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必修四(第一章三角函数)导学案


杭州市余杭文昌高级中学高一数学导学案(必修四)

1.1.1 任意角
学习目标 1.理解任意角(包括正角、负角、零角) 的概念. 2.理解象限角的概念. 3.掌握所有与角α 终边相同的角的表示方法. 课前预习 预习教材 P2~5,完成教材 P5 练习 1~5 课中学习 1.新课导入: 初中角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 2.角的有关

概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: 始边 B 终边 ③角的分类: O A 顶点 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α 是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α 、β 、γ 各是多少度? 3.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例 1.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°;

4.终边相同的角的表示:

? 所有与角α 终边相同的角,连同α 在内,可构成一个集合 S ? ? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ,

?

?

注意:终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相 差 360°的整数倍; 例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) .

1

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例 3.写出终边在 y ? x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β <720°的元素β 写 出来.

例 4.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12' .

课堂小结

课后练习 1.下列各角中,与 60°角终边相同的角是( ) (A)-300° (B)-60° (C)600° 2.已知α 是第四象限角,则 (A)第二象限角 (D)1 380°

? 是( 2

) (C)第三象限角 ) (D)180°+α ) (D)第三或第四象限角

(B)第二或第四象限角

3.若α 是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( (A)90°-α (B)90°+α (C)360°-α

4.角α 与角β 的终边关于 y 轴对称,则α 与β 的关系为( (A)α +β =k?360°,k∈Z (C)α -β =k?360°+180°,k∈Z

(B)α +β =k?360°+180°,k∈Z (D)α -β =k?360°,k∈Z .

5.若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是 6.已知α 是第二象限角,则

? 应是第 3

象限角.

7.集合 A={α |α =k?90°-36°,k∈Z},B={β |-180°<β <180°},求 A∩B.

2

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1.1.2 弧度制
学习目标 1.理解弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算. 2.理解在弧度制下,任意角的集合与实数集 R 之间建立一一对应的关系 3.理解弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. 课前预习 预习教材 P6~P7,完成教材 P9 练习 1~6 题 课中学习 1.新课引入: 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的

1 作为 1 度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 360

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是 60 进制的,运用起来不太 方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义 呢? 2.定义:我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用弧度来度量角的单位制 叫做弧度制.在弧度制下, 1 弧度记做 1rad.在实际运算中,常常将 rad 单位省略. 3.思考: (1) 一定大小的圆心角 ? 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆的半径大小有关吗? (2)完成 P6 的探究并归纳弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为

?r
r

? ?;

②整圆所对的圆心角为

2?r ? 2? . r
l r

③正角的弧度数是一个正数. ⑤零角的弧度数是零. 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:

④负角的弧度数是一个负数. ⑥角α 的弧度数的绝对值|α |= .

360 ? ? 2? ; 180 ? ? ? ; 1? ?
②将弧度化为角度:

?
180

? 0.01745 rad ; n? ?

n? rad . 180

180 2? ? 360? ; ? ? 180? ; 1rad ? ( )? ? 57.30? ? 57?18? .

?

5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0

? 4
r

? 3

? 2

3? 4

3? 2

2?

7.弧长公式: ? ? l ? l ? r ? ?

3

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例1. 把 67°30'化成弧度.

例 2. 把 ? rad 化成度.

3 5

例 3.将下列各角化成 2kπ + α (k∈Z,0≤α <2π )的形式,并确定其所在的象限.

(1)

19? ; 3

( 2) ?

31? . 6

课堂小结

课后练习 1.-300°的弧度数是( (A)) (B)-

? 6

? 3

(C)-

5? 6

(D)-

5? 3
(D)第四象限

2.2 弧度的角所在的象限是( ) (A)第一象限 (B)第二象限 3.与 30°角终边相同的角的集合是( ) (A){α |α =k?360°+

(C)第三象限

? ,k∈Z} 6

(B){α |α =2kπ +30°,k∈Z} (D){α |α =2kπ +

(C){α |α =2k?360°+30°,k∈Z}

? ,k∈Z} 6
)
2

4.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 15°的扇形的面积是( (A)

? 2 cm 2

(B)

3? 2 cm 2

(C)π cm

(D) 3? cm

2

5.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为 2 km,一列火车以 30 km/h 的速度通过,10 s 间 转过 弧度. 6.(2012? 潍坊高一检测)已知角α ,β 的终边关于 x+y=0 对称,且α = ? 7.已知α =2 000° (1)把α 写成 2kπ +β (k∈Z,β ∈[0,2π ))的形式; (2) 求θ ,使得θ 与α 的终边相同,且θ ∈(4π ,6π ).

