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2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学(文)试卷(带解析)


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2017 届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数 学(文)试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.若集合 = {2,4, ,6,8}, = {|2 ? 9 + 18 ≤ 0},则 ∩ =( A. {2,4} B. {4,6} C. {6,8} D. {2,8} 2.若复数
+
1+2



( ∈ )为纯虚数,其中 为虚数单位,则 = (



A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”. 现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( ) A.
1 4

B.

1 3 3

C.

1 2

D.

2 3

4.设 = 0.2 , = log0.3 0.2, = log3 0.2,则, , 大小关系正确的是( A. > > B. > > C. > > D. > >
1 4



5.的内角, , 的对边分别为, , ,已知cos = , = 1, = 2,则的面积为 ( A.
15 4

) B.
15 8

C.

1 4

D.

1 8 5

6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 5 ,则该双曲线的离心率为( A.
2 5 5



B.

5 2

C. 2


D.

5

7.将函数 = sin(6 + 4)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 3 倍,再向 右平移8个单位,得到的函数的一个对称中心是( A. ( , 0)
2







B. ( , 0)
4 2+1



C. ( , 0)
9



D. ( , 0)
16



8.函数() = 2?1 ·cos的图象大致是(



试卷第 1 页,总 5 页

A.

B.

C.

D.

9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计 算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截 面面积恒等, 那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时, 需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的 下底面平行相距为(0 < < 2)的平面截该几何体,则截面面积为 ( )

A. 4

B. 2

C. (2 ? )2

D. (4 ? )2 )

10.执行如图所示的程序框图,若输入 = 2017,则输出 的值为(

试卷第 2 页,总 5 页

A. 335 B. 336 C. 337 D. 338 11. 已知棱长为 2 的正方体 ? 1 1 1 1, 球与该正方体的各个面相切, 则平面1截 此球所得的截面的面积为( ) A.
8 3

B.

5 3 3

C.

4 3 2

D.

2 3

12.若() = sin + cos 在(0, )上存在最小值,则实数的取值范围是( A. (0, 2)
3



B. (0, 2]

3

C. [2 , +∞)

3

D. (0, +∞)

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知向量 = (1,2), = (, 3),若 ⊥ ,则| + | =__________. 14.已知是锐角,cos( + 6) = 3, 且cos( ? 3) =__________. 15.直线 ? + 3 = 0与圆( ? 2)2 + ( ? )2 = 4相交于 、 两点,若| | ≥ 2 3,则 实数的取值范围是__________.

1



+ ? 4 ≤ 0 16.若实数, 满足不等式组{2 ? 3 ? 8 ≤ 0,目标函数 = ? 的最大值为 12,最 ≥ 1
小值为 0,则实数 =__________. 评卷人 得分 三、解答题
? 17.设为数列{}的前项和,且 = 2 ? + 1( ∈ ), = + 1. (1)求数列{}的通项公式; (2)求数列{}的前项和. 18 .如图,四边形 为菱形,四边形 为平行四边形,设 与 相交于点 , = = 2, = 3, ∠ = ∠ .

(1)证明:平面 ⊥平面; (2)若∠ = 600,求三棱锥 ? 的体积. 19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划 分为三档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费,超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. (1)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电 量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这 100 户居民中,今年 1 月份用电 费用不超过 260 元的点 80%,求, 的值;

试卷第 4 页,总 5 页

(3)在满足(2)的条件下,估计 1 月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表) . 20.已成椭圆:
2 2

+

2 2

= 1( > > 0)的离心率为 .其右顶点与上顶点的距离为 5,
3

3

过点(0,2)的直线 与椭圆相交于、两点. (1)求椭圆的方程; (2)设 是中点,且点的坐标为(5 , 0),当⊥ 时,求直线 的方程. 21.已知函数() = ( + 1)ln ? + 3, ∈ , ()是()的导函数,为自然对数的底 数. (1)讨论()的单调性; (2)当 > 时,证明:(?) > 0; (3)当 > 时,判断函数()零点的个数,并说明理由. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中 中, 曲线的参数方程为{ 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线的普通方程和极坐标方程; (2)若直线 与曲线相交于点、两点,且 ⊥ ,求证:||2 + ||2为定值,并求出 这个定值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知() = | + |, () = | + 3| ? . (1)当 = 1,解不等式() < (); (2)对任意 ∈ [?1,1], () < ()恒成立,求的取值范围.
1 1 2

