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2014高三文科辅导第3讲《直线》


2014 高三文科辅导第 3 讲《直线》
一、直线斜率与倾斜角 倾斜角 当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角.直线 ? 的取值范围是: 0? ? ? ? 180? y ? y2 直线的斜 经过两点 P y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式是: k ? 1

1 ( x1 , 率 x1 ? x2 倾斜角不是 90 ? 的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,即 k ? tan ? 斜率与 倾斜角 的关系 应用 证明 A、B、C 三点共线: k AB ? kBC

1、已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率 k ? _____ (1) ? ? 45? (2) ? ? 30?

k ? _____ (3) ? ? 120 ? (4) ? ? 135 ? 2、求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角
(1) C (18,8), D(4,?4) (3) A(1,2), B(1,8)

k ? _____ k ? _____ k ? _____ k ? _____

k ? _____ k ? _____

(2) P(0,0), Q(?1, 3) (4) A(2,1), B(8,1)

3、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小是_________ 4、已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则 a 的值为 5、直线 x=3 的倾斜角是( ) A、0 B、

? 2

C、?

D、不存在 ).

6、如果 AB>0,BC>0,那么直线 Ax―By―C=0 不经过的象限是( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 7、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( ) A、 90 ,不存在 B、 1350 , ?1 C、 450 ,1 D、 1800 ,不存在 8、如图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 则( ) A. k1 ? k2 ? k3 B. k3 ? k1 ? k2 C. k1 ? k3 ? k2 D. k3 ? k2 ? k1
0

9、若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A、

1 2



1 2

B、 ?

1 2

C、 ?2

D、 2

10、已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值

3 3 3 B、 ? k ? 2 C、 k ? 2或k ? D、 k ? 2 4 4 4 11、已知直线 l 过定点 P(?1, 2) ,且与以 A(?2, ?3) , B(?4,5) 为端点的线段(包含端点)有交
范围是( ) A、 k ? 点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. ? ?1,5? B. ? ?1,5? C. ? ??, ?1? )

?5, ???

D. ? ??, ?1?

(5, ??)

12、 若经过点 P(1-a, 1+a)和 Q(3, 2a)的直线的倾斜角为锐角, 则实数 a 的取值范围是________
1

13、已知矩形 ABCD 中 A(-4,4),D(5,7),其对角线的交点 E 在第一象限内,且与 y 轴距离 为 1 个单位,动点 P(x,y)沿 BC 边运动,求

y 的取值范围。 x

二、直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程的形式 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

已知条件

局限性
不包括垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线 不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原 点的直线 无限制, 可表示任何位置的直线

( x0 , y0 ) 为直线上定点,k 为斜率
k 为斜率,b 是直线在 y 轴上的截距

( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 是直线上两定点
a 是直线在 x 轴上的非零截距,b 是直线 在 y 轴上的非零截距

x y ? ?1 a b

Ax ? By ? C ? 0 A,B,C 为系数( A 、 B 不全为零) 一般式 设直线方程的一些常用技巧 截距 知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b

知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线) 过定点 平行 垂直 斜率 k 存在,设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,斜率 k 不存在,则其方程为 x ? x0 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0

1、 根据下列条件写出直线的方程,并把它化成一般式: (1)经过点 A(8,-2),斜率为 ?

1 的直线方程:___________ 2

(2)经过点 B(4,2) ,平行于 x 轴的直线方程:___________ (3)经过点 A(4,2),平行于 y 轴的直线方程:___________________ (4)斜率为-4,在 y 轴上的截距为 7______________________ (5)在 y 轴上的截距是 2,且与 x 轴平行________________________ (6)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 (7)过点 (1, 2) 且垂直于直线 x ? y ? 1 ? 0 的直线 l 的方程为 (8)经过点 B(? 2 ,2), 倾斜角是 30 ? 的直线方程:___________________ (9)经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程为
2

三、两条直线的位置关系 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交 平行 重合 垂直
A1 B2 ? A2 B1 ? 0 A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? C1 B2 ? 0 A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 (? ? 0)
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2

相交 平行 重合 垂直

k1 ? k2 k1 ? k2 且 b1 ? b2 k1 ? k2 , b1 ? b2

1、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A、 2 x ? y ? 1 ? 0 B、 2 x ? y ? 5 ? 0 C、 x ? 2 y ? 5 ? 0

) D、 x ? 2 y ? 7 ? 0 )

2、已知点 A ?1, 2 ? , B ? 3,1? ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是(