? ,则β = 3

.

8.如图,已知扇形 AOB 的圆心角为 120°,半径长为 6,求弓形 ACB 的面积.

4

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1.2.1 任意角的三角函数(1)
学习目标 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域,值域,诱导公式(一). 课前预习 预习教材 P11~P14,完成教材 P15 练习 1~7 题 课中学习 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的
(1)比值 大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,四个比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上的位置 的改变而改变大小; ③当 ? ? 以 tan ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,所

y 无意义; x
y x y 、 、 分别是一个确定的实数,正弦、余弦、正 r r x

④除③情况外,对于确定的α ,比值

切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上三种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函数 定义域 值域

y ? sin ?
y ? cos ? y ? tan ?
5

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注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合. (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与转了几圈, 按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余几个符号也是这样. 3.例题分析 例 1.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

3? . 2

例 2.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个三角函数值。

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值。

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ; r x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; r y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) . x
①正弦值 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ; (2) sin( ?

?
4

);

(3) tan(?672 ) ;

(4) tan

11? . 3

例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则角 ? 是第三象限角,反之也成立。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
6

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这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值: (1) cos

9? 11? ). , (2) tan( ? 4 6

课堂小结

课后练习 1.cos300°的值为( (A))

1 2

(B)

1 2

(C)-

3 2

(D)

3 2

2.下列说法正确的是( ) (A)正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零 (B)设 A 是第三象限的角,且

A sinA A ? ?sin ,则 是第四象限的角 2 2 2

(C)对任意的角α ,都有|sinα +cosα |=|sinα |+|cosα | (D)若 cosα 与 tanα 同号,则α 是第二象限的角 3.如果 <?<

? 4

? ,那么下列各式中正确的是( 2

)

(A)cosθ <tanθ <sinθ (C)tanθ <sinθ <cosθ 4.若α 为第二象限角,则

(B)sinθ <cosθ <tanθ (D)cosθ <sinθ <tanθ

| sin? | tan? ? 的值是( sin? | tan? |

)

(A)0 (B)2 (C)-2 (D)不存在 5.如果 cosx=|cosx|,那么角 x 的取值范围是 . 6.已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角θ 终边上一点,且 sinθ =?

2 5 ,则 y= 5

.

7.已知角α 的终边上一点 P 与点 A(-3,2)关于 y 轴对称, 角β 的终边上一点 Q 与点 A 关于原点对 称,求 sinα +sinβ 的值.

7

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1.2.1 任意角的三角函数(2)
学习目标 1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小 3.利用三角函数线表示角的范围. 课前预习 预习教材 P15~P17,完成教材 P17 练习 1~4 题 课中学习 1.有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与 P ( x, y ) 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M ; 过点 A(1, 0) 作单位圆的切线, 它与角 ? 的终边或其反长线交与点 T . 由教材 P16 图 1.2-7 四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x y MP AT ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向 线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的 为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 3.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 3 6 3

(4) ?

13? . 6

8

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例 2.比较大小
(1) sin 2 4 ? 与 sin ? 3 5 (2) cos 2 4 ? 与 cos ? 3 5 (3) tan 2 4 ? 与 tan ? 3 5

1 例3.在[0, 2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是( 2
? ?? A. ?0, ? ? 6?
课堂小结

)
? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

?? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?

? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

课后练习 1.sin

5? 的值为( 3
(B)

)

(A)-

1 2

1 2

(C)-

3 2

(D)

3 2
)

2.已知角α 的正弦线和余弦线都是方向相反、长度相等的有向线段,则角α 的终边在( (A)第一象限的角平分线上; (B)第四象限的角平分线上; (C)第二、四象限的角平分线上; (D)第一、三象限的角平分线上 3.如果 0<?< ,那么下列各式中正确的是( (A)cosθ <tanθ <sinθ (C)tanθ <sinθ <cosθ 4.已知 ? ? (

? 4

)

(B)sinθ <cosθ <tanθ (D) sinθ <tanθ <cosθ

? ?

, ) ,在单位圆中角 ? 的正弦线、余弦线、正切线分别是 MP、OM、AT,则它们的 3 2
(D) MP>AT>OM

大小关系是( ) (A)MP>OM>AT (B)AT>MP>OM (C) AT>OM>MP 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

1 (1) sin x ? ? ; 2

1 ( 2) cos x ? . 2

6.利用三角函数线比较下列各组数的大小: (1) sin

4? 2? 与 sin 5 3

(2) tan

4? 2? 与 tan 5 3

9

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1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 课前预习 预习教材 P18~P20,完成教材 P20 练习 1~5 题 课中学习 1. 由三角函数的定义,我们可以得到同角三角函数的基本关系式:

(1)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ?

