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2014人教数学必修五【课件】 3.2一元二次不等式及其解法(二)


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§3.2(二)

【学习目标】 1.能运用三个“二次”的关系解决有关的数学问题. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型, 并加以解决.
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3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 【学法指导】 1.利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解

题的切入点, 快速找到有效的解题途径. 2.解决有关一元二次不等式恒成立的问题,一方面,要充分 利用二次函数图象分析解决有关问题; 另一方面还应依具 体情况, 选择不同的字母作为自变量, 再利用图象分析解 决问题.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.2(二)

1.一元二次不等式的解集如下表: 判别式
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Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程

2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两不等

有两相等 实根 x1= 没有实数根 b x2=- 2a

ax2+bx+c=0 实根 x1, (a>0)的根 x2(x1<x2)

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.2(二)

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0
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{x|x<x1 或 x>x2}

{x|x∈R 且 b x≠- } 2a

R

{x|x1<x<x2}

(a>0)的解集 2.解一元二次不等式的一般步骤

?

?

(1)对不等式 变形 ,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0 (a>0),ax2+bx+c<0 (a>0); (2)计算相应的 判别式 ; (3)当 Δ ≥ 0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应的二次函数的图象,写出不等式的解集.

填一填·知识要点、记下疑难点
x-2 3.不等式 >0 的解集是 x+3 A.(-3,2) B.(2,+∞)
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§3.2(二)

( C )

C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)
4.若不等式 x2+mx+1≥0 的解集为 R,则实数 m 的取值范 围是 A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 B.m≤-2 D.-2≤m≤2 ( D )

研一研·问题探究、课堂更高效

§3.2(二)

[问题情境] 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行
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一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹 车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速 40 km/h 以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对, 同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距 离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m.又知甲、 乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如 下关系:

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§3.2(二)

S 甲=0.1x+0.01x2,S 乙=0.05x+0.005x2.
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问超速行驶谁应负主要责任? 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用.这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用.

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探究点一 问题 一元二次不等式恒成立问题

§3.2(二)

解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用,一

元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图象来
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求解,请把下列结论补充完整: (1)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或 ?a>0 ? ? ? 恒成立)的等价条件是 ?Δ<0 ; (2)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的 ?a=0 ?a>0 ? ? ?b=0 或? ?Δ<0 ? ?c>0 等价条件是 ? ;

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§3.2(二)

(3)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的 ?a=0 ?a<0 ? ? ?b=0 或? ?Δ<0 ? ?c<0 等价条件是 ? ;
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(4)不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是全体实数(或恒成立)的 ?a=0 ?a>0 ? ? ?b=0 或? ?Δ≤0 ? ?c≥0 等价条件是 ? ; (5)f(x)≤a 恒成立,x∈D?[f(x)]max≤a,x∈D; (6)f(x)≥a 恒成立,x∈D?[f(x)]min≥a,x∈D.

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§3.2(二)

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探究点二 一元二次方程根的分布 问题 一元二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的根的分布范围问 题.一般从以下三个方面考虑: (1)判别式;(2)区间端点函数值的正负; b (3)对称轴 x=- 与区间端点的关系. 2a 设 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的两实数 根,f(x)=ax2+bx+c,则 x1,x2 的分布范围与方程系数 之间的关系如下表所示: 根的分布 图象 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ ?Δ≥0 ? ?x1+x2>0 ?x · >0 ? 1 x2

0<x1≤x2

?Δ≥0 ? ?f?0?>0 ? ? b ?-2a>0 ?

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§3.2(二)

x1<0<x2

?Δ>0 ? ? ?x1x2<0 ?

f(0)<0

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x1≤x2<k

?Δ≥0 ? ?x1+x2<2k ? ??x1-k?· ??x2-k?>0 ?

?Δ≥0 ? ?f?k?>0 ? ? b ?-2a<k ?

k<x1≤x2

?Δ≥0 ? ?x1+x2>2k ? ??x1-k?· ??x2-k?>0 ?

?Δ≥0 ? ?f?k?>0 ? ? b ?-2a>k ?

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?Δ>0 ? ??x1-k?· ??x -k?<0 ? 2

§3.2(二)

x1<k<x2

f(k)<0
?Δ≥0 ? ?f?k1?>0 ?f?k2?>0 ? b ? ?k1<-2a ? ? <k2
?f?k1?>0 ? ?f?k2?<0 ?f?k ?>0 ? 3

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x1、x2∈ (k1,k2)

k1<x1<k2 <x2<k3

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【典型例题】

§3.2(二)

例 1 若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是 A.(-2,2)
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( B ) B.(-2,2] D.(-∞,2)

C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
解析 ∵mx2+2mx-4<2x2+4x,
∴(2-m)x2+(4-2m)x+4>0. 当 m=2 时,4>0,x∈R;

当 m<2 时,Δ=(4-2m)2-16(2-m)<0, 解得-2<m<2.此时,x∈R. 综上所述,-2<m≤2.

