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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第8章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系


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第九节
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直线与圆锥曲线的位置关系

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1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关
于x(或y)的一元方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有

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相交 ①Δ>0?直线与圆锥曲线_____;
相切 ②Δ=0?直线与圆锥曲线_____; 相离 ③Δ<0?直线与圆锥曲线_____.
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(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l
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与圆锥曲线E相交,且只有一个交点,

①若E为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系
平行 是______; ②若E为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系 平行或重合 是_____________.

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2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两 1+k2|x2-x1| 点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=_________________= 1 1+ 2|y2-y1|. k
菜 单

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1.直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相 切的什么条件? 【提示】 必要不充分条件.直线与圆锥曲线相切时,

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二者只有一个公共点,但反过来不成立.如在抛物线y2 = 2px(p>0)中,过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线,则 该直线与抛物线有且只有一个交点,但此时直线与抛物线相

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交,而非相切.
2.过抛物线y2 =2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 多少? 【提示】
菜 单

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当弦垂直于x轴时,弦长最短为2p.

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x2 1.(人教A版教材习题改编)直线y=kx-k+1与椭圆 9 y2 + =1的位置关系为( 4 A.相交 C.相离
【解析】 1), 又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 【答案】
菜 单

) B.相切 D.不确定

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直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,
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A

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2.(2013·惠州模拟)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物

线x2 =4y的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,则弦AB的
长为________.

【解析】

直线l的方程为y= 3x+1,

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?y= 3x+1 ? 由? 2 得y2-14y+1=0. ?x =4y ?
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设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=14, ∴|AB|=y1+y2+p=14+2=16.
【答案】 16

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3.(2012·辽宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,

点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切
线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.

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1 2 【解析】 因为y= x ,所以y′=x,易知P(4,8), 2 Q(-2,2),所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或-2. 所以这两条切线的方程为l1:4x-y-8=0,l2:2x+y +2=0, 将这两个方程联立方程组求得y=-4.
【答案】 -4

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x2 y2 4.(2013· 揭阳模拟)过椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左顶 a b 点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交 点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.

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【解析】 x+a,

由题意A点的坐标(-a,0),l的方程为y=

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a a ∴B点的坐标为(0,a),故M点的坐标为(- , ), 2 2 代入椭圆方程得a2=3b2, 6 2 2 ∴c =2b ,∴e= . 3

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【答案】
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6 3

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(2012· 广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 x2 y2 C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1) a b 在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求 直线l的方程.

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【思路点拨】

(1)由c=1,点P(0,1)在椭圆C1 上,求

关于a,b的方程;(2)利用待定系数法设l的方程,联立曲线
方程,根据判别式Δ=0求待定参数.

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【尝试解答】 (1)椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),∴c =1, 又点P(0,1)在曲线C1上, 0 1 ∴ 2+ 2=1,得b=1,则a2=b2+c2=2, a b x2 2 所以椭圆C1的方程为 +y =1. 2

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(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设 直线l的方程为y=kx+m, 2 ?x ? +y2=1, 由 ?2 消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2= ?y=kx+m, ? 0. 因为直线l与椭圆C1相切, 所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.①
?y2=4x, ? 由? 消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0. ?y=kx+m, ?

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因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.② ? ? 2 2 ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ?m= 2, ?m=- 2. ? ? 2 2 所以直线l的方程为y= x+ 2或y=- x- 2. 2 2

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1.(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研 究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数问题,

体现了方程思想的应用.(2)对于客观性试题,要充分运用几
何条件,重视数形结合的方法求解. 2.(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论

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二次项系数是否为零的情况.(2)判断直线与圆锥曲线位置关 系时,判别式Δ起着关键性的作用:①可以限定所给参数的

范围;②可以取舍某些解以免产生增根.

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已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直 5 线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 ?若 5 存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解】 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x= -1.

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(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
?y=-2x+t, ? 由? 2 得y2+2y-2t=0. ?y =4x, ?

因为直线l与抛物线C有公共点,
1 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥- .① 2 5 |t| 1 由直线OA与l的距离d= ,可得 = ,解得t= 5 5 5 ± 1.② 由①②知t=1 所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

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设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C的方程; (2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN 1 恰被直线x=- 平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y= 2 kx+m,试求m的取值范围.
【思路点拨】 (1)设出顶点坐标,利用|AF|=2可求得

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轨迹方程.(2)可将直线方程与曲线方程联立,利用根与系数 的关系求解,或利用点差法求解.

