小值为? , 3 3 3 3 求此函数的解析式 .

7 3 ? ? ? A? k ? 3, ?A ? 2 , 解由已知 ? 解得 ? 5 2 ?? A ? k ? ? , ?k ? . 6 3 ? ? 1 11? 5? 2? ?? ? . ? ) ? 4? ,即 ? 4?, 又 T ? 2( 2 3 3 ? 5? 7 ( ,) 又 为“五点法”作图得第二个点,则有 3 3 1 5? ? ? ( ? ) ?? ? , ?? ? ? . ? 所求函数的解析式为 2 3 2 3 3 1 ? 5 y ? sin( x ? ) ? . 2 2 3 6
四、课堂小结:

求函数y ? A sin(?x ? ? )的表达式: 1. A由图像中的振幅确定 ; 2.?由图像的周期确定 ; 3.求?常用的两种方法: (1)平移法 (2)代点法
五、课后作业 1.阅读教材第 53~55 页; 2.教材第 56 页第 3、4 题.

42

第 21, 22 课时 2.1.1 向量物理背景与概念及向量 几何表示
教学目标: ? 了解向量的实际背景, 理解平面向量的概念和向量的几何表示; 掌握向 量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; 并会区分平行向量、相等向量和共线向量. ? ? 通过对向量的学习, 使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区 别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练, 培养学生认识客观事物的数 学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的 概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有 的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、 相等向量、共线向量等概念. 教学思路: 一、情景设臵: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否追到 老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上 都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有 大小没有方向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 (二) (教材 P74 面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答: (7 个问题一次出现) 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 43 C A B D

2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平 行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;
A(起点)

a

B (终点)

③用有向线段的起点与终点字母: AB ;④向量 AB 的大小―长度称为 向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、 长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相 同,这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和 方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量, 记作 0 . 0 的方向是任意的. 0 与 0 的含 义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们 44
? ? ?

规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a , b , c 平行, 记作 a// b // c . (四)理解和巩固: 例 1 .判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平 行向量)课堂练习:练习 1、2、3 题 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、平面向量的概念和向量的几何表示; 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。 四、课后作业: 单元检测卷。
? ? ?

? ? ?

45

第 23 课时 2.1.2
教学目标:

相等向量与共线向量

掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质 的能力. 教学重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念, 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路: 一、情景设臵: (一)、复习 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平 行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系? (二)、新课学习 1、有一组向量,它们的方向相同、大小相同,这组向量有什么关系? 系? 2 、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗?这组向量有什么关

三、探究学习 1、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量 a 与 b 相等,记作 a = b ; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且 与有向线段的起点无关 . .......... 2、共线向量与平行向量关系:
? ? ? ?

46

平行向量就是共线向量, 因为任一组平行向量都可移到同一直线上 (与 . 有向线段的起点无关) . .......... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位臵关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位臵 关系. 四、理解和巩固: 例 1.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、

OB 、 OC 相等的向量.
变式一:与向量 OA 长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二: 是否存在与向量长度相等、 方向相反的向量? (存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 例 2 判断: (1)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (2)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (3)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (4)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )? A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶 点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向 量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构 不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确; 向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正 确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量 与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都 47

是非零向量,所以应选 C. 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并 不要求两个向量 AB 、 AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量, 但零向量与 零向量是相等的. ④、 ⑤正确.⑥不正确.如图 AC 与 BC 共 线,虽起点不同,但其终点却相同. 2.书本练习 4 题 三、小结 : 2、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。 四、课后作业: 练习册

第 24, 25 课时 2.2.1 向量的加法运算及其几何意 义
48

教学目标: 1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量, 培养数形结合解决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比, 使学生掌握向量加法运 算的交换律和结合律, 会用它们进行向量计算, 渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的两个法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设臵情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调: 向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相 等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以 在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位臵 2、 情景设臵: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和:

AB ? BC ? AC
(2) 若上题改为从 A 到 B, 再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和:

AB ? BC ? AC
(3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和:

AB ? BC ? AC
(4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC A B C C

C

二、探索研究: C A B A B 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 . 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” )

A

B

如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b, 则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC , 规定: a + 0-= 0 + a

49

a a a C b b a + b 探究: (1)两 向量和与两个 数的和有什么关系?两向量的和仍是一个向量; ( 2 ) 当 向 量 a 与 b 不 共 线 时 , | a + b |<| a |+| b | ; 什 么 时 候 | a + b |=| a |+| b |,什么时候| a + b |=| a |-| b |, 当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; 当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |, 当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同, | a + b |=| a |-| b |; 若| a |<| b |, 则 a + b 的方向与 b 相同, 且| a +b|=| b |-| a |. ( 3) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的 起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . A b a b B a+b a+b

50

4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线 不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.你能证明:向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 吗? 6. 由以上证明你能得到什么结论? 的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例: 变式 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行 驶,船的实际航行速度的大小为 4 km / h ,求水流的速度. 变式 2、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时 河水的流速为 v 2 , 船的实际航行的速度的大小为 4 km / h , 方向与 水流间的夹角是 60? ,求 v 1 和 v 2 . 练习:1、2、3、4 题 四、小结 1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业:备用习题 思考:你能用向量加法证明:两条对角线互 多个向量的加法运算可以按照任意

相平分的四边形是平行四边形吗?