= 2cos (为参数) , 以原点为极点, 轴 = 3sin

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.B 【解析】 由2 ? 9 + 18 ≤ 0得:3 ≤ ≤ 6,所以 ∩ = {4,6},故选 B. 点睛:集合是高考中必考的知识点,一般考查集合的表示、集合的运算比较多.对于集合的 表示,特别是描述法的理解,一定要注意集合中元素是什么,然后看清其满足的性质,将其 化简;考查集合的运算,多考查交并补运算,注意利用数轴来运算,要特别注意端点的取值 是否在集合中,避免出错. 2.B 【解析】 因为1+2 = 5 ( + ) ? (1 ? 2 ) = 5 [ + 2 + (1 ? 2) ]为纯虚数, 所以 + 2 = 0且1 ? 2 ≠ 0, 解得 = ?2,故选 B. 点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部 的理解,掌握纯虚数,共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实 数化,转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造 成不必要的失分. 3.C 【解析】 因为 4 个小球随机选 3 个共有3 其中能构成等比数列的三个数分别为 2, 3, 4 = 4种不同选法, 4;2,4,6,有两种不同的选法,所以根据古典概型概率公式得: = 4 = 2,故选 C. 4.B 【解析】 根据指数函数对数函数的增减性知,因为0 < = 0.23 < 0.20 = 1, = log0.3 0.2 > log0.3 0.3 = 1, = log3 0.2 < log3 1 = 0,所以 > > ,所以选 B. 点睛: 利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小, 一方面要比较两个实 数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当 都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值0,1的 应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小. 5.A 【解析】 由余弦定理知 2 = 2 + 2 ? 2 cos, 代入cos = , = 1, = 2解得: = 2, 又由cos = 解
4 4 1 1 2 1

+

1

1

得sin = 6.D 【解析】

15 4

,所以 = ? ? sin =
2

1

15 4

,故选 A.

不妨设双曲线的焦点为( , 0),则其中一条渐近线为 = ,焦点到其距离 = 又知 = 7.A 【解析】
答案第 1 页,总 9 页
5 5



2 +2

= ,

? 2,所以 = = 5,故选 D.



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由 函 数 = sin(6 + 4) 的 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 3 倍 得 到



= sin(2 + 4),向右平移8个单位得到 = sin(2( ? 8) + 4) = sin2,将 = 2代入得 = 0,
所以函数的一个对称中心是(2 , 0),故选 A. 8.C 【解析】 易知函数定义域为{| ≠ 0},且(?) = ?(),因此函数图象关于原点对称,又当自变量 从原点右侧 → 0时, → +∞,故选 C. 9.D 【解析】 由三视图知,这是一个底面半径为 2,高为 2 的圆柱挖去一个底面半径为 2 高为 2 的圆锥, 所以平行底面的平面截得一个圆环, 其面积为两个圆面积之差, 根据比例关系知截圆锥所得 2 2 圆的半径为 h,所以面积为4 ? ? = (4 ? ),故选 D. 10.C 【解析】 根据框图分析, 当 = 6时, ?? = 1, 当 = 12时, ?? = 2, 当 = 18时, ?? = 3, ? ?当 = 2016时, ?? = 336继续进入循环, 当 = 2022时, ?? = 337, 且2022 > 2017, 结束循环, 输出? = 337, 故 选 C. 11.D 【解析】 因为球与各面相切,所以直径为 2,且, 1 , 1的中点在所求的切面圆上,所以所求截面 为此三点构成的边长为 2正三角形的外接圆, 由正弦定理知 =
6 3













, 所以面积 = 3 , 选 D.

2

12.D 【解析】 由 ′ () = 3sin2 ? cos + 2cos ? (?sin) = 3sin ? cos ? (sin ? sin > 0 ,令 () = cos ? (sin ?

2 3 2 3 2 3

) , ∈ (0. ) , 因 为
2 3

) ,若 3 ≥ 1 ,即 ≥ 2 时, sin ?