(2)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2 2 2

说明:① 注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等; ②对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos? ? ? 1 ? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ?
2.例题分析: 例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

sin ? 等。 tan ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5

例 2.已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 (1)

sin ? ? 4 cos ? 5sin ? ? 2 cos ?

(2)sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?.

技巧:1? 分子、分母是正余弦的一次齐次式:注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把 分子、分母同除以 cos? ,将分子、分母转化为 tan? 的代数式; 2? “化 1 法” :可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,再
2 2

利用商数关系化归为 tan? 的分式求值; 例 3.求证:

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x

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总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用 的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边同等于同一个式子; (3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。 课堂小结

课后练习 1. 1 ? cos (A)sin
2

? =( 5

)

? 5

(B)cos

? 5

(C)-sin

? 5

(D)-cos

? 5

2.如果 tanθ =2,那么

sin 2? ? cos 2? 的值是( sin?cos?
7 5
(C)

)

(A)

7 3

(B)

5 2
)

(D)

5 4

3. 已知 sinθ = (A)可取[-

m?3 4 ? 2m ,cosθ = ,则 m 的值( m?5 m?5
(B)0

1 ,9]中的一切值 3

(C)8

(D)0 或 8 )

4.若α ∈[0,2π ),且 1 ? cos2? ? 1 ? sin 2? =sinα -cosα ,则α 的取值范围是( (A)[0,

? ] 2

(B)[

? ,π ] 2

(C)[π ,

3? ] 2

(D)[

3? ,2π ) 2

5.若 sinθ =-

4 ,tanθ >0,则 cosθ = 5
2 2

. .

6.已知 tanα =2,则 4sin α -3sinα cosα -5cos α = 7.已知 sin ? ? cos ? ?

1 (0 ? ? ? ? ) ,求 tan? 及 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 5

8.已知 sin ? ?

4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ?是第四象限角, 求 tan? 的值。 m?5 m?5

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1.3 三角函数的诱导公式(1)
学习目标 1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导形如π -?,π +?,-? 的三角函数 的诱导公式。 2.能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求 值问题。 课前预习 预习教材 P23~P25,完成教材 P27 练习 1~3 题 课中学习 1. 问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为 0°~360°角三角函数求值问题。 【问题 1】求 390°角的正弦、余弦值. 2. 尝试推导 如何利用对称推导出角π ? ? 与角?的三角函数之间的关系。 【问题 2】两个角的终边关于 y 轴对称,你有什么结论? 因为与角? 终边关于 y 轴对称是角 π-?, , 利用这种对称关系, 得到 它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等,横坐标互为相反数。于是, 我们就得到了角 π?? 与角?的三角函数值之间的关系:正弦值相等, 余弦 值互为相反数,进而,就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图:角 间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。 角π ? ? 与角? 的终边关于 y 轴对称,有 sin(π ??) = ,cos(π ??) = ,tan(π ??) = 。 (公式二) 3. 自主探究 如何利用对称推导出π + ?,? ?与?的三角函数值之间的关系。 【问题 3】两个角的终边关于 x 轴对称,你有什么结论? 角?? 与角? 的终边关于 x 轴对称,有: sin(??) = , cos(??) = ,tan(??) = 。 (公式三) 【问题 4】两个角的终边关于原点对称呢? 角π + ? 与角? 终边关于原点 O 对称,有: sin(π + ?) = , cos(π + ?) = , tan(π + ?) = 。 (公式四) 上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。 4.简单应用 例:求下列各三角函数值: 7 (1) sin ? ; 6 (2) cos(?60°); (3)tan(?855?)

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课堂小结

课后练习 1.sin(-

13? )的值是( 6
(B)-

)

(A)

1 2

1 2

(C)-

3 2
)

(D)

3 2

2.已知 sinα =(A)

3? 2 ? , <α < ,则角α 等于( 2 2 2
(B)

4? 5? (D) 3 4 7? 23? 33? 3.已知 a=tan(),b=cos ,c=sin(),则 a,b,c 的大小关系是( 6 4 4
(C) (A)a>b>c (C)b>c>a 4.已知 sin(π +α )= (A) (B)b>a>c (D)c>a>b

? 3

2? 3

)

4 5

3 ,且α 是第四象限角,那么 cos(α -2π )的值是( 5 3 4 4 (B)(C)± (D) 5 5 5
.