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§3.2(二)

小结 解答 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 恒成立问题时,
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不要遗漏二次项系数为零的情况,当 a>0 时,可以由开口方 向和判别式来确定参数范围;当 a=0 时,要单独检验.

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§3.2(二)

跟踪训练 1 不等式 ax2+2ax-(a+2)≥0 的解集是
-1<a≤0 实数 a 的取值范围是__________.

?

,则

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解析 当 a=0 时,-2≥0 解集为 ? ; ?a<0 ? 当 a≠0 时,a 满足条件:? , 2 ?Δ=4a +4a?a+2?<0 ?
解得-1<a<0. 综上可知,-1<a≤0.

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例2


§3.2(二)

关于 x 的一元二次方程 kx2+(k-1)x+k=0 有两个正
方法一 设 f(x)=kx2+(k-1)x+k,由题意,

实数根,求实数 k 的取值范围.

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?Δ=?k-1?2-4k2≥0 ? ? k-1 则 k 满足?- >0 k ? ?f?0?=k>0 ?
?3k2+2k-1≤0 ? 即??k-1?k<0 ?k>0 ?



1 ,解得 0<k≤ . 3

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§3.2(二)

方法二 设 x1,x2 为方程 kx2+(k-1)x+k=0 的两个正实 数根,
?x1+x2>0 ? 则?x1x2>0 ?Δ≥0 ?
1 解得 0<k≤ . 3
小结 解一元二次方程根的分布问题, 首先要分清对应的二 次函数的开口方向,及根所在的区间范围,列出有关的不等 式及不等式组,进而求解.

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? k-1 ?- k >0 ? ,即?k ?k>0 ? 2 2 ?Δ=?k-1? -4k ≥0



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§3.2(二)

跟踪训练 2 关于 x 的方程(a+1)x2+(4a+2)x+1-3a=0 有 两个异号的实数根,且负根的绝对值较大,求实数 a 的取值 范围.

解 由题意知,实数 a 满足条件:
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? ?x1x2=1-3a<0, a+1 ? ? 4a+2 ? ?x1+x2=- a+1 <0, ? ??a+1??3a-1?>0, ? 即? ??4a+2??a+1?>0, ? 1 解得 a<-1 或 a> . 3

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§3.2(二)

例 3 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑 行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距 离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速 40 km/h 以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现
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情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间 分别有如下关系: S 甲=0.1x+0.01x2,S 乙=0.05x+0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任.

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解 由题意列出不等式 S 甲=0.1x+0.01x2>12, S 乙=0.05x+0.005x2>10.
分别求解,得
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§3.2(二)

x<-40,或 x>30. x<-50,或 x>40. 由于 x>0,从而得 x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任.

小结

一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时

要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不 等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.

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§3.2(二)

跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣,日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P=160-2x, 生产 x 件所需成本 为 C=500+30x 元,该厂日产量多大时,每天获利不少于 1 300 元?
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解 由题意得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,
化简得 x2-65x+900≤0
解得 20≤x≤45.
答 该厂每天产量在 20 件至 45 件之间时,每天获利不少 于 1 300 元.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.2(二)

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x-3 1.与不等式 ≥0 同解的不等式是 2-x A.(x-3)(2-x)≥0 2-x C. ≥0 x-3 B.0<x-2≤1 D.(x-3)(x-2)≤0

( B )

解析 选项 A、C、D 中均含 x=2,只有选项 B 不含 x =2.用排除法选 B.

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§3.2(二)

2.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是 A.{x|x>1}
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( C )

B.{x|x≥1} D.{x|x≤-2 或 x=1}

C.{x|x≥1 或 x=-2}

解析 当 x=-2 时,0≥0 成立.
当 x>-2 时,原不等式变为 x-1≥0,即 x≥1.

∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x=-2}.

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§3.2(二)

3.要使关于 x 的方程 x2+(a2-1)x+a-2=0 的一根比 1 大 且另一根比 1 小,则 a 的取值范围是
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( C )

A.-1<a<1 C.-2<a<1

B.a<-1 或 a>1 D.a<-2 或 a>1

解析 设 f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,
则由 f(1)=12+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0. 解得-2<a<1.

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§3.2(二)

4.在 R 上定义运算“?”:x ? y=(1-x)(1+y).若不等式 (x-a)?(x+a)<1 对任意的实数 x 都成立,则 A.-1<a<1
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( B )

B.-2<a<0 3 1 C.0<a<2 D.- <a< 2 2 解析 由题意知,(x-a)?(x+a)=(1-x+a)(1+x+a)=
(1+a)2-x2<1 恒成立,
即 x2>(1+a)2-1 恒成立, 故只要(1+a)2-1<0 恒成立即可,
即 a2+2a<0,解得-2<a<0.

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§3.2(二)

1. 解决不等式恒成立问题关键是等价转化思想的应用, 同时 要结合二次函数的图象来求解.
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2. 解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题, 要注意结 合对应的二次函数图象特征,使问题更简单、直观. 3. 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式 模型,选择其中的起关键作用的未知量为 x,用 x 来表示 其它未知量,根据题意,列出不等关系再求解.


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