≤ 0 恒成立,所以
2 3

∈ (0, 2)时() < 0, ∈ (2 , )时() > 0,所以当 = 2时()有最小值,当0 <
0 < < 2时,令sin ?
3 2 3

< 1,即


= 0,不妨设两解为1 ,2 ,当 ∈ (0, 1 )时() < 0, ∈ (1 , 2)时

答案第 2 页,总 9 页

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() > 0, 当 ∈ (2 , 2 )时() < 0, 当 ∈ (2 , )时, () > 0, 所以函数()必有最小值(1 )
与(2 )中较小者,故选 D. 点睛: 本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题, 综合性 较强,属于难题.首先要根据求导公式及法则对复合函数求导,其次要研究导数的正负需要 综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论, 最后讨论过程需要条理清晰, 思维严谨, 运算能力较强. 13.5 2 【解析】 由 ⊥ 知, + 6 = 0,所以 = ?6,| + | = |(?5,5)| = 5 2,故填5 2. 14.
2 2 3



【解析】 因为是锐角且cos( + 6) = 3, 所以sin( + 6) =

2



1



2 2 3

, 由诱导公式知cos( ? 3) = cos[( + 6) ?





] = sin( + ) =
6 4



2 2 3

,故填

2 2 3



15.(?∞, ? 3] 【解析】 设圆心到直线的距离为 d, 则 = 解得 ≤ ? 4,故填(?∞, ? 4). 16.3 【解析】 做出可行域如图,目标函数 = ? ,当 ≤ 0时,显然最小值不可能为 0,当 > 0时,当 = ? 过点(1,3)时取最小值,解得 = 3,此时 = ? 过点(4,0)时有最大值,符合题 意,故填 = 3.
3 3 |2?+3| |+3|
2

+1

2

=

+1

, 由 2 = 2 + (

| | 2 | | ) 知( )2 2 2

=4?

(+3)2

2 +1

≥ 3,

点睛: 本题考查线性规划问题, 涉及到目标函数中有参数问题, 综合性要求较高, 属于难题. 解 决此类问题时,首先做出可行域,然后结合参数的几何意义进行分类讨论,本题参数为直线 的斜率,所以可以考虑斜率的正负进行讨论,当 ≤ 0时,显然直线越上移越小,结合可行 域显然最小值不可能为0,分析 > 0时,只有当直线 = ? 过点(1,3)时取最小值,从而 求出. 17. (1) = 2?1 ( ∈ ?); (2)( ? 1)2 + 1.
答案第 3 页,总 9 页

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【解析】 ? 试题分析: (1) 分析已知条件, = 2 ? + 1( ∈ ), 一般消去, 转化为含有与?1的递 推关系式,进而构造等差或等比数列,特别地 = + 1,提示构造数列的形式,另外还要 注意当 = 1时, 1 = 1 = 21 ? 1 + 1 = 21, 易得1 = 0, 1 = 1; (2) 由 (1) 知 = 2?1, 则 ?1 = ·2 ,根据式子结构特点,采用错位相减法求和. 试题解析: (1)当 = 1时,1 = 1 = 21 ? 1 + 1 = 21,易得1 = 0,1 = 1; 当 ≥ 2时, = ? ?1 = 2 ? + 1 ? [2?1 ? ( ? 1) + 1], 整理得 = 2?1 + 1, ∴ = + 1 = 2(?1 + 1) = 2?1, ∴数列{}构成以首项为1 = 1,公比为 2 等比数列, ∴数列{}的通项公式 = 2?1 ( ∈ ?); (2)由(1)知 = 2?1,则 = ·2?1 , 则 = 1 × 20 + 2 × 21 + 3 × 22 + ? + × 2?1,① ∴2 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + ? + × 2,② 由①-②得:? = 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 + ? + 1 × 2?1 ? × 2 =
1?2 1?2

? × 2 = 2 ? 1 ? × 2,

∴ = ( ? 1)2 + 1. 点睛:数列问题是高考中的重要问题,主要考查等差等比数列的通项公式和前项和,主要 利用解方程得思想处理通项公式问题,利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列 的和.在利用错位相减求和时,要注意提高运算的准确性,防止运算错误. 18. (1)证明见解析; (2) 3. 【解析】 试题分析: (1)要证面面垂直,需要找线面垂直,本题中重点分析线段,利用条件底面是 菱形可得 ⊥ ,通过全等可知 = ,从而 ⊥ ,故是平面的垂线,从而得证; ( 2 )由 //, = 2知点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的两倍,所以 ? = 2?, 作 ⊥ , 证明 ⊥平面, 利用三棱锥体积公式求解; 也可证明 ⊥平 面,从而直接求高,计算体积. 试题解析: (1)证明:

