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安徽省马鞍山二中2011年实验班招生考试数学试题


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【注意事项】 1.本试卷共 6 页,总分 150 分,答题时长 120 分钟,请掌握好时间。 2. 先将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。考 试结束后,应将试卷和答题卷一并交回。 3.考生务必将答案答在答题卷上,在试卷上作答无效。注意字迹清楚,卷面整 洁。
一、

选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中,不填、多填或错填得 0 分) 1.设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?4.3? ? 4 , ?? 4.3? ? ?5 ,则下列各式正确的是( A. ?x? ? x B. ?x? ? x ? 1 C. ?x? ? ? x D. ?x? ? x ? 1 )

3.在下列四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是( .. A.2011 B.2012 C.2013
2
2

) D.2014 )

4.设 a, b 是方程 x ? x ? 2011? 0 的两个实数根,则 a ? 2a ? b 的值为( A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 ) 5.已知实数 a 、 b 、 c 满足 a ? 0 , 4a ? 2b ? c ? 0 ,则一定有( A. b ? 4ac ? 0
2

B. b ? 4ac ? 0
2

C. b ? 4ac ? 0
2

D. b ? 4ac ? 0
2

A


6. 如图, ?ABC 中, 在 EF∥BC,S?AEF ? S?BCE , S?ABC ? 1, 若 ) S?CEF 等于( 1 1 A. B. 4 5

E
C. 5 ? 2

F C

3 D. 3 ? 2

B 第 6 题图

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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.将答案填在答题卷中相应横线上) 7.函数 y ? x ?1 ? x ? 3 ? x ? 5 ? x ? 7 的最小值为 8.已知 .

zx 1 xy 1 yz 1 ? ,则 xyz 的值为 ? , ? , x? y 3 y?z 4 z?x 5
6



9.把 ?1 ? 2 x ? 展开后得: a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ? a6 x 6 ,则

(a0 ? a2 ? a4 ? a6 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 )2 =

. .

10.已知三个质数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? abc ? 119 ,则 | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |? 11.如图,在反比例函数 y ?

2 ( x ? 0 )的图象上,有点 P 、 P2 、 P3 、 P4 ,它们的横坐标依 1 x 次为 1、2、3、4,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的

12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,以 AB 为一边向△ABC 外作正方形 ABEF,正方形 中心为 O,且 OC= 4 2 ,那么正方形 ABEF 的面积是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.答题应写出文字说明、证明过程或演算步
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骤)
13. (满分 12 分)计算:

1 2? 2

?

1 3 2?2 3

?

1 4 3 ?3 4

???

1 2011 2010 ? 2010 2011



14. (满分 12 分)设关于 x 的方程 x ? 5x ? m ? 1 ? 0 的两个实数根分别为 ? 、 ? ,试确定实数
2 2

m 的取值范围,使 ? ? ? ? 6 成立.

15. (满分 12 分)已知点 A、B 的坐标为 (?2, 0), (4, 0) ,在直线 y ? 使△ABP 是直角三角形.

1 x ? 2 上求出点 P 的坐标, 2

16. (满分 14 分)已知二次函数 y ? x ? 2mx ? 1 .记当 x ? c 时,相应的函数值为 yc,那么,是
2

否存在实数 m ,使得对于满足 0 ? x ? 1 的任意实数 a 、 b ,总有 ya ? yb ? 1.如果存在,求 出实数 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

17. (满分 14 分)已知 n 为正整数,若 n ? 96 能被 5n ? 51 整除,试求 n 的值.
2

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18. (满分 14 分)如图,△ABC 的内心为 I (三角形的内心是三角形的角平分线的交点) ,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H ,且直线 AH 交 BC 于 F .设 D、E、G 分别为内切圆 I 与边 BC、CA、AB 的切点,求证: (1) AG ? DF ; (2)D、H、E 三点共线. A

G I H

E

B

D

F

C

2011 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试
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数学参考答案

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 1 3 7、 8; 8、 ; 9、729; 10、42; 11、 ; 6 2 三、解答题(本大题共 6 题,共 78 分. )
13、解:由

12、34.

1 1 1 . ? ? (n+1) n ? n n ? 1 n n ?1

…………………………8 分

所以原式 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? .…………………………10 分 1 2 2 3 2010 2011
…………………………12 分

?

1 1 2011 ? . ? 1? 2011 1 2011

2 当 1 ? m ? 0 时,得 25 ? 4(1 ? m ) ? 36 ,
2

∴?

15 15 ?m? .② 2 2 15 15 ?m? . 2 2

…………………………11 分

由①、②得: ?