)

5.若 cos(-100°)=a,则 tan80°= 6.下列三角函数:①sin(nπ +

4? ? ? );②cos(2nπ + );③sin(2nπ + ); 3 6 3 ? ? ④cos(2nπ + ),其中与 sin 值相同的是 (填序号). 3 3
7.求证:

tan(2? ? ?)sin(?2? ? ?)cos(6? ? ?) =tanα . cos(? ? ?)sin(5? ? ?)

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1.3 三角函数的诱导公式(2)
学习目标 1.经历诱导公式五、六的推导过程,体会数学知识的“发现”过程。 2.掌握诱导公式五、六,能初步应用公式解决一些简单的问题。 课前预习 预习教材 P26~P27,完成教材 P28 练习 4~7 题 课中学习 (一)回顾旧知,引出新课 上节课我们学习了三角函数的诱导公式二到公式四,大家还记得是哪几个公式吗? 回顾三角函数的诱导公式二到公式四,这几个公式分别体现了角 ? 与角 ? ? ? 、 ?? 、? ? ? 之 间的关系, 公式二: 公式三: 公式四:

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

sin( ?? ) ? cos(?? ) ? tan(?? ) ?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
y
1

它们的记忆口诀是: (二)探究新知: 1.诱导公式五: 问题 1:你能画出角 ? 关于直线 y ? x 对称的角的终边吗? 问题 2:由图象我们可以看到,与角 ? 关于直线 y ? x 对称 的角可以表示为

-1

?

1

p1 ( x, y)

y?x

0
-1

x

问题 3:如图单位圆中,假设点 P 1 的坐标为 ( x, y ) ,你能说出 P 2 的坐标吗?

?? ? sin ? ? ? ? ? ? ?2 ? 请用三角函数的定义写出角 ? ? 的三角函数(诱导公式五) : 2 ?? ? cos? ? ? ? ? ?2 ?
2、诱导公式六: 思考: 角

?
2

? ? 与角 ? 又有怎样的关系呢?你仍然是画图研究吗, 还是用已学的公式来探究呢?

请试着写出你的推导诱导公式六过程: 所以得到公式六: sin(

?
2

??) ?

观察可得记忆口诀:把 ? 看成锐角,函数名奇变偶不变,符号看象限。 例 1.已知 sin 75 ?
0

c o s ( ?? ? ) 2

?

6? 2 0 0 ,求 cos15 , cos165 . 4
14

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例 2.已知 sin ?

1 ?? ? ? ? ? ? ? , 计算 : (1) cos?2? ? ? ?; 2 ?2 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ?

(2) tan?? ? 7? ?

例 3.证明: (1)sin ?



? 3? ? (2) co ? s ?? ? ? ? ? 2 ?

? sin

课堂小结

课后练习 1.sin95°+cos175°的值为( ) (A)sin5° (B)cos5° 2.下列与 sinθ 的值相等的是( ) (A)sin(π +θ ) (B)sin( (C)0 (D)2sin5°

? ? -θ ) (C)cos( -θ ) 2 2 ? 1 ? 3.已知 cos( -α )= ,则 sin( +α )=_____________. 6 2 3
0 4.化简: sin ? 1071 .sin 990 ? sin ? 1710 .sin ? 2610 ;

(D)cos(

? +θ ) 2

?

? ? ?

?

? ?

?

? 11? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 5.化简: 9? cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin(?? ? ? )sin( ? ? ) 2
? sin(? ? 5?)cos(? ? ?)cos(8? ? ?) 2 6.化简: . 3? sin(? ? )sin(?? ? 4?) 2

7.已知角α 的终边经过点 P(

4 3 , ? ). 5 5

(1)求 sinα 的值;

? sin( ? ?)tan(? ? ?) 2 (2)求 的值. sin(? ? ?)cos(3? ? ?)

15

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1.4.1 正弦、余弦函数的图象
学习目标 1.利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数的图象; 2.会用五点法作出正弦函数、余弦函数的简图; 3.掌握正余弦函数的特征,能利用其解决三角不等式问题 课前预习 预习教材 P30~P33,完成教材 P34 练习 1~2 题 课中学习 1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) : 为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实 数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同, 从而影响初学者对曲线形状的正确认识.作图步骤详见教材 P31。 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的 图象? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 弦函数 y=cosx 的图象.
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移

? 单位即得余 2

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (
? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2

例 1.作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ],

(2)y=-COSx

思考:如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y =-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象?

16

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思考:如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y =2-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象?

