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高二数学-南京市2015-2016学年高二上学期期中考试数学押题卷


高二第一学期数学期中考试押题卷 20151025
一.填空题 1.过点 P?2,3? 和 Q?? 1,6? 的直线 PQ 的倾斜角为
2 2.命题“ ?x ? 0 , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是

▲ ▲ .



3.直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 与直线 l 2

: ax ? y ? a ? 1平行,则 a ?





x2 ? y 2 ? 1 的 左 右 焦 点 , 弦 AB 过 F1 , 则 ?F2 AB 的 周 长 4 . 已 知 F1 , F2 为 椭 圆 4
为 .

5.已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 经过椭圆 椭圆的离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此 a 2 b2



6.若实 数 x , y 满足 ?

?x ? y ?1 ? 0 y ,则 的取值范围是 x ?x ? 0



[

7. 如果命题 p 是命题 q 成立的必要不充分条件, 那么命题“ ?p ”是命题“ ?q ”成立的 条件. (填充要关系)



?x ? y ? 3 ? 8 设实数 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________ ?y ? 0 ?
9.过点 ?3,3? 的直线 l 与圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,则直线 l 的
2

方程是



. ▲ .

10.设有两条直线 m 、 n 和两个平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 ①若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m // n ;

②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;

③若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;④若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m ∥ ? . 11.已知 A,B 两点都在直线 y ? 2 x ? 1 上,且 A,B 两点横坐标之差为 2 ,则 A,B 之间 的距离为
2



12 .抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的点 M (4, y ) 到焦点 F 的距离为 5 , O 为 坐标原点,则

?OFM 的面积为



1

13. 过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a 2 b2
1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围 3 2

且点 B 在 x 轴上的射影为右焦点 F ,若 是 .

14.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A 、 B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 二.解答题 15.设命题 p :关于 x 的方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 有实数根;命题 q :函数 ▲ .

y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域是 R .若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求 a 的取值范围.

16.已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,一动圆与这两个圆 都外切. ⑴求动圆圆心 P 的轨迹方程; ⑵若过点 M2 的直线与⑴中所求轨迹有两个交点 A、B,求|AM1|·|BM1|的取值范围.

2

17.有一种商品 A 、 B 两地都有出售,且两地的价格相同,但是某地区的居民从两地往回 运时,每单位距离 A 地的运费是 B 地的 3 倍.已知 A 、 B 两地的距离是 10 千米.顾客 购买这种商品,选择从 A 地或者 B 地买的标准是,包括运费在内的总费用比较便宜.求 . A 地的购物影响区域的面积(某地的购物影响区域是指选择到该地购买商品的地区)

18.已知⊙ O : x ? y ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P ( a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切
2 2

点为 Q ,且满足 PQ ? PA .

(1) 证明: P?a, b ? 在一条定直线上,并求出直线方程; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, a2 b2 x y x y ? ? 3 ? ? 已知 m ? ( 1 , 1 ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 2, O b a b a 2
19.设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由

3

20.已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 和点 A?a,0? ,设圆 O 与 x 轴交于 P 、 Q 两点, M 是圆

O 上异于 P 、 Q 的任意一点,过点 A?a,0? 且与 x 轴垂直的直线为 l ,直线 PM 交直线 l 于点 E ,直线 QM 交直线 l 于点 F . (1)若 a ? 3 ,直线 l1 过点 A?3,0? ,且与圆 O 相切,求直线 l1 的方程; (2)证明:若 a ? 3 ,则以 EF 为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标; (3)若以 EF 为直径的圆 C 过定点,探求 a 的取值范围.

参考答案
1. 5.

3? 4

2 2. ? x ? 0 , x ? 2 x ? 1 ? 1

3. 1 8. 6

4.8

1 3

6.

(1, ??)

7.充分不必要 10.④ 14.4 11.

9. y ? 3 或 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 12. 2 13. ( , )

10

1 2 2 3

15. p 真: a ? 0 ; q 真: a ?

1 ?1 ? ,所以 a ? ?? ?,0? ? ? ,?? ? 2 ?2 ?