连接, ∵四边形为菱形, ∵ = , ⊥ , = , 在和中,

= , = ,∠ = ∠ , ∴ ? , ∴ = ,
答案第 4 页,总 9 页

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∴ ⊥ , ∵ ∩ = , ∴ ⊥平面, ∵ ?平面, ∴平面 ⊥平面; (2)解法一:连接,,∵ ⊥面, ?平面,∴ ⊥ , 在平行四边形中,易知∠ = 600 ,∠ = 300, ∴∠ = 900,即 ⊥ ,又因为,为平面内的两条相交直线,所以 ⊥平面, 所以点到平面的距离为 = 3, ∵ = 2 ·2 · 3 = 3, ∴三棱锥 ? 的体积为 · 3 ·3 = 3.
3 1 1

解法二:∵//, = 2,∴点到平面的距离为点到平面的距离的两倍,所以 ? = 2?, 作 ⊥ ,∵平面 ⊥平面, ⊥平面, ∴? = ? = × × 2 × 3 × =
3 2 2 1 1 3 3 2



∴三棱锥 ? 的体积为 3. 0.5, 0 ≤ ≤ 200 19. (1) = {0.8 ? 60,200 < ≤ 400; (2) = 0.0015, = 0.0020; (3)170.5. ? 140, > 400 【解析】 试题分析: (1)根据电价的分档情况,可以写出分段函数,当0 ≤ ≤ 200时, = 0.5; 当200 < ≤ 400时, = 0.5 × 200 + 0.8 × ( ? 200) = 0.8 ? 60, 当 > 400时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 200 + 1.0 × ( ? 400) = ? 140; ( 2)由( 1)可 知:当 = 260时, = 400,则( ≤ 400) = 0.80,根据频率分布直方图 0.1 + 2 × 100 + 0.3 = 0.8 可知{ ,解出 = 0.0015, = 0.0020; (3)分别求出各组中值点的电 100 + 0.05 = 0.2 价, 并求其概率 (频率) , 再求平均值 = 25 × 0.1 + 75 × 0.2 + 140 × 0.3 + 220 × 0.2 + 310 × 0.15 + 410 × 0.05 = 170.5. 试题解析: (1)当0 ≤ ≤ 200时, = 0.5; 当200 < ≤ 400时, = 0.5 × 200 + 0.8 × ( ? 200) = 0.8 ? 60, 当 > 400时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 200 + 1.0 × ( ? 400) = ? 140, 0.5,0 ≤ ≤ 200 所以与之间的函数解析式为: = {0.8 ? 60,200 < ≤ 400;

? 140, > 400
(2)由(1)可知:当 = 260时, = 400,则( ≤ 400) = 0.80, 0.1 + 2 × 100 + 0.3 = 0.8 结合频率分布直方图可知:{ , 100 + 0.05 = 0.2 ∴ = 0.0015, = 0.0020; (3)由题意可知:
答案第 5 页,总 9 页

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当 = 50时, = 0.5 × 50 = 25,∴( = 25) = 0.1, 当 = 150时, = 0.5 × 150 = 75,∴( = 75) = 0.2, 当 = 250时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 50 = 140,∴( = 140) = 0.3, 当 = 350时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 150 = 220,∴( = 220) = 0.2, 当 = 450时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 200 + 1.0 × 50 = 310,∴( = 310) = 0.15, 当 = 550时, = 0.5 × 200 + 0.8 × 200 + 1.0 × 150 = 410,∴( = 410) = 0.05, 故 = 25 × 0.1 + 75 × 0.2 + 140 × 0.3 + 220 × 0.2 + 310 × 0.15 + 410 × 0.05 = 170.5. 20. (1) 3 + 【解析】 试题分析: (1)根据条件2 + 2 = 5,又 = = 程:
2
3

2

2
2

= 1; (2) = 0或 + ? 2 = 0.