例 2.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

课堂小结

课后练习 1.函数 y=sin (A)R

x (a≠0)的定义域为( a
(B)[-1,1]

) (C)[ ? ,

1 1 ] 3 3

(D)[-3,3]

2.函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 ( ) (A)sinx (B)-sinx 3.下列各组函数中图象相同的是( ①y=cosx 与 y=cos(π +x)

? 个单位后,得到 y=g(x)的图象,则 y=g(x)的解析式为 2
(C)cosx (D)-cosx

) ②y=sin(x-

? ? )与 y=sin(x+ ) 2 2
(D)④

③y=sinx 与 y=sin(-x) ④y=sin(2π +x)与 y=sinx (A)①③ (B)①② (C)③④ 4.下列选项中是函数 y=-cosx,x∈[ (A)(

? ,0) 2

(B)(π ,1)

? 5? , ]的图象上最高点的坐标的是( ) 2 2 ? 5? (C)( ,1) (D)( ,1) 2 2
.

5.已知 sinx=m-1 且 x∈R,则 m 的取值范围是 6.求函数 f(x)=lg(1+2cosx)的定义域.

7.利用“五点法”作出 y=sin(x-

? ? 5? )(x∈[ , ])的图象. 2 2 2

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1.4.2 正弦、余弦函数的性质(1)
学习目标 1. 了解周期函数与最小正周期的意义; 2. 理解三角函数的周期性和奇偶性; 3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性。 课前预习 预习教材 P34~P35,完成教材 P36 练习 1~3 题 课中学习 1.导入新课 观察正(余)弦函数的图象总结规律:

y

– 1
?
2

?5?

?2?

??

?

?
2

O
?1 –

?

2?

5?

x

2.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值 时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 3 6

(2) 正弦函数 y ? sin x ,x ? R 是不是周期函数, 如果是, 周期是多少? ( 2k? ,k ? Z 且 k ? 0 ) (3)若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x) 的周期吗?为什么?
*

(是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ?

? f ( x ? kT ) )

说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正 数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 思考:是不是所有的周期函数都有最小正周期? 例 1.求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x ③ y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),x?R.

18

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例 2.判断函数 f ( x) ? sin( x ?

3 4

3? ) 的奇偶性。 2

例 3.若 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? sin x ,求当 x ? 0 时, f ( x ) 的解析式。

课堂小结

课后练习 1.下列函数是以π 为周期的函数是( (A) y ? sin x 2.函数 y=cos( (B) y ? sin 2x ) (C) y ? 1 ? sin ) (D)既是奇函数又是偶函数

1 x 2

(D) y ? cos3x

2 009 π -2 011x)是( 2

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 3.若函数 y=sin(φ-x)是奇函数,则φ的值可能是( )

(A)30° (B)60° (C)90° (D)180° 4.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数 y=f(x)的图象是(

)

5.y=5cos(

? 1 x ? )的最小正周期是 3 4

.

6.函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

4

)(? ? 0) 的周期为

? ,则 ? = 4

.

7.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ?2cos3x ; (2) f ( x) ? x sin( x ? ? )

19

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1.4.2 正弦、余弦函数的性质(2)
学习目标 1.借助函数图象理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大(小)值、对称轴、零点等) ; 2.能利用性质解决一些简单问题。 课前预习 预习教材 P37~P40,完成教材 P40 练习 1~6 题 课中学习 1.复习引入 偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢? 2.讲解新课 (1)奇偶性 请观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

(2)单调性 从 y=sinx,x∈R 的图象上可看出:

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
当 x∈[- 结合上述周期性可知:

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增 2 2 ? 3? 大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2 2
正弦函数在每一个闭区间[- 从 y=cosx,x∈R 的图象上可看出: 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. (3)有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ?

?
2

k∈Z

y=cosx 的对称轴为 x= k?

k∈Z

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例 1. y ? sin( x ?

?
4

) 的一条对称轴是(



(A) x 轴, (B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4



(D) 直线 x ? ?

?
4

例 2 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

?
18

) ? sin( ?

?
10

)

② cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

例 3. 求函数 y ? 2 sin(

1 ? x ? ) 的单调递增区间; 2 3

课堂小结

课后练习 1.下列区间中,是函数 y=sinx 的单调递增区间的是( (A)[0,π ] (B)[π ,2π ] (C)[ )

? 3? , ] 2 2

(D)[ ?

? ? , ] 2 2
)

2.函数 y=2sin( (A)2- 3 3.y= (A)2

?x ? ? )(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 6 3
(B)0 ) (C)1 (D)-1 (C)-1

(D)-1- 3

2sinx 的最小值是( sinx ? 2
(B)-2

4.函数 y=sinx 的定义域为[a,b] ,值域为[-1, (A)

1 ] ,则 b-a 的最大值和最小值之和等于( 2
(D)4π . .