51

第 26 课时 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标: 1. 了解相反向量的概念; 2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事 物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 教学思路: 一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则,向量加法 的运算定律: 例:在四边形中, CB ? BA ? AD ? 解: CB ? BA ? AD ? CA ? AD ? CD 二、 提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量. 记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,a = ?b, b = ?a, a + b = 0 (3) 向量减法定义:向量 a 加上 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差运算叫做向量的减法. 向量的减法是向量加法 .

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 的逆运算:

若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a, 向量. 注意:1? AB 表示 a ? b. 52 强调:差向量“箭头”指向被减数

AB = b

则 BA = a ? b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的

2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 4. 探究: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量 是 b ? a. 2)若 a∥b, 如何作出 a ? b 三、 例题: 例一、 (P86 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b, DC = c?d D A b a A c 例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 用 a、b 表示向 量 AC 、 DB . C O 解:由平行四边形法则得: AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b 变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相 垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相等向量吗?(不可能,∵ 向不同) 练习:1。P87 面 1、2 题 2.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( B )? A.a+b? D.b-a? 四:小结:向量减法的定义、作图法 五:作业:练习册 B.-a+(-b)? C.a-b? 对角线方 B d B D ?

C

53

第 27 课时平面向量基本定理、 平面向量的正交分 解和坐标表示及运算
教学目的: (1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步 掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法; (3) 能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点: 平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算 的准确性. 教学过程: 一、复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ|| a |; (2)λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相反;λ=0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律: λ(μ a )=(λμ) a ; 分配律: (λ+μ) a =λ a +μ a , λ( a + b )=λ a +λ b

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3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线则:有且只有一个非零实数λ, 使 b =λ a . 二、讲解新课: 1. 思考: (1) 给定平面内两个向量 e1 , 请你作出向量 3 e1 +2 e2 , e2 , e1 -2 e2 , (2)同一平面内任一向量是否都可以用形如λ1 e1 +λ2 e2 向量表示?

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?

?

54

平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ
2

?

?

e2 .

2.探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 3.讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e2 4.练习 1: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( D ) A.e1、 e2 一定平行 λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2, b =2e1+e2, 其中 e1、 e2 不共线, 则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系(B ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 B.e1、 e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a = 求作向量?2.5 e1 +3 e2

?

3.已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1 不共 线,a 与 e2 不共线.(填共线或不共线). 5.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、b ,作 OA ? a ,OB ? b ,则∠AOB = ? ,叫向量 a 、b 的夹角,当 ? =0°, a 、b 同向,当 ? =180°, a 、 6.平面向量的坐标表示 (1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。

?

?

?

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?

?

? ? ? ? ? ? ? b 反向,当 ? =90°, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 ?

?

?

55

(2) 思考: 在平面直角坐标系中, 每一个点都可以用一对有序实数表示, 平面内的每一个向量,如何表示呢? 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向 量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一 1 对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj …………○ 2 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) …………○

2 式叫做向量 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○ 的坐标表示 . 与 特别地, i ? (1,0) , .a 相等的向量的坐标也为 ..........( x, y ) . j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图, 在直角坐标平面内, 以原点 O 为起点作 OA ? a , 则点 A 的位臵由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj , 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标; 反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个 平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 7.课堂练习:第 3 题。 三、小结: (1)平面向量基本定理; (2)平面向量的坐标的概念; 四、课后作业:练习册

56

第 28,29 课时 2.3.3 平面向量的坐标运算
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 ? ? 么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ1, λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标运算 思考 1: 已知:a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y 2 ) , 你能得出 a ? b 、a ? b 、? a 的坐标吗?

?

?

?

?

?

?

a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j
即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

设基底为 i 、 j ,则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. (2)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

57

思考 2:已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,怎样求 A B 的坐标?

?

(3) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐 标. 思考 3:你能标出坐标为(x2? x1, y2? y1)的 P 点吗? 向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点 P 为终点的向量的坐标是相同的。 三、讲解范例:

例 1 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标. 例 2 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求 点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时, 得 D3=(?6, 0) 例 3 已 知 三 个 力 F1 (3 , 4) , F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标. 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0

?

?

?

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? ?

?

?

F2 (2 , ?5) , F3 (x , y) 的 合 力

?3 ? 2 ? x ? 0 即: ? ?4 ? 5 ? y ? 0
四、课堂练习:

? x ? ?5 ∴? ? y ?1

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴ F3 (?5,1)

1 MN , 求 P 点的坐标 2 2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =
1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

.

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证: 四边形 ABCD 是梯形. 五、小结:平面向量的坐标运算; 六、课后作业:练习册

58

第 30 课时 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及 其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念:

OB =b, 已知非零向量a与b, 作 OA =a, 则∠AOB=θ (0≤θ≤π)
叫a与b的夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

( 4 )注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 . 范围 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定 (3)练习 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( C ) A.6 B.5 C.7 D.8

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( B )? A.-3 B.-1 C.1 D.3

(4)力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 59

二、讲解新课: 1.数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ, 则|a||b|cos?叫a与b的数量积, 记作 a?b, 即 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π) . 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究: 1、 向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正? 什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a〓b,而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“〃 ”在向 量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“〓”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.a?b = b?c a=c

如右图: a?b = |a||b|cos? = |b||OA|, b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而 一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是 向量;

60

当?为锐角时投影为正值; 角时投影为 0; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义:

当?为钝角时投影为负值; 当? = 180?时投影为 ?|b|.

