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抛物线的简单几何性质(2)


抛物线的简单几何性质(2)

2017年11月17日星期五

方程
图 形 范围
对称性

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y

x2 = 2py (p>0)

x2 = -2py (p>0) y

(p>0)
y

l O F x

l

y

F x

l x l

F

O

O

O

F

x

x≥0

y∈R x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

x∈R y≤0
关于y轴对称

关于x轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

复习回顾:

直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法:
1、根据几何图形判断的直接判断



2、直线与曲 线的公共点 的个数

Ax+By+c=0

解的个数 f(x,y)=0(二次方程)



判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

二、讲授新课:
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

y

x F

类型一:位置关系判断 问题:已知直线 l:y=kx+1 和抛物 2 线 C:y =4x,试判断当 k 为何值时,思考:直线的 条数与点的位 l 与 C 有: ① 一个公共点;②两个不同公共点; 置有何关系? ③没有公共点. y2 x? (1)k ? 0或k ? 1 4 ? y2 ? 4x
解: 消元得k 2 x 2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 ? ? y ? kx ? 1 (2)k ? 1且k ? 0

?=16(1-k )

? y2 ? 4x 2 另解: 消元得: ky ? 4y ? 4 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

(3)k ? 1
3 条

变式:过点(0,1)与抛物线C仅有一个公共点的直线有

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

二此项系数为0 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点)
一 个 交 点

二此项系数不为0 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离

练习:
1.求过定点(0,2),且与抛物线y2=4x相切 的直线方程.
说明:(1)联立方程组,结合判别式求解

(2)注意斜率不存在的情形

2、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离.
解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
y0 2 将x0 ? 代入得: 64 2 y0 ? 3 y0 ? 46 2 y ? 48y0 ? 16? 46 d ? 16 ? 0 , ( y0 ? R ) 5 80 ?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)

则y0 ? 64x0

2

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切
? y 2 ? 64 x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

O

.

F

x

由? ? 0得 : m ? 36

类型二:求弦长
例1、已知直线l:y=-x+1和抛物线 C:y2=4x,设直线与抛物线的交点为 A、B,求AB的长. 8
A

B

说明:直线被曲线截得的弦︱AB︱= 1+k2 ︱x1-x2︱ 1 或|AB|= 1 ? 2 | y1 ? y2 | k

类型三:定点问题
例3.过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, 证明:AB与x轴的交点为定点.
y

解:当直线AB的斜率存在时 设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 联立? 2 ? y ? 2x

A
O F ? M

.

x

B b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y 2 ? k k 2 uur uuu r b 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k ?lAB : y ? ( k x ? 2)与x轴交点(2,0)

当直线AB的斜率不存在时,方程为:x ? n uur uuu r 则A(n, 2n ), B(n, ? 2n ) 由OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? n ? 2

解2:设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).lAB : x ? my ? n (n ? 0) y
? x ? my ? n 联立 ? 2 ? y 2 ? 2my ? 2n ? 0 ? y ? 2x

A
O F ? M

y y2 2 ? y1 y2 ? ?2n, x1 x2 ? ?n ??? ? ??? ? 4
由OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? n2 ? 2n ? 0 ? n ? 2

2 1

2

.

x

B

?lAB : x ? my ? 2与x轴交点(2,0)

例3.过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, 证明:AB与x轴的交点为定点.
1 方法二:设直线OA、OB的方程分别为:y ? kx,y ? ? x k 2 2 联立抛物线方程得A点为( 2 , ), B点为(2k 2 , ?2k ) k k

k AB

k ? 1? k 2

(k ? ?1)

k k 2 ? AB的方程为:y ? 2k ? ( x ? 2k ), 即y ? ( x ? 2) 2 2 1? k 1? k

当k ? ?1时,A、B两点的坐标为(2,2),(2, -2)

例3.过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, 证明:AB与x轴的交点为定点.
y12 y2 2 方法三:设( A , y1 ), B ( , y2 ) 2 2 4 ? kOA ? kOB ? ? ?1,即y1 y2 ? ?4 y1 y2 k AB ? y1 -y2 2 = y12 y2 2 y1 +y2 ? 2 2 (直线AB的斜率存在时)

y12 y12 2 2 直线AB的方程为:y -y1 ? ( x ? ), 即y ? x +y1 y1 +y2 2 y1 +y2 y1 +y2 2 ?y ? ( x ? 2) y1 +y2

2 y 变式: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,

直线l过定点 (2p,0) 且OA⊥OB ,则_____ _____.
y

方法一:设直线AB的方程为y ? kx ? m, 得到k与m的关系
O
B

A

P
y2=2px

x

方法二:设直线OA、OB, 求出A、B两点的坐标, 再求出直线AB的方程

l

方法三:设A、B两点的坐标

例4.已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 求证:OA⊥OB. 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB
y

A

??? ? ??? ? 或OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

O
B

C(2p,0)
y2=2px

x

L:x=2 p

变式 : 若直线 l 过定点 (2p,0) 且与抛物线 两点,求证:OA⊥OB.

y

2

=2px(p>0) 交于 A 、 B
y

y y2 解:设( A , y1 ), B ( , y2 ) 2p 2p ? kOA ? kOB 4 p2 ? y1 y2
O
B

2 1

2

A

P(2p,0)
y2=2px

x

l

设l : x ? my ? 2 p代入y 2 ? 2 px得

y 2 ? 2 pmy ? 4 p2 ? 0

? y1 y2 = ? 4 p

2

? kOA ? kOB

4 p2 ? ? ?1 y1 y2

高考链接:过定点Q(2p,0)的直线与
y2 = 2px(p>0)交于相异两点A、B,

以线段AB为直径作圆C(C为圆心),
试证明抛物线顶点在圆C上。
y

A

O
B

Q(2p,0)
y2=2px

x

l


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