)

4? 3

(B)

8? 3

(C)2π

5.函数 y=cosx 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的取值范围是 6.将 cos150°,sin470°,cos760°按从小到大排列为 7.求函数 y=1-sin2x 的单调区间.

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1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 1.会用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.理解并掌握作正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域; 课前预习 预习教材 P42~P45,完成教材 P45 练习 1~6 题 课中学习 1.复习引入 问题:1.正弦曲线是怎样画的? 2.画出各角的正切线: 2.新课学习 (1)正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? (2)正切函数是不是周期函数? ? 是不是正切函数的最小正周期? 下面作出正切函数图象来判断。 (3)作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?
x?R,

说明:①正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; ②根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x 且x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。

③正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? (4)正切函数的性质: 定义域: ;

?
2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成的。
; 最小正周期: T ? ;

值域:

奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是

函数; 。

? ? ? 单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调 2 ? 2 ?
例 1.比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

例 2.求下列函数的周期: (1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??
? 5?

(2) y ? tan ? 3x ?

? ?

??
? 6?

22

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例 3:求函数 y ? tan? 3x ?

? ?

??

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, 3?

课堂小结

课后练习 1.函数 y=tan (A)aπ

x 的最小正周期是( a
(B)|a|π

)

(C)

? a

(D)

? a

2.下列说法正确的是( ) (A)正切函数在整个定义域内是增函数;

(B)正切函数在整个定义域内是减函数;

(C)函数 y=3tan x 2 的图象关于 y 轴对称; (D)若 x 是第一象限角,则 y=tanx 是增函数 3.与函数 y=3tan(2x+ (A)x=

? 2

? )的图象不相交的一条直线是 4 ? ? (B)x=(C)x= 2 4
) (C)(0,

(

) (D)x=

? 8

4.函数 y= (A)(0,3] 5.y=tan

3x ? x 2 的定义域( tanx
(B)(0,π )

? ? )∪( ,3] 2 2

(D)[0,

? ? )∪( ,3) 2 2

x 满足下列哪些条件 (填序号). 2 ? ①在(0, )上单调递增;②为奇函数;③以π 为最小正周期; 2 ? k? ④定义域为{x|x≠ ? ,k∈Z}. 4 2 x ? 6.函数 y=tan( ? )的递增区间是 . 2 3
7. 求函数 y ? tan?

?? ?? x ? ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 3? ?2

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1.5 函数 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)的图象(1)
学习目标 1.理解 ?、ω、A 对 y =A sin(ωx+?)的图像的影响。 2.掌握 y=sinx 的图像与 y =A sin(ωx+?)的图像之间的变换关系。 课前预习 预习教材 P49~P52,完成教材 P55 练习 1~2 题 课中学习 探究一:参数 ? 对 y = sin(x+?)的图像的影响 (1)用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sinx、y = sin(x+

? ? )和 y = sin(x- )的函数 3 3

图像,并比较这三个函数图像的关系 (2)怎样由函数 y = sinx 图象得到 y = sin(x+?)的函数图象? 结论:函数 y = sin(x +?)的图象可由函数 y = sinx 的图象向左(?>0)或向右(?<0)平移|?|个单 位而得到,这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或减少) |?|个单位,这种变换称为平移 变换。 探究二:参数 ω 对 y = sinωx 的图像的影响 (1) 用五点作图法在同一个坐标系里作出函数 y = sin(x+

? 1 ? ? )、 y = sin( x+ )和 y = sin(2x+ ) 3 2 3 3

的简图,并讨论这三个函数图象的关系 (2)如何由 y = sin(x+?)图象得到函数 y = sin(ωx+?)的图象呢? 结论:当 ω>1 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 = sinωx 的图象 当(0<ω<1) 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 sinωx 的图象 探究三:参数 A 对 y = Asin x 的图像的影响 (1)用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sin(2x+ 2sin(2x+

1 倍(纵坐标不变)便得到 y ?

1 倍(纵坐标不变)便得到 y = ?

? )的简图,并讨论着三个函数图像的关系 3

? 1 ? )、y = sin(2x+ )和 y = 3 2 3

(2)如何由 y = sin(ωx+?)图象得到函数 y = Asin(ωx +?)的图象呢? 结论:当 A>1 时,将 y = sinx 图像上点的纵坐标伸长到原来的 A 倍, (横坐标不变)便得到了 y = Asinx 的图像 当 0<A<1 时, 将 y = sinx 图像上点的纵坐标缩短到原来的 A 倍, (横坐标不变) 便得到了 y = Asinx 的图像 探究四:函数 y = sin x 与 y = Asin(ωx+?)的关系 (1)怎么由 y ? sin x 得到 y ? 2 sin( 2 x ?