16.解: (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1| - |PM2|=4 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支。 c=4,a=2,b2=12,

x2 y2 - =1(x≥2) 。 4 12 ? (2)当过 M2 的直线倾斜角不等于 时,设其斜率为 k, 2
故所求轨迹方程为 直线方程为 y=k(x-4) 与双曲线 3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0

? 8k 2 x ? x ? ?0 2 ? 1 2 k ? 3 ? ? 16k 2 ? 12 由 ? x1 x 2 ? 解得 k2>3。 ?0 2 k ? 3 ? ?△? 64k 4 ? 16(3 ? k 2 )(4k 2 ? 3) ? 0 ? ?
4

由双曲线左准线方程 x=-1 且 e=2,有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=4[x1x2 +(x1+x2)+1]

336 16k 2 ? 12 8k 2 =4( + 2 +1)=100+ 2 2 k ?3 k ?3 k ?3
∵k2-3>0,∴|AM1|×|BM1|>100 又当直线倾斜角等于 |AM1|·|BM1|=100

? 时,A(4,y1),B(4,y2),|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10 2
故 |AM1|·|BM1|≥100。

17.以 AB 中点为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 A?? 5,0? , B?5,0? .设

P ? x, y ? 为 分 界 线 上 任 一 点 , 从 B 地 向 P 处 运 货 的 单 位 运 费 为 a , 依 题 意 有
3a? | PA |? a? | PB | , 所 以 3 | PA |?| PB | . 即 9 ?x ? 5? ? y 2 ? ?x ? 5? ? y 2 , 即
2 2

?

?

25 25 ? ? 25 ? ? ? 25 ? 2 ? x ? ? ? y ? ? ? .这表明 A 、 B 两地区域分届线是以 ? ? ,0 ? 为圆心,以 为 4 4? ? 4 ? ? ? 4?
半径的圆.所以 A 地的购物影响区域的大小为 ?

2

2

? 25 ? . ? ? (平方公里) ? 4?
2 2 2

2

18.解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ 又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 .
2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

(3)设圆 P 的半径为 R ,? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5

5

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2:圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些 半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原 点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. r= 3 3 5 2 -1 = 5 -1. 2 +1
2

y
2

A
P0
O 2

又 l’:x-2y = 0,

6 ? x? , 6 3 ? x ? 2 y ? 0, ? ? 5 .即 P0( , ). 解方程组 ? ,得 ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

x P
l

Q

c a 2 ? b2 3 19 . 解 : ( Ⅰ ) 2b ? 2.b ? 1, e ? ? ? ? a ? 2,c ? 3 椭 圆 的 方 程 为 a a 2 y2 ? x2 ? 1 4
(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0.................4分 ?y 2 ? ? x ?1 ?4 x1 ? x2 ? ?2 3k ?1 , x1 x 2 ? 2 . 2 k ?4 k ?4 .................5分

由已知 m ? n ? 0 得:

x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) 2 b a 4 k2 3k 3 ? (1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? .................6分 4 4 4
? k2 ? 4 1 3k ?2 3k 3 (? 2 )? ? ? ? 0, 解得k ? ? 2 4 k ?4 4 k2 ? 4 4

(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0 得

x12 ?

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 4
6

4 x12 2 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x ? ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2
2 1

s?

1 1 x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 2 2

所以三角形的面积为定值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 2 2 2 ? ( k ? 4 ) x ? 2 kbx ? b ? 4 ? 0 得到 x ? x ? ?y 1 2 2 k2 ? 4 ? ? x ?1 ?4
x1 x 2 ? b2 ? 4 k2 ? 4

x1 x 2 ?

y1 y 2 (kx ? b)(kx2 ? b) ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0代入整理得: 2b2 ? k 2 ? 4 4 4

1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b2 ? 16 2 S? AB ? | b | ( x 1 ? x2 ) ? 4 x1x2 ? 2 1? k 2 2 k2 ? 4
4b 2 ? ? 1 所以三角形的面积为定值. 2|b|

20.(1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x ? y ? 1相切,
2 2

设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且与

x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?
? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). t s ?1 s ?1 y? ( x ? 1) ? s ?1 ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ?

t ( x ? 1). s ?1

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

7

又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6 x + 1) +

6s - 2 y= 0, t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . (3)逆命题:设圆 O 与 x 轴交于 P 、 Q 两点, M 是圆 O 上异于 P 、 Q 的任意一点,过点
' 直线 PM 交直线 l 2 于点 P , 直线 QM 交直线 l 2 于点 Q' , M ?m,0? 且与 x 轴垂直的直线为 l 2 ,

以 P 'Q' 为直径的圆 C 总过定点,则 m ? 1 或者 m ? ?1 . 证明略

8


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