当?为直

数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 探究:两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, a?b ? a?b = 0 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 探究:平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) |a?b| ≤ |a||b| cos? =

a ?b | a || b |

3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O, 作 OA = a, AB = b,OC = c, ∵a + b (即 OB ) 在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a〃b)с≠a(b〃с) (2)a〃с=b〃с,с≠0 a=b

(3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b) (с+d)=a〃с+a〃d+b〃с+b〃d 三、讲解范例: 例 1.证明:(a+b)2=a2+2a〃b+b2 例 2.已知|a|=12, |b|=9, a ? b ? ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角。 例 3. 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求: (1) (a+2b)〃(a-3b). (2) |a+b|与|a-b|. ( 利用

? ?

?

?

| a |? a ? a )

61

例 4.已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 四、课堂练习: 1.1、2、3 题。 2.下列叙述不正确的是( ) B. 向量的数量积满足分配律 D. a〃b 是一个实数 ) A. 向量的数量积满足交换律 C. 向量的数量积满足结合律 3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行 B.垂直

3 3 b 与 a- b 的位臵关系为( 4 4
C.夹角为

? 3

D.不平行也不垂直

4.已知|a|=8, |b|=10, |a+b|=16,求 a 与 b 的夹角. 五、小结: 1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件. 六、作业:练习册。

62

第 31 课时 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解 决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量数量积(内积)的定义: 2.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的 单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特 别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4?cos? = 3.练习: (1)已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

a ?b ; | a || b |

5?|a?b| ≤ |a||b|

(2)已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 间的夹角为 ( ) A.2 二、讲解新课: 63 B.2 3

? ,那么向量 m=a-4b 的模为 3

C.6

D.12

探究:已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,怎样用 a 和 b 的 坐标表示 a ? b ?. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即

a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2
2. 平面内两点间的距离公式 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 .

( 2 )如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、

( x2 , y 2 ) ,
那么 | a |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

3. 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
4. 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

二、讲解范例: 例 1 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出 证明. 例 2 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a〃b 及 a、b 间的夹角 θ(精确到 1o) 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a〃b 及|a|〃|b|,再结合夹角 θ 的范 围确定其值. 例 3 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是 64

多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a〃b 及|a|〃|b|,再结合夹角 θ 的范 围确定其值. 解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a〃b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

记 a 与 b 的夹角为 θ,则cosθ=

a?b 2 ? a?b 2

又∵0≤θ≤π,

∴θ=

? 4
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.

三、课堂练习:1、P107 面 1、2、3 题 2、已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,线上,则 x= . 四、小结: 1、 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2、平面内两点间的距离公式 | a |? 3、向量垂直的判定: 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 五、课后作业:思考: 1、如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量 AB 的坐标. 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值.

1 )在线段 AB 的中垂 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

65

第 32 课时 2.5.1 平面几何中的向量方法
教学目的: 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何 的问题的”三步曲”; 2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角 等可以由向量的线性运算及数量积表示.; 3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法:向量法解决几何问题的 “三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 教学过程: 一、复习引入: 1. 两个向量的数量积: a ? b ? | a || b | cos? . 2. 平面两向量数量积的坐标表示: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . 3. 向量平行与垂直的判定:

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.
4. 平面内两点间的距离公式: 5. 求模:

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.
| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

a ? a?a
练习

a?

x2 ? y2

a ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

教材 P.106 练习第 1、2、3 题.;教材 P.107 练习第 1、2 题. 二、讲解新课: 例 1. 已知 AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 为圆周角.求证:∠ABC=90o. 证明:设 AO ? a ? OC, OB ? b, a ? b ,

B A O C

66

AB ? AO ? OB ? a ? b, BC ? a ? b,
AB ? BC ? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 0,
2 2

? AB ? BC ,
一点.

? ?ABC ? 90o

例 2. 如图,AD,BE,CF 是△ABC 的三条高.求证: AD,BE,CF 相交于

A F
例 3. 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模 型 . 如 图H ,

E

AC ? AB ? AD, DB ? AB ? AD,

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?

B

D

C

D
思考 1: 如果不用向量方法,你能证明上述结论吗? 思考 2: 运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤? 运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤? “三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平 面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 例 4.如图,□ ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点,BE、 BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗?

C B

A

D E R

F T B

课堂小结 用向量方法解决平面几何的“三步曲”:

A

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平 面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 67

(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 课后作业 1. 阅读教材 2. 练习册

68

第 33 课时 3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理 解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问 题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知 识和方法的能力问题,等等. 三、教学设想: (一)导入:问题 1:

我们在初中时就知道 cos 45 ?
?

2 3 ? , cos 30 ? ,由此我们能否得到 2 2

cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 猜想,是不是等于 cos 45? ? cos 30? 呢?
(二)探讨过程: 思考 1:怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余 弦线联系起来.) 思考 2: 我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题, 两角差 余弦公式我们能否用向量的知识来证明? (1)结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? (2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 两角差的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? (三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.
? ?

?

?

cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?
cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

69

例 2 、 sin ? ?