?

(2)怎么由 y ? sin x 得到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象?

3

) 的图象?

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课堂小结

课后练习 1.要得到 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( ) (A)向左平移 1 个单位 (B)向右平移 1 个单位 (C)向左平移

1 个单位 2

(D)向右平移

1 个单位 2

? )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象( ) 3 ? ? (A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 6 6 5? 5? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 6 6
2.为得到函数 y=cos(x3.把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半, 纵坐标不变, 再把图象向左平移 单位长度,这时对应的图象的解析式为( (A)y=cos2x (C)y=sin(2x) (B)y=-sin2x (D)y=sin(2x+

? 个 4

? ) 4

? ) 4

? )的图象( ) 3 ? ? (A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 3 3 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 6 6 ? 5. 将 函 数 y=sin(-2x) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位长 度, 所得 函数 的解 析式 3
4.要得到函数 y=cos2x 的图象,可由函数 y=cos(2x为 6.要得到 y=cos(2x.

? )的图象,且使平移的距离最短,则需将 y=sin2x 的图象向 4 ? 4

平移

个单位长度即可. 7.指出 y= 2cos(x ? ) 的图象是怎样由 y=sinx 的图象得到的?

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1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(2)
学习目标 1.掌握由 y=sinx 图像到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像的多种变化形式 2.理解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中 A 、 ? 、 ? 的物理意义 课前预习 预习教材 P53~P55,完成教材 P55 练习 3~4 题 课中学习 1.如何由 y=sinx 的图象得到函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象? 2. 函数y ? A sin(?x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义 : 函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅” 。 T: T ? f :f ?

2?

?

往复振动一次所需的时 间,称为“周期”.

?x ? ? : 称为“相位” ? : x=0 时的相位,称为“初相”

1 ? ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . T 2?

y 2
5? 6

例 1.右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像的 一部分,求这个函数的解析式

o ?
12

x

?2
例 2.下图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像的一段,求其解析式

y 3
N M

o

?
课堂小结

?
3

3

5? x 6

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课后练习

1 ? x ? )(x∈[0,+∞))的周期、振幅、初相分别是( ) 2 4 ? ? ? ? ? (A) ,2, (B)4π,2, (C)4π,2,(D)2π,2,4 4 4 4 4 ? 3? 2.将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象经过点( ,0),则 ω 4 4
1.函数 f(x)=2sin( 的最小值是( (A) ) (B)1 (C)

1 3

5 3

(D)2 )

3.已知如图是函数 y=2sin(ωx+φ)(|φ|<

10 ? ,φ= 11 6 ? (C)ω=2,φ=6
(A)ω=

? )的部分图象,那么( 2 10 ? (B)ω= ,φ=11 6 ? (D)ω=2,φ= 6

4.下列四个函数中,同时具有①最小正周期为 π;②图象关于直线 x=

? 对称的是( 3

)

x ? ? ) 2 6 ? (C)y=sin(2x- ) 3
(A)y=sin(

(B)y=sin(2x+ (D)y=sin(2x-

? ) 6

? ) 6

5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图 所示,则 ω= . 6. 函数 y=6sin( 是 .

1 ? x ? ) 的初相是 4 6

,图象最高点的坐标

7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< (1)求 f(x)的解析式; (2)写出 f(x)的递增区间.

? )的部分图象如图所示. 2

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1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型; 2.能根据图象求出函数的解析式;能根据解析式作出函数图象; 3.培养数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断。 课前预习 预习教材 P60~P61,完成教材 P65 练习 1~3 题 课中学习 (一)知识链接:解决实际问题的基本思路: 收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→用函数模型解释实际问题 (二)自主探究: 1.三角函数可以作为描述现实世界中 现象的一种数学模型。

2.给出函数 y=Asin(?x+?)的部分图象,如何求 A、?、?? (三)典例学习 例 1.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(?x+?)+b (1) 求这一天 6~14 时的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式。

T /oC
30 20 10

例 2.画出函数 y ? cos x 的图象并观察其周期。

O

6

8 10 12 14

t /h

例 3.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一 天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系。 t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象。根据上述 数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t

6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(
28

?t

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课堂小结

课后练习 1.右图是函数 y=Asin(ωx+φ)+2 的图象的一部分, 它的振幅、周期、初相各是( )

