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广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 函数与导数(教师版)


高二理科数学 汕头统考复习――函数与导数
基础过关题 一、 函数

1:函数的概念、表示法、定义域、值域、最值; 2:函数的单调性、奇偶性、周期性; 3:幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质(尤其是单调性) 、图象和应用; 4、函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) = 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法.

3x 2 + l

g(3x + 1) 的定义域为( B ) 练习题 1、函数 f ( x) = 1- x 1 1 1 1 1 B. (- ,1) C. ( - , ) D. (-?, - ) A. (- , +?) 3 3 3 3 3
2、设函数 y = lg( x - 5 x) 的定义域为 M , y = lg( x - 5) + lg x 的定义域为 N ,则(
2

C



A. M ? N = R 3、已知函数 f ( x) = í A.32

B. M = N

C. M ? N

D. M ? N

ì2 x ( x < 4), ,那么 f (5) 的值为( C ) ? f ( x - 1) ( x ? 4)
C.8 D.64 A )

B.16
2

4、二次函数 y = x + ax + 4 在 (-?,1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. (-?, -2] 5、设 y1 = 3
0.9

B. [2, +?)
0.48

C. (-?, 2]

D. (-?,1]

1 -1.5 ,则( D ) 3 A. y3 > y1 > y2 B. y2 > y1 > y3 C. y1 > y2 > y3 D. y3 > y2 > y1 b x 2 6、在下列图象中,二次函数 y = ax + bx 与指数函数 y = ( ) 的图象只可能是( A ) a
, y2 = 9 , y3 = ( ) y
1 -1

y

1

y
1 1

1

o A.

x

o B.

x

-1

o C.

x

o D.

1

x

7、若函数 f ( x) = log a x (0 < a < 1) 在区间 [a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于( C A.



1 4

B.

2 2

C.

2 4

D. 1

2

8、 已知函数 f (x)为偶函数, 当 x∈[0,+∞]时, f (x)=x-1, 则 f (x-1)<0 的解集为

{x | 0 < x < 2} 。
B )

?1? 9、 (07 山东卷)设函数 y = x 与 y = ? ÷ è2?
3

x-2

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是( D. (3, 4)
第1页

A. (0, 1)

B. (1, 2)

C. (2, 3)

二、

导数;

1 常见 函数的 导 数 公式 : ① C ' = 0 ; ② ( x n ) ' = nx n -1 ; ③ (sin x) ' = cos x ; ④ (cos x) ' = - sin x ; ⑤ (a x ) ' = a x ln a ;⑥ (e x ) ' = e x ;⑦ (log a x) ' = 1 1 ' ;⑧ (ln x) = 。 x ln a x
u v u ?v - uv ? ; v2

2、导数的四则运算法则: (u ± v ) ? = u ? ± v ?; (uv ) ? = u ?v + uv ?; ( ) ? =

? ? 3、 (理科)复合函数的导数: y ? x = yu × u x ;
4、导数的应用:①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点 的切线?②利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) > 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) < 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?( x) ;ⅱ求方程 f ?( x) = 0 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求极值;ⅱ求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值。 三、 (理科)定积分 1、定积分的性质:① ② ③

ò
b a b

b

a

kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k 常数) ;
a 1 2

b

ò [ f ( x) ± f ò
a

( x)]dx = ò f 1( x)dx ± ò f 2 ( x)dx ;
a a c b a c

b

b

f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx (其中 a < c < b) 。

2、微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式) : 3、定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ②求变速直线运动的路程: S =

ò

b

a

f ( x)dx = F ( x) |b a = F (b) - F ( a )
b

ò

b

a

v(t )dt ;③求变力做功: W = ò F ( x)dx 。
a

练习题
1、已知曲线 y = x + 1 ,则在点 P (1, 2) 处的切线方程为
3

。 2x - y -1 = 0 . 答案
? 3 ? ? ,+? ÷ ? 3 ÷ è ? ? ? ? 0, 3 ÷ ? 3 ÷ è ?

2、函数 y=3x -2lnx 的单调增区间为

2

,单调减区间为

3.函数 y = f ( x ) 的图象过原 点且它的导函数 y = f ?( x) ... 的图象是如图所示的一条直线, 不经过( B ) (A)第一象限;

y

y = f ( x ) 的图象
(D)第四象限.
0

y = f '( x)
x

(B)第二象限; (C)第三象限;
/

4、已知函数 y = 1 + ln x ,则 y |x = e = __________

2 4e

第2页

5、.

