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2014届广州市高三年级调研测试数学(文科)试题


试卷类型:A

广州市 2014 届高三年级调研测试

数 学(文 科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

2014.1

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上.用 2B 铅笔将试

卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂 的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 y ?

4 ? x 的定义域是
B. ? ??, 4 ? C. ? 4, ?? ? D. ? 4, ?? ?

A. ? ??, 4 ?
2

2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ,或x ? ?1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

3.如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉 一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为 A. 85,84 C. 86,84 B. 84,85 D. 84,86

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
图1

2 2 4.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 ? i 的虚部是 z
A. ?i B. ?1 C. i
第 1 页(共 4 页)

D.1

5.若集合 A, B 满足 A ? ? x ? Z | x ? 3? , B ? N ,则 A ? B 不可能是 ... A. {0,1, 2} B. {1, 2} C. {?1} D. ?

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 开始 输入 N B.105 C.120 D.720 否 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


k ? k ?2
8.某几何体的三视图(如图 3 所示)均为边长为 2 的等腰直角三角 形,则该几何体的表面积是 A. 4 ? 4 2 C. 4 ? 2 B. 4 2 D. 8 ? 4 2

图2

正视图

侧视图

俯视图 9.若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

图3

10.函数 f ( x) ? sin x ? x 在区间 ? 0, ?? ? 内 A.没有零点 C.有且仅有 2 个零点 B.有且仅有 1 个零点 D.有且仅有 3 个零点

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若向量 m ? ?1, 2 ? , n ? ? x,1? 满足 m ? n ,则 | n |? __________. 12.在等比数列 {an } 中,若 a 2 ? a 3 ? 3a1 ,则 a4 ? .
?

13.在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ,则满足 ?AMB ? 90 的概率为_______.

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(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 .
C B

M O N

A

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

图4 .

y ? x ? ?2 ? cos ? 若点 P( x, y ) 在曲线 ? ( ? 为参数, ? ?R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

17. (本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们 的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组:第 1 组

[25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) ,第 4 组 [40, 45) ,第 5 组 [45,50] ,得到的频率分布直方图
如图 5 所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 图5

[25,30)

[30,35)

[35, 40)

[40, 45)

[45,50]

25

a

b

(1)求正整数 a , b , N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分 别是多少? (3)在 (2) 的条件下, 从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.
第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PC ? BC ,

P

M 为 PB 的中点, D 为 AB 的中点,且△ AMB 为正三角形.
(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 BC ? 4 , PB ? 10 ,求点 B 到平面 DCM 的距离. A D 图6 B M C

19. (本小题共 14 分) 设数列 ?a n ?满足 a1 ?

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn 1 ? 2n , n ?N* . 2 2 2?

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? an ? 1?? an?1 ? 1?

20. (本小题满分 14 分) 在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D .当点 P 在圆上运动时,动点
2 2

M 满足 PD ? 2MD ,动点 M 形成的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2)已知点 E ?1,0? ,若 A, B 是曲线 C 上的两个动点,且满足 EA ? EB ,求 EA ? BA 的取值范围.

第 4 页(共 4 页)

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? ? a ? 2 ? x .
2

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 [a , a] 上的最大值.
2

广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参 考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给 以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B D A D C D B A C B 二.填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 5 12.3 13.

? 8

14.1

15. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .????????????????????????1 分 所以 cos

A?C ? ?B ????????????????????????????2 分 ? cos 2 2
? sin B 3 ? .???????????????????????????3 分 2 3
2

所以 cos B ? 1 ? 2sin

B ?????????????????????????????5 分 2

1 ? .?????????????????????????????????7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
第 5 页(共 4 页)

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,????????????????????????9 分 得 c 2 ? 2c ? 1 ? 0 . ????????????????????????????????11 分 解得 c ? 1 .???????????????????????????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布直方图可知, [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同, 所以 a ? 25 人.?????????????????????????????????1 分

0.08 ? 100 人.?????????????????????????????2 分 0.02 25 总人数 N ? ? 250 人.???????????????????????????3 分 0.02 ? 5 (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取的
且 b ? 25 ? 人数分别为:

25 ????????????????????????????4 分 ? 1, 150 25 第 2 组的人数为 6 ? ????????????????????????????5 分 ? 1, 150 100 第 3 组的人数为 6 ? ? 4 ,???????????????????????????6 分 150
第 1 组的人数为 6 ? 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.????????????????????7 分 (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A ,第 2 组的 1 人为 B ,第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 ,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: , ( A ,B ) ( A, C1 ) ,( A, C2 ) ,( A, C3 ) ,( A, C4 ) ,( B, C1 ) ,( B, C2 ) ,( B, C3 ) ,( B, C4 ) ,(C1 , C2 ) ,

(C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) ,共有 15 种.???????????9 分
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: ( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) ,共有 8 种. ?????????????????????11 分 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 18. (本小题满分 14 分) (1)证明:在正 ?AMB 中, D 是 AB 的中点,所以 MD ? AB .??????????????1 分 因为 M 是 PB 的中点, D 是 AB 的中点,所以 MD // PA ,故 PA ? AB .????????2 分 又 PA ? AC , AB ? AC ? A , AB, AC ? 平面 ABC , 所以 PA ? 平面 ABC .?????????????4 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .?????5 分 又 PC ? BC, PA ? PC ? P, PA, PC ? 平面 PAC ,
第 6 页(共 4 页)

8 . ??????????????????????12 分 15

P

M A D B C

所以 BC ? 平面 PAC .????????????7 分 (2)解法 1:设点 B 到平面 DCM 的距离为 h ,???8 分 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .????????????????????9 分 因为 BC ? 4, BC ? AC ,所以 AC ? 3 . 所以 S?BCD ? 因为 MD ?

1 1 1 1 1 S?ABC ? ? ? BC ? AC ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .?????????????10 分 2 2 2 2 2
5 3 ?5? 52 ? ? ? ? , 2 ?2?
2

由(1)知 MD // PA ,所以 MD ? DC . 在 ?ABC 中, CD ? 所以 S ?MCD ?

1 5 AB ? , 2 2

1 1 5 3 5 25 3 ? MD ? CD ? ? ? ? .????????????????11 分 2 2 2 2 8

因为 VM ? BCD ? VB ? MCD ,?????????????????????????????12 分 所以

1 1 S ?BCD ? MD ? S ?MCD ? h , 3 3
5 3 1 25 3 ? ? ? h .??????????????????????????13 分 2 3 8

即 ? 3? 所以 h ?

1 3

12 . 5

12 .????????????????????????14 分 5 解法 2:过点 B 作直线 CD 的垂线,交 CD 的延长线于点 H ,????????????????8 分 由(1)知, PA ? 平面 ABC , MD // PA , P 所以 MD ? 平面 ABC . 因为 BH ? 平面 ABC ,所以 MD ? BH . 因为 CD ? MD ? D ,所以 BH ? 平面 DCM . M 所以 BH 为点 B 到平面 DCM 的距离.??????9 分
故点 B 到平面 DCM 的距离为 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .??10 分 因为 D 为 AB 的中点,所以 CD ? BD ? A D H B E C

5 . 2

以下给出两种求 BH 的方法: 方法 1:在△ BCD 中,过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E , 则 DE ?

1 3 AC ? .???????????????????????????????11 分 2 2
第 7 页(共 4 页)

1 1 ? CD ? BH ? ? BC ? DE ,????????????????????????12 分 2 2 3 4? BC ? DE 2 ? 12 . 所以 BH ? ? 5 CD 5 2
因为 方法 2:在 Rt △ BHD 中, BH 2 ? DH 2 ? BD 2 ? 在 Rt △ BHC 中,因为 BC ? 4 , 所以 BH ? CH ? BC ,
2 2 2

25 . 4

①??????????11 分

5? ? ? 16 . 2? 12 由①,②解得 BH ? . 5
即 BH ? ? DH ?
2

? ?

2

②?????????????12 分

故点 B 到平面 DCM 的距离为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a1 ?

12 .????????????????????????14 分 5

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn 1 ? 2n , n ?N* , 2 2 2?



所以当 n ? 1时, a1 ? 2 .?????????????????????????????1 分 当 n ? 2 时, a1 ? ①-②得,

an ? a2 a3 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ? 1? , 2 2 2 2

② ?????????????2 分

an ? 2 .???????????????????????????????4 分 2n ?1

所以 an ? 2 .??????????????????????????????????5 分
n

因为 a1 ? 2 ,适合上式, 所以 an ? 2
n

? n ? N ? .??????????????????????????????6 分
*

(2)由(1)得 an ? 2 .
n

所以 bn ?

an 2n ? n ???????????????????8 分 ? an ? 1?? an?1 ? 1? ? 2 ? 1?? 2n?1 ? 1?