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是 第 三 象 限 角 , 求 5 13 ?2 ?

cos ?? ? ? ? 的值.
解: ? ? ?

4 ?? ? , ? ? , sin ? ? 由此得 5 ?2 ?
2 2

3 ? 4? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
又因为 cos ? ? ?

5 , ? 是第三象限角,所以 13
2 2

12 ? 5? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?
(四)练习:1.不查表计算下列各式的值:

( 1 ) cos 80? cos 20? ? sin 80? sin 20?

1 3 (2) cos15? ? sin 15? 2 2
2.教材 1、2、3、4 题 (五)小结:两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式 的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用. (1)牢记公式 C(? ?? ) ? C ? C ? S ? S. (2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系. (六)作业:练习册

第 34 课时 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式(一)
70

一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的 方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入: (1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式:

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . (2) sin ? ? cos ?
(二)新课讲授 问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢? 探究 1 让学生动手完成两角和与差正弦公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
探究 2 观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

探究 3 我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

探究 4 通过什么途径可以把上式化成只含有 tan? 、 tan ? 的形式呢? (分式分子、分母同时除以 cos ? cos ? ,得到 71

tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

S (? ? ? ) 、C(? ?? ) 、T(? ? ? ) 称和角公式,S (? ? ? ) 、C(? ?? ) 、T(? ? ? ) 称差角公式。
(三)例题讲解 例 1、 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求

3 5

?? ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?
解:因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得

3 5

3 4 sin ? 3 ? 3? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? , tan ? ? ? 5 ?? , 4 5 cos ? 4 ? 5? 5
2

?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
3 ? ?1 ?? ? 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ?7 4 ? 1 ? tan ? tan ? ? 3? ? 1? ? ? ? 4 ? 4? tan ? ? tan
练习:1、2、3、4 题 例 2、 已知 tan ?? ? ? ? ?

?

?? 2 ?? 1 3 ? ? ( ) , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 4? 5 4? 4 22 ? ?

例 3、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ;(2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ;
? ? ? ? ? ? ? ?

72

1 ? tan15? (3) . 1 ? tan15?
解: (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin 72 ? 42
? ? ? ? ?
? ? ? ? (2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ?

? ? cos ? 20

; ? ? sin 30 ? 1 2 ? 70 ? ? cos 90 ? 0 ;
? ?
? ?

(3)

1 ? tan15? tan 45? ? tan15? ? ? tan ? 45? ? 15? ? ? tan 60? ? 3 . 1 ? tan15? 1 ? tan 45? tan15?

练习:教材 P131 面 5 题 (四)小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要 熟记公式,学会灵活运用. (五)作业:练习册。

73

第 35 课时 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式(二)
一、教学目标 1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式,体会三角恒等变换特点 的过程; 2、 掌握两角和与差的余弦、 正弦和正切公式的应用及 a sin ? ? b cos ? 类型的变换。 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入: (1)基本公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos ?( ? ? ) ? c o ? s cos ? ?s i n ?sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

(2)练习:第 6 题。 思考:怎样求 a sin ? ? b cos ? 类型? (二)新课讲授 例 1、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们 能否发现规律呢?

?1 ? 3 ? ? 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 si ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的?

2 2?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等 74



3 1 和 的. 2 2
a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) tan ? ? a b

归纳: a sin ? ? b cos ? ?

例 2、已知:函数 f ( x) ? 2 sin x ? 2 3 cos x,

x?R

(1) 求 f ( x ) 的最值。 (2)求 f ( x ) 的周期、单调性。 例 3.已知 A、B、C 为△ABC 的三內角,向量 m ? (?1, 3 ) ,

?

? ? ? n ? (cos A, sin A) ,且 m ? n ? 1 ,
(1) 求角 A。 (2)若 练习: (1)第 7 题

1 ? 2 sin B ? cos B ? ?3 ,求 tanC 的值。 cos 2 B ? sin 2 B


sin A sin B ? cos A cos B , (2) 在△ABC 中, 则△ABC 为 (
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 (2) A. 0 思考: 已知

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (
C. 2

) D. ?

B.2

2

?
2

?? ?

3? 12 3 s i 2? cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , , 求n 4 13 5

三、小结:掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及

a sin ? ? b cos ? 类型的变换
四、作业:1、2、3 题。

第 36 课时 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正 切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 75

教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、 余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos ?( ? ? ) ? c o ? s cos ? ?s i n ?sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

t an ?(? ? ) ?

t an ? ?t an ? 1? t a n ? ?t a n ?


sin A sin B ? cos A cos B , 练习: (1) 在△ABC 中, 则△ABC 为 (
A.直角三角形 B.钝角三角形 (2)

C.锐角三角形 D.等腰三角形

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 ___________

思考: 已知

?
2

?? ?

3? 12 3 s i 2? cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , , 求n 4 13 5

我们由此能否得到 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的公式呢?(学生自己动手,把 上述公式中 ? 看成 ? 即可) , (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ; cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ; 思考: 上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含 sin ? 或 cos? 形式的式子呢? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? , cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

76

解:由

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

5 12 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 又因为 sin 2? ? 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

? 5 ? 119 ; cos 4? ? 1 ? 2sin 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 13 ? 169
2

120 sin 4? 120 . tan 4? ? ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 169 ?
例 2.在△ABC 中, cos A ? 例 3.已知 tan 2? ? 解: tan 2? ?