4? ? ,φ=- 3 6 2? 3? C.A=1,T= ,φ=- 3 4
A.A=3,T=

B.A=1,T=

4? 3? ,φ=- 3 4 4? ? D.A=1,T= ,φ=- 3 6

2.已知 y ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形, 该图形的面积是 ( ) A. 4? 3.函数 y ? sin B. 2? C.8 D.4

x 的周期为_______ 2

4.单摆从原点来回摆动,离开平衡位置的距离 s 和 t 的关系, s ? 6 sin( 2?t ? 次所需时间为_______________

?
6

) ,则来回摆动一

? 5.若函数 f ( x) ? 5 cos(? x ? ? ) 对于任意实数 x 都有 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) ,则 f ( ) ? 3 3 3
6.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像上一个最高点为(2, 2 ) ,从这个最高点到相邻最低点 之间的曲线与 x 轴交于点(6,0) ,求这个函数的解析式。

7.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离 s(cm)随时间 t(s)的变化 曲线是一个三角函数的图象。 (1)求这条曲线对应的函数解析式; s/c (2)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?

2

m O
?2
p 12

7p 12

t/s

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第一章
学习目标

三角函数复习小结

1. 对本章知识系统化、网络化; 2. 通过本章学习,感受三角函数与实际生活的紧密联系,感受数学的价值。 课前预习(知识点梳理) 1.角的概念 0 0 (1)与?(0 ??<360 )终边相同的角的集合: 终边在 x 轴上的角的集合: (2)象限角:第一象限角: (3)1弧度的角 ;弧度制下,扇形的弧长公式: 2.三角函数的定义

扇形面积公式:

2 2 (1)定义:在?的终边上任取一点 P(x,y)(与原点不重合),记 r=|OP|= x ? y ,则

sin?= ,cos?= ,tan?= . (2)各象限角的各种三角函数值的符号:正弦: ,余弦: 3.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: (2)商数关系: 4.诱导公式:

,正切:

k? ? ? 函数名
y ? sin x

,符号



?
2

? ? 函数名

,符号



5.三角函数的图象与性质 解析式

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

[ ?1,1]
① ymax ? 1 ,x= ② ymin ? ?1 ,x=

[ ?1,1]
① ymax ? 1 , x ? 2k? ② ymin ? ?1 , x ? 2k? ? ?

R

最值



周期 奇偶 单调 区间 增: 减: 增: 减: 增:

6.图象变换:

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(1) y ? sin x

y ? sin(x ? ? ) y ? A sin(?x ? ? ) y ? sin(?x) y ? sin(?x ? ? )
,周期是 ,频率是 ,

y ? sin(?x ? ? ) y ? sin x

(2)函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) ,则振幅是 初相是 。 课中学习

例 1 已知角 α 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零),求 2sinα+cosα 的值.

例 2 已知 sinα+3cosα=0,求: (1)

3 cos a ? sin a ; 3 cos a ? sin a

(2)2sin2α-3sinαcosα+2 的值.

变式:已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα=

1 ,求 tanα 的值. 5

例 3 已知函数 f ( x) ? 2 ? 3sin(

?
4

? 2 x), x ? R.

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2)求函数 f ( x) 取最大值时相应的 x 的集合; (3) 若 x ? (0,

?
2

) ,求函数值域;

(4)求函数 f ( x) 图像的对称中心,对称轴; (5)该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以由 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象得到。

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课堂小结

课后练习 1. sin(? ? ? ) ? cos(? ?

?

A.0 2.函数 y=cos(sinx)的值域是( ) A.[cos(-1),cos1] B.[-1,1] 3.sinα+cosα= A. ?

2 B. ? 1

) 化简的结果是(

) D. ?2sin ? D.[1,cos1]

C. 2 sin ? C.[cos1,1] ) C. ?

3 4

1 ,则 tanα 的值为( 5 4 B. 3

4.已知函数 y ? tan ? x 在 ( ? A. 0 ? ? ? 1

, ) 内是减函数,则( 2 2 B . ?1 ? ? ? 0 C. ? ? 0

? ?

4 3 或? 4 3


D. ?

4 3

D. ? ? ? 1 )

? )(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象( 3 ? ? A.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 3 4 ? ? C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 4 3
5. 已知函数 f(x)=sin(ωx+ 为(

6.如下图,⊙O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在⊙O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标

4 3 , ? ),∠AOC=α(α 为锐角). 5 5

(1)求⊙O 的半径,并用角 α 的三角函数表示 C 点的坐标; (2)若|BC|= 2 ,求 tanα 的值.

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