3 3

, 2 = 2 + 2解方程组即可得出椭圆的方

+

2
2

= 1; (2) 涉及直线与圆锥曲线问题时, 如果要设直线方程一定要注意分类讨论,

①若直线 的斜率不存在,此时 为原点,满足⊥ ,所以,方程为 = 0;②若直线 的 斜率存在, 设其方程为 = + 2,(1 ,1 ),(2 ,2 ), 联立方程组消元得: (2 + 32 )2 + 12 + 6 = 0 ,根据直线与圆锥曲线关系,当 > 0 时, 1 + 2 = 2+32 ,设 (0 , 0 ) ,则
?12

0 = 2+32 , 0 = ·2+32 + 2 = 2+32,由⊥ 可知 = ?1或 = ? 3,检验,舍掉 = ? 3,
所以直线 的方程为 + ? 2 = 0. 试题解析: (1)由题意可知:2 + 2 = 5,又 = = ∴ = 3, = 2,所以椭圆的方程为:
3

?6

?6

4

2

2



3 3

,2 = 2 + 2 ,
2
2

2

+

= 1;

(2)①若直线 的斜率不存在,此时 为原点,满足⊥ ,所以,方程为 = 0, ②若直线 的斜率存在,设其方程为 = + 2,(1 ,1 ),(2 ,2 ), 将直线方程与椭圆方程联立可得 = + 2 { 2 2 ,即(2 + 32 )2 + 12 + 6 = 0, + = 1 3 2 可得{

1 + 2 = 2+32

?12

= 722 ? 48 > 0



设 (0 ,0 ),则0 = 由⊥ 可知
0
2

?6 2+32

,0 = ·2+32 + 2 = 2+32,

?6

4

0 ?5

· = ?1,

化简得32 + 5 + 2 = 0, 解得 = ?1或 = ? 3,将结果代入 = 722 ? 48 > 0验证,舍掉 = ? 3, 此时,直线 的方程为 + ? 2 = 0, 综上所述,直线 的方程为 = 0或 + ? 2 = 0. 点睛: 本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系, 是高考的必考点, 属于难题. 求
答案第 6 页,总 9 页
2 2

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椭圆方程的方法一般就是根据条件建立, , 的方程, 求出2 , 2 即可, 注意2 = 2 + 2 , = 的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要 特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元 二次方程,利用根与系数关系写出1 + 2 , 1 ? 2 ,再根据具体问题应用上式,其中要注意判 别式条件的约束作用. 21. (1)①当 ≤ 0时, ()在(0, +∞)上为减函数;②当 > 0时, ()的减区间为(0, ),

1



增区间为( , +∞); (2) 证明见解析; (3)一个零点,理由见解析. 【解析】 试题分析: (1) 讨论函数单调性, 先求导′ () = ?

1

1

2

=
1

?1 , 当 ≤ 2

0时, ′ () < 0, 故()在
1

(0, +∞)上为减函数;当 > 0时,解′ () > 0可得 > ,故()的减区间为(0, ),增区间为 ( , +∞); (2) 根据(?) = ?2 + , 构造函数, 设() = ? 2, ′ () = ? 2, 当 > 时,

1

′ () > 0,所以() = ? 2 是增函数,() = ? 2 > ? 2 > 0,得证; (3)判断函 数的零点个数,需要研究函数的增减性及极值端点,由(1)可知,当 > 时,()是先减
再 增 的 函 数 , 其 最 小 值 为 ( ) = ln + = (ln + 1) < 0 , 而 此 时 () = 1 + ? >
1 1 1
1 1







0, (?) > 0,且? < < ,故()恰有两个零点1 , 2 , 从而得到()的增减性, 当 ∈ (0, 1 )时, ′ () = () > 0; 当 ∈ (1 , 2 )时, ′ () = () < 0; 当 ∈ (2 , +∞)时,′ () = () > 0,从而()在1 , 2 两点分别取到极大值和极小值,再证 明极大值(1 ) < 0,所以函数不可能有两个零点,只能有一个零点. 试题解析: (1)对函数()求导得() = ′ () = ln + ,

