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江苏省洪泽中学2011届高三数学期末检测


江苏省洪泽中学 2011 届高三数学期末检测
高三数学备课组

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 90 分。 ) 2 ?1 x ?1 2 1.已知 M ? {x | lg x ? 0}, N ? {x | 2 ? 2 ? 2 , x ? Z} ,则 M N =
2. ( sin ? ? ) ? (cos? ? )i 是纯

虚数,则 tan ? ?



.

3 5

4 5



. .

3.若双曲线经过点 (3, 2) ,渐近线方程是 y ? ? x ,则这条双曲线的方程是 ▲ 4.函数 y ? tan ? x? ? 的部分图像如图所示,则 OA ? OB ? AB ? 4 2 5.下右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是 ▲

?

?

1 3

?

?

▲ .

.

y
y

1

B B A x
F1 O

P Q F2 x

O

第4题

第9题

6.一个学校高三年级共有学生 200 人,其中男生有 120 人,女生有 80 人,为了调查高 三复习状况,用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取女 生的人数 ▲ 人。
?x ? y ? 3 x y ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ? (a>0,b>0)的最大值 a b ?2 x ? y ? 3 ?

为 10,则 5a+4b 的最小值为 ▲ . 8.连续两次掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正 方体玩具) ,记出现向上的点数分别为 m , n ,设向量 a ? ? m , n ? , b ? ? 3 , ? 3? ,则 a 与

b 的夹角为锐角的概率是





x2 y 2 9. 如上图, 已知 F1 , F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆 C a b
上,线段 PF2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离 心率为 ▲ .

10.已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 ,若对任意 x ? [1 , 2] 及 y ?[2 ,3] 该不等式恒成立,则实 数 a 的取值范围是 ▲ 。

11.设 y ? f ( x) 定义域 R,对于给的正数 k,定义函数 f k ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? log2 x ,当 k ?

? f ( x) ?k

f ( x) ? k f ( x) ? k
▲ 。

1 时,函数 fk ( x) 的单调递增区间为 2

12.已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线 x ? ?1 上.试猜测如果 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 上,且满足 25 9

| AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线



上.

13.记数列 {an } 是首项 a1 ? a ,公差为 2 的等差数列;数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1) an , 若对任意 n ? N 都有 bn ? b5 成立,则实数 a 的取值范围为
*



14.设 a1 , a2 ,?, a50 是从 ? 1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 9 ,且

(a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? ? ? (a50 ? 1) 2 ? 107 ,则 a1 , a2 ,?, a50 中数字 0 的个为
二.解答题

▲ .

15. (本小题满分 14 分) x x x 已知向量 m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos ,cos2 ) . 4 4 4 2? (1)若 m ? n ? 1 ,求 cos( ? x) 的值; 3 ( 2 )记 f ( x) ? m ? n ,在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a,b,c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC ,求函数 f(A)的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 直 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , ∠ BAD = ∠ ADC = 90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

17.如图所示,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路为边界 的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径 OM ? R , ?MOP ? 45 , OB 与 OM 之间的夹角为 ? . (1)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 ? 的函数. (2)若 R ? 45m ,求当 ? 为何值时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值? 2 其最大值是多少?(精确到 0.01m ) Q C
M D F

B

O

A

P

18. (本题满分 15 分)

x2 y2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的左、右两个顶点分别为 2 a b
A,B,AB=4,直线 x ? t (?2 ? t ? 2) 与椭圆相交于 M,N 两点,经过三点 A,M,N 的圆 与经过三点 B,M,N 的圆分别记为圆 C1 与圆 C2. (1)求椭圆的方程; (2)求证:无论 t 如何变化,圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值; (3)当 t 变化时,求圆 C1 与圆 C2 的面积的和 S 的最小值. A O N B x y l:x=t M

19. (本题满分 16 分)

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设数列 {an } 的通项是关于 x 的不等式 x 2 ? x ? (2n ? 1) x 数。 (1)求 an 并且证明 {an } 是等差数列; (2)设 m、k、p∈N*,m+p=2k,求证:

的解集中整数的个

2 1 1 + ≥ ; Sm Sk Sp

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立, 请证明你的结论,如果不成立,请说明理由. 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ? x , g ( x) ? ? x ? ln x , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,其中 ? ? R , 且 ? ? 0 .⑴当 ? ? ?1 时,求函数 g ( x) 的最大值; ⑵求函数 h( x) 的单调区间; ⑶设函数 ? ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 若对任意给定的非零实数 x ,存在非零实 ? g ( x), x ? 0.

