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高中数学必修四课件:《任意角的概念》课件


必修四

第一章

三角函数

1.1.1 任意角的概念

1、角的概念
初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端

点旋转而成的。 初中学过的角的范围是:0? 360? 至 。

2

.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 如图:一条射线由原来的 位置OA,绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB, 就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.

B

O

A

⑵.“正角”与“负角”、“零角” 我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角,如图,以OA为始边的角α=210°, β=-150°,γ=660°,
2100
6600

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,
我们也认为这时形成了一个角,并把这个角

叫做零角即零度角(0? ).此时零角的始边与
终边重合。 角的记法:角α或可以简记成∠α,或简

记为: α. 如∠α=-1500
, α=00, α=6600 等等……

⑶角的概念扩展的意义: 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如:?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例:体操动作:旋转2周(360?×2=720?) 3周(360?×3=1080?) ③ 还有零角, 一条射线,没有旋转.

角的概念推广以后,它包括任意大小的正

角、负角和零角.
要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就 好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,

就好象数零无正负一样.

用旋转来描述角,需要注意三个要素:
旋转中心、旋转方向和旋转量 (1)旋转中心:作为角的顶点. (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了;

(3)旋转量:
当旋转超过一周时,旋转量即超过360? , 角度的绝对值可大于360? .于是就会出现 720? - 540? , 等角度.

3.象限角
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合 于x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第 几象限,我们就说这个角是第几象限的角。 (角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为:轴线角) 例如:30?、390?、?330?是第一象限角, 300?、 ?60?是第四象限角, 585?、1300?是第三象限角, 135 ? 、?2000?是第二象限角等

4.终边相同的角
⑴ 观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同. ⑵探究:终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)

个周角的和:
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=-1)

30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=-5)

⑶ 结论: 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· , k∈Z} 360? 即:任何一个与角?终边相同的角,都可 以表示成角?与整数个周角的和。

所有与?终边相同的角连同?在内可 以构成一个集合: ⑷注意以下四点: {β| β=α+k·360? k∈Z} , ① k∈Z, 即:任何一个与角?终边相同的角,都 可以表示成角?与整数个周角的和。 K > 0,表示逆时针旋转, K < 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角;

③ k· 与?之间是“+”号,如k· -30? 360? 360? ,应 看成(-30? k· )+ 360? ; ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360? 的整数倍.

例1. 在0? ~360? 范围内,找出与下列各角终边
相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(1) -120? ;(2) 640? ;(3) -950? 12′.

例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360? ~720? 间的角写出来:

(1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363? 14′.

例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.

? 终边落在坐 标轴上的情 形

+K 360° 90° · y

180°+K·360° o

+K 0° ·360° x 或360°+ K · 360°

270° +K·360°

? 第一象限的角表示为 {?|k?360?<?< 90? + k?360?,k?Z}; ? 第二象限的角表示为 {?| 90? + k?360?<?<180? +k?360?,k?Z}; ? 第三象限的角表示为 {?| 180? + k?360?<?< 270? + k?360?,k?Z} ? 第四象限的角表示为 {?| 270? + k?360?<?< 360? + k?360?,k?Z}

例4、写出终边落在y轴上的角的集合.
+K 360° y 90° ·

180°+K·360° o

+K 0° ·360° x

270° +K·360°

课堂练习
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是 否都是锐角?小于90? 的角是锐角吗?区间 (0? )内的角是锐角吗? ,90? 答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定 是锐角;小于90? 的角可能是零角或负角,故 它不一定是锐角;区间(0? )内的角是锐 ,90?

角.

2 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 )

3、若α是第四象限角,则180? -α是( A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

4、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 __________,α+β的范围是___________;

5、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在

[0? ,360? )范围内,终边与角
角为______________;

?
3

的终边相同的

? 1、角度制的定义 ? 规定周角的 为1度的角这种用度做单位来度量角的制 360 度叫角度制。
1

n° 1°

l

R

2、弧长公式及扇形面积公式

nπR l= ——— 180

nπR2 S= ——— 360

1、弧度制
? 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。

设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度

B l=r
1弧度

r

O

r

A

若l=2r,

若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度

则∠AOB=

B
2弧度

O r

A

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱α︱=

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

l=2 π r

O

r

A(B)

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1°=

π 弧度 还可得

π 弧度 ≈ 0.01745弧度 ——
180

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

π

3、圆的弧长公式及扇形面积公式 由︱α︱=
l

l r


r
α

=︱α ︱r 1 S =—lr 2 1 = —︱α ︱r2 2

l

O



已知扇形的周长为

8 cm , 面积为 4 cm 度数 .

2

,

求该扇形的圆心角的弧

解 : 设扇形半径为
2R ? L ? 8
1 2 LR ? 4

R , 弧长为 L , 则由

L

?

R

解 得

R ? 2

L ? 4

故该扇形的圆心角
? ?
L R

? 的弧度数为
? 4 2

? 2

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

练习
如图 , 已知角的终边区域
y

, 求出角的范围

.

45
0 (1) y

0

x?
?

?? | 2?? ?

?
4

? ? ? 2?? ?

?
2

? (? ? ?) ? ?

45
0 (2)

0

x

? ? ? ? ? ? ?? ? ?? | ?? ? 4 2 ?

? (? ? ?) ? ?

练习
已知 A ? ?? | 2 ?? ? ? ? ( 2 k ? 1 ) ? B ? ?? | ? 6 ? ? ? 6 ? 则 : A ?B ? ( ? ? ? )?

?? | ? 6 ?

? ? ? ?,或 0 ? ? ? ??

解 : 如图
? 2? ? 6
?

? ?

0

6 2?

当 ? ? ? 2 , ? 3 , ? 时 , 或当 ? ? 1 , 2 , ? 时 , 已超出 ( ? 6 , 6 )的范围 .

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:
l ? ? ?r
? 1 2 lr ? 1 2 r ?
2

扇形面积公式: S

? ? (其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数) l

写出满足下列条件的角的集合(用弧度制): (? ? ? )? 1、 终边与X轴正半轴重合; ?? | ? ? 2 ?? 2、 终边与X轴负半轴重合; 3、 终边与X轴重合; 4、

??

| ? ? 2 ?? ? ?
(? ? ? )?
? (? ? ? ) ? ?

(? ? ? )?

??

| ? ? ? ??

? ? ? | ? ? 2 ?? ? ? 终边与Y轴正半轴重合; 2 ?

5、 终边与Y轴负半轴重合; 6、 终边与Y轴重合; 7、第一象限内的角; 8、第二象限内的角; 9、第三象限内的角; 10、第四象限内的角;

? ? ? | 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | 2 ?? ? 2 ? ? ? ? | 2 ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? | 2 ?? ? ? ? ?
? 2

? ? ? | ? ? ?? ? ? 2 ?

3? ? ? | ? ? 2 ?? ? ? 2 ?

? (? ? ? ) ? ?

? (? ? ? ) ? ?

2 ?? ?

?

2

? 2 ?? ? ? ? 2 ?? ? 3? 2
? 2 ?? ? 2 ?

? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ?
? (? ? ? ) ? ?


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