1

1

1

′ () = ? 2 =



1

?1 , 2

①当 ≤ 0时,′ () < 0,故()在(0, + ∞)上为减函数; ②当 > 0时,解′ () > 0可得 > ,故()的减区间为(0, ),增区间为( , + ∞);

1 1 1

(2) (?) = ?2 + ,设() = ? 2 ,则′ () = ? 2, 易知当 > 时,′ () > 0, () = ? 2 > ? 2 > 0; (3)由(1)可知,当 > 时,()是先减再增的函数, 其最小值为() = ln + = (ln + 1) < 0, 而此时() = 1 + ? > 0,(?) > 0,且? < < ,故()恰有两个零点1 ,2 ,
1
1 1 1

1

1

1

∵当 ∈ (0,1 )时, ′ () = () > 0; 当 ∈ (1 ,2 )时, ′ () = () < 0; 当 ∈ (2 , + ∞) 时,
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′ () = () > 0,
∴()在1 ,2两点分别取到极大值和极小值,且1 ∈ (0, ),

1

由(1 ) = ln1 +

1

1

= 0知 = ?

1

1 ln1


1

∴(1 ) = (1 + 1)ln1 ? 1 + 3 = ln1 + ln + 2,
1

∵ln1 < 0,∴ln1 + ln ≤ ?2,但当ln1 + ln = ?2时,1 = ,则 = ,不合题意,所以
1 1

1

1

1

(1 ) < 0,故函数()的图象与轴不可能有两个交点. ∴函数()只有一个零点.
22. (1) +
4

2

2
3

= 1,32 cos2 + 42 sin2 = 12; (2) (定值) ,理由见解析.
12

7

【解析】 试题分析: (1)将参数方程中的参数消元得到: 4 +
1 1

2

2
3

= 1,再根据 = cos, = sin,代

入 普 通 方 程 化 简 得 : 32 cos2 + 42 sin2 = 12 ; ( 2 ) 不 妨 设 设 点 , 的 极 坐 标 分 别 为 = cos2 + sin2 4 3 1 1 7 (1 , ), (2 , + 2),代入极坐标方程得{ 1 1 2 ,所以 2 + 2 = ,得证. 1 1 2 12 2 = 4 sin + 3 cos 2
2 1
2

1

试题解析: (1)曲线的普通方程为 +
4 1 1

2

2
3

= 1,

极坐标方程为2 (4 cos2 + 3 sin2 ) = 1, ∴所求的极坐标方程为32 cos2 + 42 sin2 = 12; (2)不妨设设点,的极坐标分别为(1 ,),(2 , + ),
2



= cos2 + sin2 4 3 则{1 ,即{ 1 1 2 , 2 2 1 2 ( cos ( + )) + ( sin ( + )) = 1 2 = sin + cos 2 2 4 2 3 2 4 3
1 4

(1 cos)2 + (1 sin)2 = 1
3 1

1

1

1

1

2 1
2

∴ 2+
1

1

1

2 2

=

7 12

,即

1

||2

+

1 ||2

= (定值) .
12

7

23. (1)(?∞, 2); (2)?2 < < 2. 【解析】 试题分析: ( 1 )当 = 1 , () = | + 1| ,解绝对值不等式分类讨论去绝对值号; ( 2 )当 ∈ [?1,1]时,() = 3,∴| + | < 3恒成立,即?3 ? < < 3 ? ,当 ∈ [?1,1]时恒成 立,所以?2 < < 2. 试题解析: (1)当 = 1,() = | + 1|, 由() < ()可得| + 1| < | + 3| ? ,即| + 3| ? | + 1| ? > 0, 当 ≤ ?3时,原不等式等价于? ? 2 > 0,即 < ?2,∴ ≤ ?3, 当?3 < < ?1时,原不等式等价于 + 4 > 0,即 > ?4,∴?3 < < ?1, 当 ≥ ?1时,原不等式等价于? + 2 > 0,即 < 2,∴?1 ≤ < 2, 综上所述,不等式的解集为(?∞,2);
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(2)当 ∈ [?1,1]时,() = 3,∴| + | < 3恒成立, ∴?3 < + < 3,即?3 ? < < 3 ? ,当 ∈ [?1,1]时恒成立, ∴的取值范围?2 < < 2.

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