数t (t ? x) ,使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,求实数 ? 的取值范围.

江苏省洪泽中学 2011 届高三数学期末检测答案
1. ??1?

3 2. ? 4

x2 3 ? 1 4.6 5. 3. y ? 4 9
2

6.10 7. 8 8.

5 12

9.

5 3

10. a ? ?1 11. 0, 2 12. x ? ?

?

?

x x x x ? 1 15.解: (1) m ? n ? 3sin ? cos ? cos2 ? sin( ? ) ? 4 4 4 2 6 2 x ? 1 ∵ m?n ?1 ∴ sin( ? ) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 6 2 1 ? x ? 1 2? ? 1 ┉┉┉7 分 cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 2 3 2 6 2 3 3 2 (2)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8 分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C) ∵ A? B?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ? 0 , 1 ? 2? ∴ cos B ? , B ? ∴0? A? ┉┉┉┉┉┉11 分 2 3 3 ? A ? ? A ? 1 ∴ ? ? ? ,sin( ? ) ? ( ,1) ┉┉┉┉┉┉12 分 6 2 6 2 2 6 2 x ? 1 A ? 1 又∵ f ( x) ? sin( ? ) ? ,∴ f ( A) ? sin( ? ) ? ┉┉┉┉┉┉13 分 2 6 2 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是 (1, ) . ┉┉┉┉┉┉14 分 2

25 4

13. [-22,-18]

14. 11

16. 证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥平面 ABCD,? BB1⊥AC. …2 分 又 ∠BAD=∠ADC=90°, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , …………………4 分
[

∴ AC ? 2 ,∠CAB=45°,∴ BC ? 2 ,? BC⊥AC. 又 BB1

BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,? AC⊥平面 BB1C1C.

……7 分

(Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. ………………………………………………8 分 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖AB,且 PB1= 又∵DC‖AB,DC=
1 AB. ……………………10 分 2

1 AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1, 2

∴DC B1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP. 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖面 ACB1. ……………………12 分 同理,DP‖面 BCB1. …………………………………………………………14 分

17.【解】 (Ⅰ)由题意可知,点 M 为 PQ 的中点,所以 OM ? AD . 设 OM 于 BC 的交点为 F,则 BC ? 2R sin ? , OF ? R cos ? .

AB ? OF ?

1 AD ? R cos ? ? R sin ? . 2

所以 S ? AB ? BC ? 2R sin ? ( R cos ? ? R sin ? ) ? R2 (2sin ? cos? ? 2sin 2 ? )

? ? ? R2 (sin 2? ?1 ? cos 2? ) ? 2 R 2 sin(2? ? ) ? R 2 , ? ? (0, ) . 4 4 ? ? ? 3? ). (Ⅱ)因为 ? ? (0, ) ,则 2? ? ? ( , 4 4 4 4 ? ? ? 所以当 2? ? ? ,即 ? ? 时,S 有最大值. 4 2 8

Smax ? ( 2 ?1) R2 ? ( 2 ?1) ? 452 ? 0.414 ? 2025 ? 838.35 .
故当 ? ?

?
8

时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 838.35m .

2

18.解: (1)由题意:

c 3 ? ,2a ? 4 可得: a ? 2, c ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1, a 2
………………………3 分

x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆方程为: 4

4 ?t2 4 ?t2 (2) 易得 A 的坐标(-2, 0), B 的坐标(2,0), M 的坐标 (t , N 的坐标 (t ,? ), ), 2 2
线段 AM 的中点 P (

t ? 2 4 ?t2 , ), 2 4
4 ?t2 1 2?t 2 ? t?2 2 2 ? t ………………………………………5 分

直线 AM 的斜率

k1 ?

又 PC1 ? AM , ? 直线 PC1 的斜率

k 2 ? ?2

2?t 2?t

? 直线 PC 的方程
1

y ? ?2

2?t t ?2 4 ?t2 (x ? )? 2?t 2 4 ,

3t ? 6 ,0 ) ? C1 的坐标为 8 ( C1 C 2 ?

3t ? 6 ,0 ) 8 同理 C 2 的坐标为 ………………………… 8 分 (

?

3 2 ,即无论 t 如何变化,为圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值.…………… 11 分

(2)圆 C1 的半径为
2

AC1 ?

3t ? 10 10 ? 3t BC 2 ? 8 ,圆 C 2 的半径为 8 ,
2



S ? ? AC1 ? ? BC 2

?