?

1 1 ? n?1 .????????????????????????????10 分 2 ?1 2 ?1
n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

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1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? ????????????12 分 ? 3 ? ? 3 7 ? ? 7 15 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?

? 1?

1 2
n?1

?1

.??????????????????????????????14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:由 PD ? 2MD 知点 M 为线段 PD 的中点.?????????????????1 分 设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,则点 P 的坐标是 ? x, 2 y ? .?????????????????2 分 因为点 P 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2
2 所以 x ? ? 2 y ? ? 4 .???????????????????????????????3 分 2

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4

解法 2:设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ? x 0 , y 0 ? , 由 PD ? 2MD 得, x0 ? x , y 0 ? 2 y .???????????????????????1 分
2 2 因为点 P ? x 0 , y 0 ? 在圆 x ? y ? 4 上, 所以 x0 ? y 0 ? 4 .
2 2

①?????????2 分

把 x0 ? x , y 0 ? 2 y 代入方程①,得 x ? 4 y ? 4 .?????????????????3 分
2 2

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4

(2)解:因为 EA ? EB ,所以 EA ? EB ? 0 .??????????????????????5 分 所以 EA ? BA ? EA ? EA ? EB ? EA .???????????????????????7 分

?

?

2

x12 x12 2 2 ? y1 ? 1 ,即 y1 ? 1 ? 设点 A ? x1 , y1 ? ,则 .??????????????????8 分 4 4
所以 EA ? BA ? EA ? ? x1 ? 1? ? y1 ? x1 ? 2 x1 ? 1 ? 1 ?
2 2 2
2

??? ??? ? ?

??? 2 ?

x12 4

3 3? 4? 2 ? x12 ? 2 x1 ? 2 ? ? x1 ? ? ? .???????????????????????10 分 4 4? 3? 3
第 9 页(共 4 页)

因为点 A ? x1 , y1 ? 在曲线 C 上,所以 ?2 ? x1 ? 2 .??????????????????11 分

2 3? 4? 2 所以 ? ? x1 ? ? ? ? 9 .??????????????????????????13 分 3 4? 3? 3
所以 EA ? BA 的取值范围为 ? ,? .????????????????????????14 分 9

2

?2 ? ?3 ?

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x ,
2

所以函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) .????????????????????????1 分

1 ? 2ax ? (a ? 2) .???????????????????????????2 分 x 因为 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 所以 f ? ?1? ? 1 ? 2a ? ? a ? 2 ? ? 0 .
且 f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) , ? 2x ? 3 ? x x 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 所以 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. 故 a ? ?1 .???????????????????????????????????4 分 2 (2)因为 a ? a , 所以 0 ? a ? 1. ??????????????????????????????????5 分 (2 x ? 1)(ax ? 1) 由(1)知 f ?( x) ? ? . x 因为 x ? (0, ??) ,所以 ax ? 1 ? 0 . 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 ? 1? ?1 ? 所以函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增;在 ? , ?? ? 上单调递减.????????????7 分 ? 2? ?2 ? 1 2 ①当 0 ? a ? 时, f ( x) 在 [a , a] 上单调递增, 2 3 2 所以 ? f ( x) ?max ? f (a) ? ln a ? a ? a ? 2a . ?????????????????????9 分
当 a ? ?1 时, f ?( x) ?

解得 a ? ?1 .??????????????????????????????????3 分

1 ? a? , ? 1 2 ? ? 2 1? ?1 ? 2 ②当 ? 即 ?a? 时, f ( x) 在 ? a , ? 上单调递增,在 ? , a ? 上单调递减, 2 2? ? ?2 ? ?a 2 ? 1 . 2 ? ? 2 a a?2 a ?1? ? ? 1 ? ln 2 .??????????????11 分 所以 ? f ( x) ?max ? f ? ? ? ? ln 2 ? ? 4 2 4 ?2? 2 1 2 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上单调递减, ③当 ? a ,即 2 2
第 10 页(共 4 页)

所以 ? f ( x) ?max ? f (a ) ? 2 ln a ? a ? a ? 2a . ???????????????????13 分
2 5 3 2

综上所述:

1 2 3 2 时,函数 f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2 1 2 a 2 当 ?a? 时,函数 f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 2 2 4 2 ? a ? 1时,函数 f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 .???????14 分 当 2
当0 ? a ?

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