ò

1

-1

1 - x 2 dx = (

C )A. 2p

B. p

C.

p 2

D.

p 4

6.下列定积分值最大的是(B
1 1 0 0


2 1

(A) ò xdx ; (B) ò e x dx ; (C) ò 1dx ;
.[解]

(D) ò

2

1

1 dx . x

ò

1

0

xdx =

1 2 x 2

1 0

=

1 1 x x ; ò e dx = e 0 2

1 0

= e -1 > 1 ;

ò

2

1

2 1dx = x 1 =1;

ò

2

1

1 2 dx = ln x 1 = ln 2 < 1 . x

典型例题
例 1. 设函数 f ( x ) = ax 3 +

3 (2a - 1) x 2 - 6 x (a ? R ) 2

(1)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x)在点(-1, f (-1)) 处的切线方程; (2)当 a =

1 时,求 f ( x ) 的极大值和极小值; 3

★(3)若函数 f ( x ) 在区间 ( -?,-3) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a=1 时, f ( x) = x +
3

3 2 x - 6 x, f ?( x) = 3x 2 + 3 x - 6 , ………… 2 分 2 13 k = f ?(-1) = 3 - 3 - 6 = -6, f (-1) = , 2 13 ∴y= -6( x + 1) 2
即 12 x + 2 y - 1 = 0 为所求切线方程。 (2)当 a = ……………… 4 分

1 1 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 - 6 x, f ?( x) = x 2 - x - 6 3 3 2
……………… 6 分

令 f ?( x) = 0得x = -2或x = 3 , ∴ f ( x)在(-?,-2)递增, 在(-2,3) 递减,在(3,+ ? )递增, ∴ f ( x ) 的极大值为 f ( -2) =
2

22 27 , f ( x )的极小值为 f (3) = 3 2

………… 8 分

(3) f ?( x ) = 3ax + 3(2a - 1) x - 6 = 3( ax - 1)( x + 2) ①若 a = 0, 则f ( x ) = ∴满足要求。 ②若 a ? 0, 则令f ?( x ) = 0, 得x1 = -2, x 2 =

3 2 x - 6 x, 此函数在(-?,-2) 上单调递增。 2
………………………… 10 分

1 a

∵ f ( x)在(-?,-3)上是增函数,即x < -3时, f ?( x) > 0 恒成立,

a > 0时, 则

a < 0 时,不合题意 ,

1 > -3 恒成立,即 a > 0 , a
…………………… 13 分
第3页

综上所述,实数 a 的取值范围是[0,+ ?) .

…………………… 14 分

练习题 1(07 东莞二模)已知函数 f ( x) = ax + cx + d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x = 1 时 f ( x) 取得极
3

值- 2。 (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x 2 ? (-1,1) ,不等式 | f ( x1 ) - f ( x 2 ) |< 4 恒成立。 (1)解:∵ f ( x) 为 R 上的奇函数,∴ f (- x ) = - f ( x ) ,即 - ax - cx + d = - ax - cx - d ,∴d=0.
3 3

∴ f ( x ) = ax + cx , f ' ( x ) = 3ax + c .∵当 x=1 时, f ( x) 取得极值 - 2 .
3 2

∴í

ì f ' (1) = 0 ? f (1) = -2

∴í

ì3a + c = 0 ? a + c = -2

解得: í

ìa = 1 3 2 .∴ f ( x ) = x - 3 x , f ' ( x ) = 3 x - 3 , c = 3 ?

令 f ' ( x ) > 0 ,则 x < -1 或 x > 1 ,令 f ' ( x ) < 0 ,则 - 1 < x < 1 .∴ f ( x) 的单调递增区间为 (-?,-1) 和

(1,+?) ,单调递减区间为 (-1,1) .(2)证明:由(1)知, f ( x) = x 3 - 3 x , ( x ? [-1,1] )是减函数,
且 f ( x) 在 [-1,1] 上的最大值 M = f (-1) = 2 , f ( x) 在 [-1,1] 上的最小值 m = f (1) = -2 , ∴对任意的 x1 , x 2 ? (-1,1) ,恒有 | f ( x1 ) - f ( x 2 ) |< M - m = 2 - ( -2) = 4 练习题 2 设函数 f ( x ) ? ln x ? px ? 1 (1)若当 x = 2 时, f ( x) 取得极值,求

p 的值,并求 f ( x) 的单调区间;

(2)若对任意的 x > 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求 解: f '( x ) =

p 的取值范围.

1 1 1 - p, x > 0 ,(1)∵ f ( x) 当 x = 2 时有极值,∴ f '(2) = 0,即 - p = 0, p = , 2 x 2

p=
x

1 1 1 时, f '( x ) = - , x > 0 , x, f '( x), f ( x) 的变化如下表 2 x 2

(0, 2)
+ ↗

2 0 极大

(2, +?)


f’(x) f(x)

x = 2 时, f ( x) 取极大值.∴ p =
(2) x > 0 时,

1 ; f ( x ) 的单调递增区间是 (0,2) ,单调递减区间是 (2, +?) . 2

f ( x ) ? 0 ? ln x - px + 1 ? 0 ? p ?
第4页

ln x + 1 ln x ln x + 1 设 g ( x) = ,则 g '( x ) = - 2 , x x x

令 g '( x) = 0, 得x = 1 , x ? (0,1)时g '( x) > 0, x ? (1, +?)时g '( x) < 0 ,

g ( x) 的最大值是 g (1) = 1 ,于是 p 取值范围是 [1, +?) .

第5页


汕头市东里中学2007—2008学年度阶段性考试卷高三理科数学(函数与导数、三角函数、数列部分)人教版

汕头市东里中学2007—2008学年度阶段性考试卷高三理科数学(函数与导数、三角函数、数列部分)人教版 7899878998隐藏>> 学科网(ZXXK.COM)-学海泛舟系列资料 上学科网...