4 , tan B ? 2, 求 tan( 2 A ? 2B)的值。 5

1 , 求 tan? 的值. 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . 例 4.已知 tan ? ?

1 1 , tan ? ? , 求 tan( ? ? 2? )的值 7 3

(四)练习:1、2、3、4、5 题 (五)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟 记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. (六)作业:练习册。

第 37 课时 3.2 简单的三角恒等变换(一)
一.教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,体会化归、 换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。 77

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的 恒等变形,体会三角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生 形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从 而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 二、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和 差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方 法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程 的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力. 三、教学设想: (一)复习:三角函数的和(差)公式,倍角公式 (二)新课讲授: 1、由二倍角公式引导学生思考: ?与

?
2

有什么样的关系?

学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具, 从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能 力提供了新的平台. 例 1、试以 cos? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2
2

?
2



解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 此题. 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2 2

?
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2

?
2

来做

?
2

,可以得到 sin

2

?
2

?

1 ? cos ? ; 2 1 ? cos ? . 2

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

又因为 tan

2?

2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2
5 ? ,且 ? 在第三象限,求 tan 的值。 13 2
78

sin 2

?

例 2.已知 sin ? ?

例 3、求证: (1) 、 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2) 、 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



证明: (1) sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们 从等式右边着手.

(2)

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? . 两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 1 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 即 sin ? cos ? ? ? ?; 2? 由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?



①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



思考:在例 3 证明中用到哪些数学思想?用到换元思想, (1)式是积化和 差的形式, (2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积 化和差、和差化积的公式. 三.练习:1、2、3 题。 四.小结:要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加 深认识,学会灵活运用. 五.作业:练习册。

79

第 37 课时 3.2 简单的三角恒等变换(二)
一、教学目标 1、形如 a sin x ? b cos x 的函数转化为 y ? A sin(x ? ? ) 的函数; 2、灵活利用公式,通过三角恒等变形,解决函数的最值、周期、单调性 等问题。 二、教学重点与难点 重点:三角恒等变形的应用。 难点:三角恒等变形。 三、教学过程 (一)复习:二倍角公式。 (二)典型例题分析 例 1:已知0 ? ? ?

?

4 sin 2 ? ? sin 2? , sin ? ? . (1)求 的值 ; 2 5 cos2 ? ? cos2?

(2)求 tan( ? ?

5? )的值 . 4

解: (1)由 0 ? ? ?

?

4 3 , sin ? ? , 得 cos ? ? , 2 5 5

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? ? ? 20. cos2 ? ? cos2? 3 cos2 ? ? 1
(2)? tan ? ?

sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? , tan(? ? ) ? ? . cos ? 3 4 1 ? tan ? 7

( ? 1? 例 2. 利用三角公式化简sin 50

3 tan10?) .

1 3 2( cos 10 ? ? sin 10 ?) 3 sin 10? 2 ? sin 50 ? ? 2 ( ? 1? ) 解: 原式 ? sin 50 cos 10 ? cos10? sin 30? cos 10? ? cos 30? sin 10? ? 2 sin 50? ? cos 10? sin 40 ? ? 2 cos 40 ? ? cos 10 ?
80

?

sin 80? cos 10? ? ?1. cos 10? cos 10?

例3.已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x (1) 求 f ( x ) 的最小正周期, (2)当 x ? [0, 取得最小值时 x 的集合. 点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对 函数 体现了三角变换在化简三角 y ? A sin ?? x ? ? ? 的性质研究得到延伸, 函数式中的作用. 例 4.若函数 f ( x) ?

?
2

] 时,求 f ( x) 的最小值及

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? m在区间[0, ] 上的最大值为 2 6, 求常数 m 的值及此函数当 x ? R 时的最小值及取得最小值时 x 的集
合。

?

(三)练习:教材 P142 面第 4 题。 (四)小结:(1) 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? , cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? sin 2 ? , 2 tan? tan2? ? . 1 ? tan2 ?
(2)二倍角变式:

2 cos2 ? ? 1 ? 2 cos2? ,2 sin 2 ? ? 1 ? cos2?
(3)三角变形技巧和代数变形技巧 常见的三角变形技巧有 ①切割化弦;②“1”的变用; ③统一角度,统一函数,统一形式等等. (五)作业:练习册

81

第 38 课时 3.2 简单的三角恒等变换(三)
教学目标 (四) 知识与技能目标 熟练掌握三角公式及其变形公式. (五) 过程与能力目标 抓住角、函数式得特点,灵活运用三角公式解决一些实际问题. (六) 情感与态度目标 培养学生观察、分析、解决问题的能力. 教学重点 和、差、倍角公式的灵活应用. 教学难点 如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明. 教学过程 例 1:教材 P141 面例 4 例 1. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

?
3

的扇形,C 是扇形弧上的

动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=?,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

Q D O A C

?

θ

B

P

例 2:把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法能使横 截面的面积最大?(分别设边与角为自变量) 解: (1)如图,设矩形长为 l,则面积 S ? l 4R2 ? l 2 ,

4R2 ? 2R2 , 所以 S ? l (4R ? l ) ? ?(l ) ? 4R l , 当且仅当 l ? 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2

82

即l ?