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【尝试解答】 (1)设抛物线顶点为P(x,y),由抛物线 的性质可得其焦点F(2x-1,y),再根据抛物线的定义得 |AF|=2, 即(2x)2+y2=4, y2 所以轨迹C的方程为x2+ =1. 4 1 (2)设弦MN的中点为P(- ,y0),M(xM,yM),N(xN, 2
?4x2 +y2 =4, ? M M ? 2 yN),则由点M,N为椭圆上的点,可知: ?4xN+y2 =4. ? N

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两式相减,得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)= 0,

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1 将xM+xN=2×(- )=-1,yM+yN=2y0, 2 yM-yN 1 y0 =- 代入上式得k=- . k 2 xM-xN 1 又点P(- ,y0)在弦MN的垂直平分线上, 2 1 所以y0=- k+m. 2

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1 3 所以m=y0+ k= y0. 2 4 1 由点P(- ,y0)在线段BB′上(B′、B为 2 1 直线x=- 与椭圆的交点,如图所示), 2 所以yB′<y0<yB,也即- 3<y0< 3. 3 3 3 3 所以- <m< ,且m≠0. 4 4

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1.在第(2)问中,根据线段MN的中点纵坐标范围,去 求m的取值范围,这是求解的关键. 2.涉及弦的中点与直线的斜率问题,可考虑“点差 y1-y2 法”,构造出kAB= 和x1+x2,y1+y2,整体代换,求 x1-x2 出中点或斜率,体现“设而不求”的思想.

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椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点, 2 C是AB的中点,若AB=2 2 ,OC的斜率为 ,求椭圆的 2 方程.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得 2 2 ax2+by2=1,且ax2+by2=1, 1 1 两式相减,得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1-y2)(y1+y2)= 0, y1-y2 y1+y2 2 又 =-1, =kOC= , 2 x1-x2 x1+x2 代入上式可得b= 2a.
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再由|AB|= 1+k2|x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 得(x1+x2)2-4x1x2=4,
其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根, b-1 2b 2 故( ) -4· =4, a+b a+b 1 2 将b= 2a代入得a= ,∴b= . 3 3 x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 + =1. 3 3

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x2 y2 (2013· 肇庆模拟)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点 a b 为F2(3,0),离心率为e. 3 (1)若e= ,求椭圆的方程; 2 → → (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若AF2 ·BF2 2 3 =0,且 <e≤ ,求k的取值范围. 2 2

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【思路点拨】

(1)根据椭圆的几何性质,求参数a,b得

椭圆方程.(2)联立直线与椭圆方程,借助向量的坐标运算沟
通参数k与a的等量关系,再利用椭圆的离心率求a的范围, 进而求出k的范围.

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?c=3, ? 【尝试解答】 (1)由题意得? c 3 ∴a=2 3. ?a= 2 , ? 2 2 2 2 又由a =b +c ,解得b =3. x2 y2 所以,椭圆的方程为 + =1. 12 3 ?y=kx, ? 2 2 (2)由?x y 得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. ?a2+b2=1, ?
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设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知, a2b2 x1+x2=0,且x1x2=- 2 . b +a2k2 → → 又AF2=(3-x1,-y1),BF2=(3-x2,-y2). → → 所以AF2·BF2=(3-x1)(3-x2)+y1y2 =(1+k2)x1x2+9=0.

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-a2(a2-9)(1+k2) 即 +9=0. a2k2+(a2-9) a4-18a2+81 81 2 整理得k = 4 2 =-1- 4 2. -a +18a a -18a

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2 3 由 <e≤ 及c=3, 2 2 知2 3≤a<3 2,12≤a2<18. 所以a4-18a2=(a2-9)2-81∈[-72,0), 1 2 2 2 所以k ≥ ,则k≥ 或k≤- , 8 4 4 2 2 因此实数k的取值范围为(-∞,- ]∪[ ,+∞). 4 4

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→ → 1.解答本题(2)的关键是通过“AF2·BF2=0”建立参 数k与a的等量关系,并最终通过函数的思想求得参数k的 范围. 2.求解特定字母取值范围(最值)的方法: ①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征 及意义,则考虑利用图形性质来解决.②代数法,若题目 的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起 目标函数,再求这个函数的最值(值域).

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x2 y2 (2012· 天津高考)设椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右顶点 a b 分别为A、B,点P在椭圆上且异于A、B两点,O为坐标原 点. 1 (1)若直线AP与BP的斜率之积为- ,求椭圆的离心 2 率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|> 3.