…………………………12 分

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15、解:分三种情况如下: (1)若 ?PAB ? 90 ,则 P 的横坐标为 x ? ?2 ,代入到方程 y ?
?

1 x ? 2 中得纵坐标 y ? 1 , 2
坐 标 为







P





(?2,1) ;
(2)若 ?PBA ? 90 ,同理求得 P 点的坐标为 (4, 4) ;
?

…………………………2 分 …………………………

4分
? (3)若 ?APB ? 90 ,作 PM ? x 轴于点 M ,设 P 点的坐标为 ( x, y ) ,根据射影定理,得

y 2 ? ( x ? 2)(4 ? x), y ?


1 x ? 2, 2

…………………………8

? ? 4 5 4 5 ? x? ? x?? ? ? 5 5 联立消元,解得 ? ; 或? ?y ? 2 5 ? 2 ?y ? ? 2 5 ? 2 ? ? 5 5 ? ?
故 P 点的坐标为 (

4 5 2 5 4 5 2 5 , ? 2), (? ,? ? 2) . 5 5 5 5 4 5 2 5 4 5 2 5 , ? 2), (? ,? ? 2) .……… 5 5 5 5

综上所述 P 点的坐标为 (?2,1) , (4, 4) , ( 12 分

16、解:设 f (x) 在 0 ? x ? 1 的最小值为 M,原问题等价于 2 M ? 1, M ? 二 次 函 数 线.

1 . 2

y ? x 2 ? 2mx ? 1 的 图 象 是 一 条 开 口 向 上 的 抛 物
…………………………1 分

①当对称轴 x ? m ? 0 时, 由图象可知,x ? 0 时,y最小 ? 1 , 这时 1 ? 5分

1 成立; ………………… 2

②当对称轴 x ? m , 0 ? m ? 1 时,由图象可知 x ? m 时, y最小 且 y最小 ? 1 ? m2 , 这 时 有

1? m2 ?

1 2 1 ,m ? 2 2







0?m?

2 ; 2

…………………………9 分

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③当对称轴 x ? m , m ? 1 时,由图象可知, x ? 1 时, y最小 且 y最小 ? 2 ? 2m , 这 去. 时 有

2 ? 2m ?

1 3 ,m ? 2 4



m ?1











…………………………13 分

综上可知, 满足条件的 m 存在, m 的取值范围是 m ? 且 14 分

2 . 2

…………………………

2 2 由①、②得 25k ? 204k ? 384 ? (5k ? 20) 解得 k ? 4 ,

代入到( * )中有 n ? 20n ? 300 ? 0 ,
2

解 求.



n ? 30

为 …………………………14 分



18、解: (1)由题意 I 为△ABC 的内心,所以 ?ABH ? ?HBG ,
? 又 AG ? BH ,所以 ?AHB ? ?GHB ? 90 ,

又 BH ? BH , △AHB≌△GHB, 故 所以对应边 AB ? BG , ………………………… 2分 又 由 切 线 长 定 理 , 得 B ? G B D , …………………………4 分 所 以 A ? ; …………………… G ……5 分 (2)方法 1:如图,设直线 BI 与 CA 边相交于 K 点,连结 AI , DI , EI , DH , EH .
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?B

D ?I

,?

A

H ?

B

, I 所B ? ?

以 D



IBD A B ∽H △

ABH.

…………………………7 分

BD IB BD HB ? ,即 ? 有 又 因 为 ?HBD ? ?ABI , 所 以 △ HBD ∽ △ BH AB BI AB

ABI.……………………9 分 有 ?BHD ? ?BAI ①
因 圆, 为

?AEI ? ?AHI ? 90?







A, E, H , I







…………………………12 分 有 ?EHK ? ?EAI ② 由①、②及 ?BAI ? ?EAI ,得 ?BHD ? ?EHK . 故

D, H , E







线.

…………………………14 分

A G I B D H F C E

方法 2:如图,连结 DE , EH , AI , EI . 因 为

?AEI ? ?AHI ? 90?







A,

E,

H, I 点 四









?AEH ? ?AIB . ……………………9 分 I ?ABC 又 因 为 为 的 内 心 , 1 ?AIB ? 90? ? ?C . …………………………11 分 2 1 ? 从而 ?AEH ? 90 ? ?C . 2 C ? D C 因 为 , 所 180? ? ?C 1 ?DEC ? ? 90? ? ?C . …………………………13 分 2 2
于 线. 是





E



?AEH ? ?DEC ? 180?





D, H , E







…………………………14 分

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