2 R 时, S 2 取得最大值 4 R 4 ,此时 S 取得最大值 2 R 2 ,矩形的宽为
2R2 ? 2 R 即长、宽相等,矩形为圆内接正方形. 2R

(2)设角为自变量,设对角线与一条边的夹角为 ? ,矩形长与宽分别为

2 R sin ? 、 2 R cos ? ,所以面积 S ? 2R cos? ? 2R sin ? ? 2R 2 sin 2? .
2 2 而 sin 2? ? 1 ,所以 S ? 2 R ,当且仅当 sin 2? ? 1 时,S 取最大值 2 R ,

所以当且仅当 2? ? 90 ? 即 ? ? 45? 时, S 取最大值,此时矩形为内接正方 形. 变式:已知半径为 1 的半圆,PQRS 是半圆的内接矩形如图,问 P 点在什么 位臵时,矩形的面积最大,并求最大面积时的值. 解:设 ?SOP ? ? , 则 SP ? sin ? , OS ? cos? , 故 S 四边形 PQRS ? sin ? ? 2 cos ? ? sin 2? 故 ? 为 45 ? 时, Smax ? 1

Q

P

R
课堂小结 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题. 课后作业 1. 阅读教材 P.139 到 P.142; 2. 练习册

O

S

83

第 39 课时第一章三角函数复习(一)
教学目的 【过程与方法】 一、知识结构:
任意角与 弧度制: 单位圆 任意角 的三角 函数 三角函数 线;三角 函数的图 象和性质 三角函 数线模 型的简 单应用

二、知识要点: 1. 角的概念的推广:

同角三角 函数的基 本关系式

诱导 公式

(1) 正角、负角、零角的概念: (2) 终边相同的角: 所 有 与 角 ? 终 边相 同的 角 , 连同 角 ? 在 内, 可 构 成一 个 集 合:

S ? {? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z}
① 象限角的集合: 第一象限角集合为: 第二象限角集合为: 第三象限角集合为: 第四象限角集合为: ② 轴线角的集合: 终边在 x 轴非负半轴角的集合为: 终边在 x 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 x 轴上角的集合为: 终边在 y 轴非负半轴角的集合为: 终边在 y 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 y 轴上角的集合为: 终边在坐标轴上的角的集合为: 2. 弧度制: 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用弧度 来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下,1 弧度记做 1rad. 84 . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

(1) 角度与弧度之间的转换: ① 将角度化为弧度:

360 ? ? 2?

180? ? ?

1? ?

?
180

? 0.01745 rad

n? ?

n? rad 180

② 将弧度化为角度:

2? ? 360 ?

? ? 180 ?

1rad ? (

180 )? ? 57.30? ? 57?18?

?

n?(

180n

?

)?

(2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示. (3) 上述象限角和轴线角用弧度表示:

弧长公式:l ? r ? ? ;

扇形面积公式:S ?
3. 任意角的三角函数:

1 lR . 2

(1) 设?是一个任意大小的角, 其终边上任意一点 P的坐标是( x , y ), 它与原点的距离 是r ? x2 ? y2 ? 0 .

①比值

y y 叫做?的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? ; r r

②比值

x x 叫做?的余弦,记作 cos ?,即 cos ? ? ; r r
y y 叫做?的正切,记作tan?,即tan? ? . x x
85

③比值

(2) 判断各三角函数在各象限的符号: (3) 三角函数线: 4. 同角三角函数基本关系式:
2 2 (1) 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1

(2) 商数关系: tan? ? 5. 诱导公式 诱导公式(一)

sin? cos?

sin( 2k? ? ? ) ? sin ? ( k ? Z ) cos( 2k? ? ? ) ? cos ? ( k ? Z ) tan( 2k? ? ? ) ? tan ? ( k ? Z )
诱导公式(二)

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?
诱导公式(三)

sin( ?? ) ? ? sin? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?
诱导公式(四) sin(?-?)=sin? cos(? -?)=-cos? tan (?-?)=-tan? 诱导公式(五)

sin( 2? ? ? ) ? ? sin? cos(2? ? ? ) ? cos? tan(2? ? ? ) ? ? tan?
对于五组诱导公式的理解 :

1. 公式中的?可以是任意角;

86

2. 这五组诱导公式可以概括为: k ? 360? ? ? ( k ? Z ) , ? ? , 180? ? ? ,180? ? ? ,360? ? ?的三角函数值, 等于 它的同名三角函数值, 前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号.

函数名不变,符号看象限 3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤:
任意负角的三角函数 诱导公式一
o

诱导公式三或一

任意正角的三角函数
o

0 到360 角的三角函数 诱导公式二或四或五 锐角的三角函数

三、基础训练:

1. 已知cos(? ? ? ) ?
1 2 1 2

3 , 且? ? [? ,2? ],则sin?的值为 ( 2
1 2
(

)

A.

B. -

C .?

D. ?
) 3 2

3 2

2. cos(A. 1 2

47 ? )的值为 6 1 3 B. C. 2 2

D. ?

3. 若sin(3 ? ? ?) ? -

1 10

, 且 tan(3? ? ? ) ? ? tan? , 则cos( ? ? 3? ) ? __________ .

sin( ? ? ? ) ? cos(?) 4. 化简: ? _______. tan(?? ? ? )

87

5. 已知sin? ? cos? ?