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【解】 y2 0 =1.① b2

x2 0 (1)设点P的坐标为(x0,y0).由题意,有 2 + a

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y0 y0 由A(-a,0),B(a,0),得kAP= ,k = . x0+a BP x0-a 1 2 由kAP·kBP=- ,可得x2=a2-2y0, 0 2 代入①并整理得(a2-2b2)y2=0. 0 由于y0≠0,故a2=2b2. a2-b2 1 2 2 于是e = 2 = ,所以椭圆的离心率e= . a 2 2

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依题意,直线OP的方程为y=kx,设 ?y0=kx0, ? 2 2 点P的坐标为(x0,y0).由条件得?x0 y0 ?a2+b2=1. ? a2b2 消去y0并整理得x2= 2 2 2.② 0 k a +b 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x 2 0 =a2. (2)证明 整理得(1+k
2

法一

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-2a 2 )x0+2ax0=0.而x0≠0,于是x0= 2, 1+k
2 2 2

a2 代入②,整理得(1+k ) =4k (b) +4. 由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,
因此k2>3,所以|k|> 3.
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法二 依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐 x2 k2x2 0 0 标为(x0,kx0).由点P在椭圆上,有 2 + =1.因为 a b2 2 x0 k2x2 0 a>b>0,kx0≠0,所以 2+ 2 <1,即(1+k2)x2<a2.③ 0 a a 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x 2 =a2,整 0 -2a 理得(1+k )x +2ax0=0,于是x0= 2 .代入③,得(1+ 1+k
2 2 0

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4a2 2 2 k2) 2 2<a ,解得k >3,所以|k|> 3. (1+k )

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x2 y2 过点C(0,1)的椭圆 2 + 2 a b 3 =1(a>b>0)的离心率为 .椭 2 圆与x轴交于两点A(a,0)、 B(-a,0).过点C的直线l与椭 圆交于另一点D,并与x轴交于 点P.直线AC与直线BD交于点Q.

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(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长; → → (2)当点P异于点B时,求证:OP·OQ为定值.

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【思路点拨】 (1)由椭圆几何性质,求椭圆的标准方 程,焦点坐标,直线l的方程,进而求线段CD的长.(2)关 → → 键是求出点P、Q的坐标关系,从而证明 OP · OQ 与参数取 值无关.
c 3 【尝试解答】 (1)由已知得b=1,a= ,∴a=2, 2 x2 2 所以椭圆方程为 +y =1. 4 3 椭圆的右焦点为( 3,0),此时直线l的方程为y=- 3 x+1.

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代入椭圆方程,得7x2-8 3x=0, 8 3 ∴x1=0,x2= , 7 1 因此y1=1,y2=- , 7 8 3 1 ∴D点坐标为( ,- ), 7 7 8 3 1 16 2 2 故|CD|= ( -0) +(- -1) = . 7 7 7

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(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符. 1 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠ ). 2 代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0. -8k 解得x1=0,x2= 2 ,代入直线l的方程得y1=1,y2 4k +1 1-4k2 = 2 , 4k +1 -8k 1-4k 所以D点坐标为( 2 , ). 4k +1 4k2+1
2

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x 又直线AC的方程为 +y=1,直线BD的方程为y= 2 1+2k (x+2), 2-4k
?x=-4k, ? 联立解得? ?y=2k+1. ?

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因此Q点坐标为(-4k,2k+1). 1 又P点坐标为(- ,0 ). k → ·OQ=(-1,0)· 所以OP → (-4k,2k+1)=4. k → → 故OP·OQ为定值.
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1.(1)本题的关键是分别用参数k表示点P、Q的坐 → → 标,进而计算 OP · OQ ,并在计算推理的过程中消去参 数,从而得到定值.(2)本题也可从特殊入手,求出定值, 再证明该值与变量无关. 2.对于直线过定点问题,常借助直线系的思想寻找 定点;或从特殊位置入手,先求出定点,再加以验证.

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在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y =4x相交 于不同的A、B两点. → → (1)如果直线l过抛物线的焦点,求OA·OB的值; → → (2)如果 OA · OB =-4,证明直线l必过一定点,并求 出该定点.
【解】 (1)由题意:抛物线焦点为(1,0), 设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x, 消去x得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4t,y1y2=-4, → → ∴ OA · OB =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2 +t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.
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2

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(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得 y2-4ty-4b=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2). 则y1+y2=4t,y1y2=-4b, → → ∴OA·OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b= b2-4b. 令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直线l过定点(2,0). → → ∴若OA·OB=-4,则直线l必过一定点(2,0).

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“联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布
找范围,曲线定义不能忘”.