?
32

(9t 2 ? 100 )

( ? 2 <t < 2 )

显然 t ? 0 时, S 最小,
2

S min ?

25? 8 .

…………… 15 分

19.解: (1)不等式 x ? x ? (2n ? 1) x 即 x( x ? 2n) ? 0 解得: 0 ? x ? 2n ,其中整数有 2n-1 个 …………………3 分 ? an ? 2n ? 1 由通项公式可得: an ? an?1 ? 2 ,所以数列 {an } 是等差数列…………………4 分
n(1 ? 2n ? 1) 2 2 2 ? n 2 ,∴ Sm=m ,Sp=p ,Sk=k . 2 1 1 2 1 1 2 k 2 ( m 2 ? p 2 ) ? 2m 2 p 2 ? ? ? 2? 2? 2 ? 由 Sm S p Sk m p k m2 p 2k 2

(2)由(1)知 S n ?

w

≥ 即

2mp ? mp ? 2m 2 p 2 =0, m2 p 2k 2

2 1 1 ? ≥ . ………………………………………………………………10 分 Sk Sm S p

(3)结论成立,证明如下: 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn ? na1 ? ∵ Sm ? S p ? 2Sk ? ma1 ?

把 m ? p ? 2k 代入上式化简得

m(m ?1) p( p ?1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ?1)d ] 2 2 m 2 ? p 2 ? (m ? p) ? (m ? p)a1 ? d ? [2ka1 ? (k 2 ? k )d ] , 2
m? p 2 ) (m ? p) 2 d 2 ?d ? ≥0, 4

n(a1 ? an ) n(n ? 1) , d? 2 2

Sm ? S p ? 2Sk =
∴ Sm+Sp≥2Sk.

m2 ? p 2 ? 2 ? ( 2

又 Sm ? S p ?

mp (a1 ? am )( a1 ? a p ) 4

=

mp[a12 ? a1 (am ? a p ) ? am ? a p ] 4

am ? a p 2 m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1 ? ak ? ( ) ] 2 2 ≤ 4 (
?
2 2 k 2 (a1 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? a k ) 2 S ? ? ( k )2 , 4 4 2

2S k 2 1 1 Sm ? S p ≥ . ? ? ? S Sm S p Sm S p ( k )2 Sk 2 故原不等式得证.………………………………………………………………16 分
∴ 20.解:⑴当 ? ? ?1 时, g ( x) ? ln x ? x,( x ? 0) ∴ g ?( x) ?

1 1? x ?1 ? , ( x ? 0) x x

令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 , ∴ g ( x) ? ln x ? x 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, +?) 上单调递减 ∴ g ( x)max ? g (1) ? ?1
2

----------------------------4 分

1 2? x 2 ? 2? x ? 1 ⑵ h( x) ? ? x ? 2? x ? ln x , h '( x) ? 2? x ? 2? ? ? , (x ? 0) x x
∴当 ? ? 0 时, h '( x) ? 0 ,∴函数 h( x) 的增区间为 (0, ??) ,
2? ( x ? ?? ? ? 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 2? )( x ? ) 2? 2? , x

当 ? ? 0 时, h '( x) ? 当x?

? ? ? ? 2 ? 2? 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x) 是减函数; 2? ? ? ? ? 2 ? 2? 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x) 是增函数。 2?

当0 ? x ? 综上得,

当 ? ? 0 时, h( x) 的增区间为 (0, ??) ; 当 ? ? 0 时,h( x) 的增区间为 (0, 分
? ? ? ? 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 2? ), , ??) ----------10 减区间为 ( 2? 2?

1 在 (0, ??) 上是减函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 A ? (? , ??) ; x 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 2? x ? ? , 若 ? ? 0 时, ? '( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 B ? (??, ? ) ;
⑶当 x ? 0 , ? '( x) ? ? ?

若 ? ? 0 时, ? '( x ) 在 (??, 0) 上是减函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 B ? (? , ??) 。 对任意给定的非零实数 x , ①当 x ? 0 时,∵ ? '( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,则在 (0, ??) 上不存在实数 t ( t ? x ) , 使得 ? '(x ) ? ? '( ,则 t ? ( ??, 0),要在 (?? , 0)上存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 t )

? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 A ? B ,∴ ? ? 0 ;
②当 x ? 0 时,? '( x) ? 2? x ? ? 在 (??, 0) 时是单调函数, 则 t ? (0, ??) , 要在 (0, ??) 上 存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 B ? A ,∴ ? ? 0 。 综上得,实数 ? 的取值范围为 (??, 0) 。 -------------------16 分


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