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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的四则运算法则(一)


1.2.3
一、基础过关 1.下列结论不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0

导数的四则运算法则(一)

(

)

B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- 1 +1 2 x

D.若 y=sin x+cos x,则 y′

=cos x+sin x x 2.函数 y= 的导数是 1-cos x 1-cos x-xsin x A. 1-cos x 1-cos x+sin x C. ?1-cos x?2 1-cos x-xsin x B. ?1-cos x?2 1-cos x+xsin x D. ?1-cos x?2 ( ) ( )

3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0

x+1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于 x-1 A.2 1 B. 2 1 C.- 2 D.-2

(

)

5.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=________. 6.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为________. 7.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin cos . 2 2

二、能力提升 8. 设函数 f(x)=g(x)+x2, 曲线 y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处切线的斜率为 A.4 1 B.- 4 C.2 1 D.- 2 ) ( )

sin θ 3 3cos θ 2 5π 9. 设函数 f(x)= x+ x +tan θ, 其中 θ∈[0, ], 则导数 f′(1)的取值范围是( 3 2 12 A.[-2,2] C.[ 3,2] B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

1 10.若函数 f(x)= x3-f′(-1)·2+x+5,则 f′(1)=________. x 3 11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的表达式.

b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定 值,并求此定值.

三、探究与拓展 13.已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1 和 C2 都相切,求直线 l 的方 程.

答案
1.D 1 5. 2 2.B 3.B 4.D

6.0.4 m/s

7.解 (1)方法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′ =4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x2-4x+9. 方法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1) =6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′ =18x2-4x+9. (2)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, 1 1 1 ∴y′=x′-(4 x)′+4′=1-4·x- =1-2x- . 2 2 2 x x 1 (3)∵y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2 1 1 ∴y′=x′-( sin x)′=1- cos x. 2 2 8.A [依题意得 f′(x)=g′(x)+2x,

f′(1)=g′(1)+2=4.] 9.D [∵f′(x)=x2sin θ+x· 3cos θ,

1 3 π ∴f′(1)=sin θ+ 3cos θ=2( sin θ+ cos θ)=2sin(θ+ ). 2 2 3 5π ∵0≤θ≤ , 12 π π 3π ∴ ≤θ+ ≤ , 3 3 4 ∴ 2 π π ≤sin(θ+ )≤1.∴ 2≤2sin(θ+ )≤2.] 2 3 3

1 10.6 [∵f(x)= x3-f′(-1)·2+x+5, x 3 ∴f′(x)=x2-2f′(-1)· x+1,将 x=-1 代入上式得 f′(-1)=1+2f′(-1)+1, ∴f′(-1)=-2, 再令 x=1,得 f′(1)=6.] 11.解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

则 f′(x)=2ax+b. 又已知 f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式 Δ=4-4c=0, 即 c=1.故 f(x)=x2+2x+1. 7 12.(1)解 由 7x-4y-12=0 得 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= ,① 2 2 b 7 又 f′(x)=a+ 2,∴f′(2)= ,② x 4

?2a-2=2, 由①②得? b 7 ?a+4=4.
b 1 3 故 f(x)=x- . x

?a=1 ? 解之得? . ? ?b=3

3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知 x 曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 3 y-y0=(1+ 2)(x-x0), x0 3 3 即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 x0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1 6 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |- ||2x0|=6. 2 x0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形的面积为定值, 此定值为 6. 13.解 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2)2). 1 对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x2.① 1 1 对于 C2:y′=-2(x-2),则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2-4.② 2 因为两切线重合,

?2x1=-2?x2-2?, ? 所以由①②,得? 2 2 ? ?-x1=x2-4 ? ? ?x1=0, ?x1=2, 解得? 或? ? ? ?x2=2 ?x2=0.

所以直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.


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