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1.涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算
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弦长(即 应用弦长公式). 2.涉及弦中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦

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所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.
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1.重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用. 2.“点差法”具有不等价性,要考虑判别式“Δ”是否 为正数. 3.涉及定点、定值问题,切忌“特殊代替一般”盲目

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简单化.
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从近两年高考试题看,直线与圆锥曲线是高考的必考内 容,尤其是定点、定值问题,最值或范围问题、探索性问题

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是高考的热点内容,命题方式多与向量、不等式、导数等工
具性知识点交汇命制,体现知识重组,由于该部分知识是数 形结合的完美体现,因此在解答问题时既要注重数(函数与

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方程思想),又要注重形(几何性质),同时应注意解题的规范 化.

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思想方法之十七 用函数思想求圆锥曲线中的最值
(2012· 浙江高考)如图8-9-2, x2 y2 椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率 a b 1 为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离 2 为 10,不过原点O的直线l与C相交 .... 于A,B两点,且线段AB被直线OP 平分.

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(1)求椭圆C的方程;

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.
【规范解答】 (1)设椭圆C的左焦点为F(-c,0).

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? (2+c)2+1= 10, ? ? ?c=1, 由题意,得? c 1 得? ?a=2. ? ?a=2, ? x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3

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(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M. 当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不 过原点的条件不符,舍去. 故可设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0).
?y=kx+m, ? 由? 2 消去y, ?3x +4y2=12 ?

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整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(*) 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0. 4m2-12 8km ∴x1+x2=- ,x1x2= . 3+4k2 3+4k2 4km 3m 所以线段AB的中点为M(- 2, 2). 3+4k 3+4k
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-2km 1 3m 因为M在直线OP:y= x上,所以 = , 2 3+4k2 3+4k2 3 则k=- 或m=0(舍去). 2 此时方程(*)为3x2-3mx+m2-3=0,则 ?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 ?x1x2= 3 . ? 39 2 所以|AB|= 1+k ·|x1-x2|= · 12-m2, 6 |8-2m| 2|m-4| 点P到直线AB的距离d= 2 . 2= 13 3 +2
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设△ABP的面积为S,则 1 3 S= |AB|·d= · (m-4)2(12-m2),(m2<12 2 6 且m≠0). 令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7).

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所以当且仅当m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当m=1- 7时,S取到最大值. 综上,所求直线l的方程为3x+2y+2 7-2=0.

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易错提示:(1)不能抓住OP垂直平分线段AB的条件, 难以建立m、k的联系(求出k值),导致运算复杂,解题受 阻. (2)对于“S关于m的函数”.忽视由Δ>0的条件确定m 的取值范围,难以利用导数求S取到最大值的条件. 防范措施:(1)抓住线段AB的中点M在直线OP上,发 -2km 3m 掘 2= 2是解题的关键. 3+4k 3+4k (2)直线与圆锥曲线相交,一定有Δ>0,运用函数求最 值,要注意检验数形转化的等价性.

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1.(2013·清远模拟)已知抛物线y=ax2 的焦点到准线的 距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于 ________.

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1 1 【解析】 由题设p= =2,∴a= . 2a 4 1 2 抛物线方程为y= x ,焦点为F(0,1),准线为y=-1. 4 ? 1 2 ?y= x , 直线过焦点F,联立? 4 消去x, ?y=x+1, ? 整理得y2-6y+1=0,∴y1+y2=6, ∴所得弦|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.
【答案】
菜 单

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8

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2.(2012·北京高考)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=

8(m∈R).
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围; (2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的 上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y =1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.

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【解】 (1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当 ?5-m>0, ? ?m-2>0, ? 8 ? 8 ?5-m>m-2. ? 7 7 解得 <m<5,所以m的取值范围是( ,5). 2 2 (2)证明 当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点 A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).
?y=kx+4, ? 由? 2 得(1+2k2)x2+16kx+24=0. ?x +2y2=8, ?

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因为直线与曲线C交于不同的两点, 所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0, 2 3 即k > . 2 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, -16k 24 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k y1+2 直线BM的方程为y+2= x, x1 3x1 点G的坐标为( ,1). y1+2
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y2-2 因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN= ,kAG x2 y1+2 =- , 3x1 y2-2 y1+2 kx2+2 kx1+6 所以kAN-kAG= + = + x2 3x1 x2 3x1 -16k 2× 1+2k2 2(x1+x2) 4 4 = k+ = k+ =0. 3 x1x2 3 24 1+2k2 即kAN=kAG. 故A,G,N三点共线.

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课后作业(五十九)

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