2 , 则 tan? ? cot?的值是( ) 3

A.

5 18

B.

9 4

C.

5 4

D. -

18 5

6. 已知sin? ? cos? ?

3 , 且?是第三象限角,则sin? ? cos? ? _____. 8

四、典型例题:

例1. (1)若?是第二象限角,当其终 边在按顺时针方向旋转 630?后成为角?,则 角?是第 _____象限角;

( 2)若角?的终边经过点P ( ? 2 , 2 ), 并且? ? ( ?360?,360? ), 试写出角?的集合 A,并求出A中绝对值最小的角.

例2.(1) 计算: sin

?
3

? ___,cos

4? 3? ? ___,tan ? ___, 3 4

5 (2) 已知扇形的圆心角为 ? 弧度,面积为30?cm 2 , 求扇形的弧长和半径长. 12

例 3. 设k ? Z, 化简: 五、课堂小结

sin( k? ? ? ) cos(k? ? ? ) . sin[( k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

1. 任意角的三角函数;2. 同角三角函数的关系;3. 诱导公式. 六、课后作业 1. 阅读教材 P.67-P.68;2. 作业 1 至 6 题.

第二章

平面向量复习课(一)
88

一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向 量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接) 。 4. 了解向量形式的三角形不等式: || a |-| b |≤| a 〒 b |≤| a |+| b |(试 问:取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理: 2(| a | +| b | )=| a - b | +| a + b | . 5. 了解实数与向量的乘法(即数乘的意义) : 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积) 8. 数量积(点乘或内积)的概念, a 〃 b =| a || b |cos ? =x 1 x 2 +y 1 y 2 注 意区别“实数与向量的乘法;向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学 数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起 足够的重视. 数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直 三、教学过程 (一)重点知识: 1. 实数与向量的积的运算律:
2 2 2 2

? ? (1)? (?a ) ? (?? )a
2. 平面向量数量积的运算律:

? ? ? (2)(? ? ? )a ? ?a ? ?a

? ? ? ? (3)? (a ? b ) ? ?a ? ?b

? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? (2) (?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b )

? ? ? ? ? ? ? (3) (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
3. 向量运算及平行与垂直的判定:

设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),(b ? 0).
则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
89

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.
4. 两点间的距离:

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
5. 夹角公式:

cos? ?

a?b a?b

?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ? x2 ? y2
2 2 2 2

6. 求模:

a ? a?a
面 5、6 题,

a?

x2 ? y2

a ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

(二)习题讲解: ?习案?P167 面 2 题,P168 面 6 题,P169 面 1 题,P170 P171 面 1、2、3 题,P172 面 5 题,P173 面 6 题。 (三)典型例题 例 1.已知 O 为△ABC 内部一点, ∠AOB=150°, ∠BOC=90°, 设 OA = a ,

OB = b , OC = c ,
且| a |=2,| b |=1,| c |=3,用 a 与 b 表示 c 解: 如图建立平面直角坐标系 xoy, 其中 i , j 是单位正交基底向量, 则 B (0, 1) ,C(-3,0) , 设 A(x,y) ,则条件知 x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即 A(1, - 3) ,也就是 a = i - 3 j , b = j , c =-3 i 所以-3 a =3 3 b + c |即

c =3 a -3 3 b
(四)基础练习: ?习案?P178 面 6 题、P180 面 3 题。 (五) 、小结:掌握向量的相关知识。

90

(六)作业: ?习案?作业二十七。

第二章
一、教学过程

平面向量复习课(二)

(一)习题讲解: ?习案?P173 面 6 题。 (二)典型例题 例 1.已知圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 及点 A(1,1) ,M 是圆上任意一 点,点 N 在线段 MA 的延长线上,且 MA ? 2 AN ,求点 N 的轨迹 方程。 练习:1. 已知 O 为坐标原点, OA =(2,1) , OB =(1,7) , OC =(5, 1) , OD =x OA ,y= DB 〃 DC (x,y∈R) 的轨迹方程; 2. 已知常数 a>0,向量 m ? (0, a), n ? (1,0) ,经过定点 A(0,-a) 以 m ? ? n 为方向向量的直线与经过定点 B(0,a)以 n ? 2? m 为方向向量 的直线相交于点 P,其中 ? ? R .求点 P 的轨迹 C 的方程; 例 2.设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个动点,求当 PA ? PB 取最小值时, OP 的坐标及?APB 的余弦 值. 解 ∴ 设 OP ? ( x, y) .∵ 点 P 在直线 OM 上, 求点 P(x,y)

?

?

OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) ,∴ x-2y=0 即 x=2y,

有 OP ? (2 y, y) .∵

PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) ,

PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) ,


PA? PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y)
= 5y2-20y+12 = 5(y-2)2-8.

从而,当且仅当 y=2,x=4 时, PA ? PB 取得最小值-8, 91

此时 OP ? (4,2) , PA ? (?3,5) , PB ? (1,?1) . 于是 | PA |? 34 , | PB |? ∴

2, PA? PB ? (?3) ?1 ? 5 ? (?1) ? ?8 ,
? ?8 34 ? 2 ?? 4 17 17

cos ?APB ?