A、 4 x ? 2 y ? 5 B、 4 x ? 2 y ? 5 C、 x ? 2 y ? 5 D、 x ? 2 y ? 5 3、直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A、重合 B、平行 C、垂直 D、相交但不垂直 4、若直线 mx ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 m 的值为( )

1 C、 2 D、 ?2 2 5、已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( ) A、 0 B、 ? 8 C、 2 D、 10 6、 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行, 则 k 得值是 (
A、 B、 ? A、1 或 3 B、1 或 5 C、 3 或 5 D、1 或 2 7、直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A、 (0, 0) B、 (0,1) C、 (3,1) D、 (2,1) ) )

1 2



8、直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是( A、 (-2,1) B、 (2,1) C、 (1,-2)

D、 (1,2) )

9、以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( A、3x-y-8=0
2

B、3x+y+4=0

C、3x-y+6=0

D、3x+y+2=0 )

10、直线 x ? a y ? 6 ? 0 和直线 (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 没有公共点,则 a 的值是( A、1 B、0 C、-1 D、0 或-1 11、两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,则 k 的值是 12、已知直线 l 与直线 3x+4 y -7=0 平行,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24, 则直线 l 的方程为___________

13、已知点 P ? 2, ?3? , Q ?3,2? ,直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ 相交,则实数 a 的取值范围是_______ 14、求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平行,(2)垂直的直线方程。

3

15、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

16、已知直线 l 经过 A(4,0)、B(0,3) ,求直线 l1 的方程,使得: (Ⅰ) l1 ∥ l ,且经过点 C (?1,3) ; (Ⅱ) l1 ? l ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6.

四、距离公式 两点距离 B( x2 ) ,则 d ( A , 已知数轴上两点 A( x1 ) , B) ? x1 ? x2
y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 d ( A, 已知 A( x1 , B) ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

中点公式 点到直线 平行线间

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 2 2 Ax0 ? By0 ? C y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d : d ? 点 P( x0 , A2 ? B 2
y2 ) ,则中点坐标为: x ? 已知 A( x1 , x2 ) , B( x2 ,

两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 的距离为 d ? ).

C1 ? C2 A2 ? B 2

1、已知两点 A(2,m)与点 B(m,1)之间的距离等于 13 ,则实数 m=( A、-1 B、4 C、-1 或 4 D、-4 或 1 2、原点到直线 x ? 2 y ? 5

? 0 的距离为(



A、1 )

B、 3

C、2

D、 5 C、 1 D、 7 )
2

3、点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为(

A、2

4、已知直线 3 和6 互相平行,则它们之间的距离是( x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0 A、4 B、

B、 1 2

2 13 5 13 7 13 C、 D、 13 26 26 5、若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,
则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为( ) ) A、 3 2 B、 2 3 C、 3 3 D、 4 2 6、点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A、 (4,0) B、 (13,0) C、(5,0) D、 (1,0) 7、过点 P(1,2),且与原点距离最大的直线方程是( ). A、x+2y-5=0 B、2x+y-4=0 C、x+3y-7=0 D、3x+y-5=0

4

8、两平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0与2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的距离是 9、点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值是_____________ 10、已知 F 1 (?3,0), F 2 (3,0), F 3 (1, 4) ,点 P 是直线 x ? y ? 1 ? 0 上的动点,则 (1) PF 1 ? PF 2 的最小值为________, PF 3 ? PF 2 的最大值为__________ (2) PF2 ? PF3 的最小值为_________, PF 1 ? PF 2 的最大值为__________ 11、 (1)平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程为__________; 3 (2)求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 10 的直线的方程为__________. 5 12、已知点 A(1,4) ,B(6,2) ,试问在直线 x-3y+3=0 上是否存在点 C,使得 三角形 ABC 的面积 等于 14?若存在,求出 C 点坐标;若不存在,说明理由。

五、对称问题

常 见 的 对 称 问 题

1、点(1,-1)关于直线 2x+3y-6=0 的对称点是________ 2、点 P(1,2)关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是( ). A、(2,1),(-1,-2) B、(-1,2),(1,-2) C、(1,-2),(-1,2) D、(-1,-2),(2,1)
5

3、已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( ) A、x-y+1=0 B、x-y=0 C、x+y+1=0 D、x+y=0 4、点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则( ) A、a<-7 或 a>24 B、-7<a<24 C、a=-7 或 a=24 D、以上都不对

1 x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 2 6、已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________; 若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________;
5、直线 y= 若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________; 7、点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ?

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

8、已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点 Q 的坐标; (2)直线 l1 :x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程

(1)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程;(2)当 a ? b 取最小值时,求直线 l 的方程

9、直线 l 过点 M(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A(a,0)、B(0,b). 点 O 是坐标原点。

6


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