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第11知识块第2讲


第2讲
一、选择题

古典概率

1. 在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为( 1 A. 20 1 B. 15 1 C. 5 1 D. 6

)

解析:在三棱锥的六条棱中任意选择两条共有 15 种情况,其中异面的情况有 3 种,则 3 1 两条棱异面的概率为 P

= = . 15 5 答案:C 2. (2009· 模拟精选)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”, “World”,“One”,“Dream”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺 序排成“One World One Dream”, 则孩子会得到父母的奖励, 那么孩子受到奖励的概 率为( 1 A. 12 ) 5 B. 12 7 C. 12 5 D. 6

解析:由列举法可得,四张卡片随机排成一行,共有 12 种不同的排法,其中只有一种 是“One World One Dream”,故孩子受到奖励的概率为 答案:A 3. (2010· 改编题)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 ) 3 D. 4 1 . 12

解析:数字之和为奇数,所选数必须是一奇一偶,抽取 2 张一奇一偶的取法为 4 种, 4 2 任意抽取 2 张的取法为 6 种,其概率 P= = . 6 3 答案:C 4. (2009· 浙江温州)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如 果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( 1 A. 5 3 B. 10 2 C. 5 ) 1 D. 2

解析:(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 1,红 1),(黑 1,红 2),(黑 2,黑 3), (黑 2,红 1),(黑 2,红 2),(黑 3,红 1),(黑 3,红 2),(红 1,红 2)共 10 个结果,同 色球为(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 2,黑 3),(红 1,红 2)共 4 个结果, 2 ∴P= . 5 答案:C 二、填空题 5. (2009· 江苏)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中 一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 5×4 解析:从 5 根竹竿中,一次随机抽取 2 根竹竿的方法数为 =10.而满足它们的长度 2 2 恰好相差 0.3 m 的方法数为 2 个,即 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9.由古典概型的求法得 P= = 10 1 . 5 答案: 1 5

6. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛 掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是________. 3 1 解析:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个.故 P= = . 6×6 12 答案: 1 12

7. (2010· 浙江杭州调研)若以连续掷两颗骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标, 则点 P 落在圆 x2+y2=16 内的概率是________. 解析: 基本事件总数为 6×6=36, 落在圆内的包含的基本事件为(1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,1)、 8 2 (2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共 8 个,∴P= = . 36 9 答案: 2 9

三、解答题 8. (2010· 山东烟台调研)某校要从高三年级的 3 名男生 a、b、c 和 2 名女生 d、e 中任选 3 名代表参加“歌颂祖国建国六十周年”的诗歌朗诵比赛.

(1)求男生 a 被选中的概率; (2)求男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的概率. 解:从 3 名男生 a、b、c 和 2 名女生 d、e 中任选 3 名代表的可能选法有:a,b,c;a, b,d;a,b,e;a,c,d;a,c,e;a,d,e;b,c,e;b,c,d;b,d,e;c,d,e 共 10 种. (1)男生 a 被选中的情况共有 6 种,于是男生 a 被选中的概率为 P1= 6 3 = . 10 5

(2)男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的情况共有 9 种,故男生 a 和女生 d 至少有一个 9 被选中的概率为 P2= . 10 9. (2009· 天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查.已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂. (1)求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 7 1 解:(1)工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为 = ,所以从 63 9 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, C1,C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂.在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个,全部可能的结 果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2, B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2, B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共 21 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区(记为事件 X)的结果有: 1, 2), 1, 1), (A A (A B (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (A2,C2),共 11 种.所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= 11 . 21

10.(2010· 创新题)为积极配合深圳 2011 年第 26 届世界大运会志愿者招募工作,某大学 数学学院拟成立由 4 名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2 名男同学,4 名女同学共 6 名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的. (1)求当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率;

(2)求当选的 4 名同学中至少有 3 名女同学的概率. 解:(1)将 2 名男同学和 4 名女同学分别编号为 1,2,3,4,5,6(其中 1,2 是男同学,3,4,5,6 是 女同学), 该学院 6 名同学中有 4 名当选的情况有(1,2,3,4), (1,2,3,5), (1,2,3,6), (1,2,4,5), (1,2,4,6), (1,2,5,6), (1,3,4,5), (1,3,4,6), (1,3,5,6), (1,4,5,6), (2,3,4,5), (2,3,4,6), (2,3,5,6), (2,4,5,6),(3,4,5,6),共 15 种,当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的情况有(1,3,4,5), (1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共 8 种, 故当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率为 P(A)= 8 . 15

(2)当选的 4 名同学中至少有 3 名女同学包括 3 名女同学当选(恰有 1 名男同学当选),4 名女同学当选这两种情况,而 4 名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为 P(B) = 1 , 15 8 ,故当选的 4 名同学中至少有 15

又当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率为 P(A)= 8 1 3 3 名女同学的概率为 P= + = . 15 15 5

1. (★★★★)设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b, 确定平面上的一个点 P(a, 记“点 P(a, b), b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5, n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 B.4 C.2 和 5 ) D.3 和 4

1 解析:点 P(a,b)的个数共有 2×3=6 个,落在直线 x+y=2 上的概率 P(C2)= ;落在 6 2 2 直线 x+y=3 上的概率 P(C3)= ;落在直线 x+y=4 上的概率 P(C4)= ;落在直线 x 6 6 1 +y=5 上的概率 P(C5)= . 6 答案:D 2. (2010· 创新题)在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从这些教师 9 中随机挑选一人表演节目,若选到男教师的概率为 ,则参加联欢会的教师共有 20 ________人.

解析:设男教师为 n 个人,则女教师为(n+12)人, ∴ n 9 = . 2n+12 20

∴n=54 ∴参加联欢会的教师共有 120 人. 答案:120


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