PA ? PB | PA | ? | PB |

小结:利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业: ?习案?作业二十八。

第三章
教学目标:

三角恒等变换复习(一)

1. 通过对本章的知识的复习、总结,使学生对本章形成一个知识框架 网络. 2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式. 教学重点:运用公式求值、证明恒等式. 教学难点:证明恒等式 教学过程 一、基础知识复习(略) 二、作业讲评 ?习案?作业三十五中的第 5、6 题. 三、已知三角函数值求三角函数值

1 1 1. 已知 cos? ? cos ? ? ,sin? ? sin? ? , 求 cos( ? ? ? )的值. 2 3

3 3 ?? ? ? 2. (1) 已知cos? ? ? , ? ? ? ? ?, 求? sin ? cos ? 的值. 5 2 2 2? ?

2

? ? 1 ( 2) 已知 sin ? cos ? , 求 sin?的值. 2 2 5
5 ( 3) 已知 sin4 ? ? cos4 ? ? , 求 sin2?的值. 9
92

3 (4) 已知 cos 2? ? , 求 sin4 ? ? cos4 ?的值. 9

1 3 3. 已知 cos( ? ? ?) ? , cos( ? ? ? ) ? ,求 tan? ? tan ? 的值. 5 5

7? sin2 x ? 2 sin2 x ?? ? 3 17? 4. 已知 cos? ? x ? ? , ? x? ,求 的值. 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

5. 求

tan20o ? tan40o ? tan120o 的值. tan20o ? tan40o

四、证明恒等式

1. 证明: cos4? ? 4 cos2? ? 3 ? 8 cos4 ? .

1 ? sin2? 1 1 2. 证明: ? tan? ? . 2 2 cos ? ? sin2? 2 2
3. 已知sin? ? cos? ? 2 sin?,sin? ? cos? ? sin2 ?,求证: 4 cos2 2? ? cos2 2? .

五、课堂小结 1. 给值求角时, 先要求所求角的某一三角函数值, 需结合角的范围确定角 的符号; 2. 证明三角恒等式时,要灵活地运用公式.

93

六、课后作业 教材 P.146 第 8 题第(3)、(4)问; P.146 第 1、2、3 题; P.146 第 4 题第(1)、 (2)、(3)问; P.147 第 3 题;

第三章
教学目标:

三角恒等变换复习(二)

1. 综合运用知识解决相关问题. 2. 培养学生分析问题,运用知识解决问题的能力. 教学重点:运用知识解决实际问题 教学难点:建立函数关系解决实际问题. 教学过程 一、作业讲评 ?习案?作业 P.196 的第 5、6 题. 二、例题分析

1 1 1. 已知 sin( ? ? ? ) ? ,sin( ? ? ? ) ? ,求证: 2 3

(1) sin? cos? ? 5 cos? sin?;
(2) tan? ? 5 tan? .

1 2. 已知 sin? ? cos ? ? , ? ? (0, ? ).求 tan ? 的值. 5

94

2? ? , tan tan ? ? 2 ? 3 同时成立?若存在, 3 2 求出?、? 的度数;若不存在,请 说明理由. 3. 是否存在锐角?、? , 使? ? 2? ?

4. 已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别 为 h1,h2 . B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C, 求△ABC 面积的最小值.

5. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1, P, Q 分别为边 AB, DA 上的点.当△ABC 的周长为 2 时, 求∠PCQ 的大小. 三、课堂小结 本节主要讲运用公式解决有关问题:最值问题、存在性问题. 四、课后作业 ?习案?作业三十六.

D Q A

C

B

第三章
教学目标:

三角恒等变换复习(三)

1. 综合运用知识解决相关问题. 2. 培养学生分析问题,运用知识解决问题的能力. 教学重点:运用知识解决实际问题 教学难点:建立函数关系解决实际问题. 教学过程 一、作业讲评 ?习案?P.192 的第 3 题 95

1. sin( ??

?
3

) ? sin? ? ?

4 3 ? , 且 ? ? ? ? 0, 则cos? ? 5 2

.

?习案?P.194 的第 6 题

2. 已知函数
f ( x ) ? sin(x ?

?
6

) ? sin(x ?

?
6

) ? cos x ? a的最大值为 1.

(1)求常数 a的值; ( 2)求使 f ( x ) ? 0成立的 x的取值集合 .

?习案?P.196 的第 5 题

3. 设f (? ) ? sin x ? ? cos x ? , x ? {n | n ? 2k , k ? N ? }, 利用三角变换估计 f (? )在x ? 时的取值情况 , 进而对 x取一般值时 f (? )的取值范围作出一个猜 想.

二、例题分析 1. 已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别 为 h1,h2 . B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C, 求△ABC 面积的最小值.

2. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1, P, Q 分别为边 AB, DA 上的点.当△ABC 的周长为 2 时,求∠PCQ 的大小.

D Q A

C

B

96

3. 证明: sin( 2? ? ? ) sin? (1) ? 2 cos(2? ? ? ) ? ; sin? sin? ( 2) 3 ? 4 cos 2 A ? cos4 A ? tan4 A. 3 ? 4 cos 2 A ? cos4 A

三、课后作业 ?学案?第三章单元检测卷.

97


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