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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三第一次高考模拟考试理科数学试卷


广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高三第一次高考 模拟考试理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知 ?1 ? bi ? ? 2i ( b ? R , i 是虚数单位) ,则 b ? (
2

) D.1 或 2 ) D.?2

>
A.2

B.1

C.?1

2、已知向量 a ? ? x,2? , b ? ?1,1? ,若 a ? b ? b ,则 x ? ( A.2 B.4 C.?4

?

?

1 3、已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且公比 q ? 1 ,若 a2 、 a3 、 a1 成等差数 2

列,则公比 q ? (
1? 3 1? 3 A. 或 2 2


1? 3 B. 2 1? 5 1? 5 C. 或 2 2 1? 5 D. 2

4、设 p : x ? x y ? lg ? x ? 1? , q : x ? x 2? x ? 1 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?



5、抛物线 8 y ? x2 ? 0 的焦点 F 到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离是( A.
5 2 2

) D.
3 2 2

B. 2

C.

2 2

6、若 f ? x ? 是奇函数,且 x0 是 y ? f ? x ? ? ex 的一个零点,则 ? x0 一定是下列哪个 函数的零点( ) B. y ? f ? x ? e? x ? 1 D. y ? e x f ? x ? ? 1

A. y ? f ? ? x ? e x ? 1 C. y ? ex f ? x ? ?1

7、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为( A. ? ) B. 2? C.
8? 3

D.

10? 3

8、由正整点坐标(横坐标和纵坐标都是正整数)表示的一组平面向量 ai ( i ? 1 ,

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2 ,3 ,??? , n ,??? ) ,按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表.规

则是:对于 ?n ? ?? ,第 n 行共有 2n ? 1 个向量,若第 n 行第 k 个向量为 am ,则
? ?? k , n ?? 0 ? k ? n ? ,例如 a1 ? ?1,1? , a2 ? ?1, 2 ? , am ? ? ? ?? n, 2n ? k ?? n ? k ? 2n ? 1?

a3 ? ? 2, 2 ? , a4 ? ? 2,1? , ??? ,依次类推,则 a2015 ? (
A.? 44,11? B.? 44,10?

) D.? 45,10?

C.? 45,11?

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 1 9、 2 lg 5 ? lg ? . 4 10、不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 3 的解集是 .

11、某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x , y ,10 ,11 ,9 .已 知这组数据的平均值为 10 ,方差为 2 ,则 x ? y 的值为 12、展开 ? a ? b ? c ? ,合并同类项后,含 ab 2 c 3 项的系数是
6

. .

?x ? y ? 2 ? 0 ?3x ? y ? 2 ? 0 ? b ? 0) 13、 已知实数 x ,y 满足条件 ? , 若目标函数 z ? ax ? by( a ? 0 , x ? 0 ? ? ?y ? 0
的最大值为 6 ,则 ab 的最大值是 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个 圆的圆心距为 .

15、 (几何证明选讲选做题)如图,从圆 ? 外一点 ? 作圆
? 的割线 ??? 、 ?CD . ?? 是圆 ? 的直径,若 ?? ? 4 ,

?C ? 5 , CD ? 3 ,则 ?C?D ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. ) ? 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? sin ??x ? ? ?( ? ? 0 ,? ? 0 ,? ? ) 2 的部分图象如图所示.

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?1? 求函数 f ? x ? 的解析式;
? 2? 若 f ? ?
?
?2 ?

??

?? ? ?? ? ? ? 1 , ? ? ? 0, ? ,求 cos ? ? ? ? . 6? 4? ? 2? ?

17、 (本小题满分 12 分)某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单 位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学路上所需 时间的范围是 ?0,100? ,样本数据分组为 ?0, 20? , ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? ,

?80,100? . ?1? 求直方图中 x 的值; 请估计学校 ? 2 ? 如果上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生可申请在学校住宿,
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1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿; ? 3? 现有 6 名上学路上时间小于 40 分钟的新生,其中 2 人上学路上时间小于 20 分

钟.从这 6 人中任选 2 人,设这 2 人中上学路上时间小于 20 分钟人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18、 (本小题满分 14 分) 如图, 直角梯形 ?? CD 中,?? //CD ,?? ? ?C ,?? ? 1 , ?C ? 2 , CD ? 1 ? 2 ,过 ? 作 ?? ? CD ,垂足为 ? . F 、 G 分别是 C ? 、 ?D 的 中点.现将 ??D? 沿 ?? 折起,使二面角 D ? ?? ? C 的平面角为 135 . ?1? 求证:平面 DC? ? 平面 ??C? ;

? 2 ? 求直线 FG 与平面 DC? 所成角的正弦值.

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19、 (本小题满分 14 分)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2 ( n ? ?? ) . ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;

? 2 ? 在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列,
求证:
1 1 1 15 . ? ? ??? ? ? ( n ? ?? ) d1 d 2 d n 16

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20、 (本小题满分 14 分)如图所示,已知 ? 、 ? 、 C 是长轴长为 4 的椭圆 ? 上的 三点, 点 ? 是长轴的一个端点,? C 过椭圆的中心 ? ,?C ??C ? 0 , ?C ? 2 ?C .

?1? 求椭圆 ? 的方程; 2 2 ? 2 ? 在椭圆 ? 上是否存在点 Q ,使得 Q? ? Q? ? 2 ?若存在,有几个(不必求
出 Q 点的坐标) ,若不存在,请说明理由;
4 的两条切线,切点分 3 1 1 别为 ? 、 ? ,若直线 ?? 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、 n ,证明: 2 ? 2 3m n 为定值.

? 3? 过椭圆 ? 上异于其顶点的任一点 ? ,作

? : x2 ? y 2 ?

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1? ? 21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? ? ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 . a? ? ?1? 讨论 f ? x ? 的单调性;

? 2 ? 若不等式 f ? x ? ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; ? 3? 若方程 f ? x? ? 0 存在两个异号实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 0 .

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参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、 2 10、 ??2,1? 11、 4 12、 60 13、
9 8

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) 14、
2 2

15、 30

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. ) 16、解: ?1? 由图象知 A ? 2
f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? (
5? ? 2? ? ) ? ? ,故 ? ? ?2 12 6 T

……3 分

? ? ? 将点 ( , 2) 代入 f ( x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? , 6 3 2 ? ? ? ? ,故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ……………6 分 ∴ 6 6 ? ? 2 ? f ( x) ? 2sin(2 x ? 6 ) ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? f ? ? ? ? 2sin ? 2( ? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ? 1 ……8 分 6? 2? ?2 6? ? 2 6 ?
1 3 ? ?? ? cos ? ? 又? ? ? 0, ? 所以sin ? ? 2 2 ? 2?
…………10 分

?? ? ? 6? 2 ? …………12 分 ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? 4? 4 4 4 ?
17、解: ?1? 由直方图可得: 20 ? x ? 0.0125 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 所以 x = 0.025 .……………………………2 分

? 2 ? 新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为:0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ……………4
分 因为 1000 ? 0.12 ? 120 所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿………………6 分

? 3? X 的可能取值为 0,1,2.
P( X ? 0) ?
分 所以 X 的分布列为:

…………………………………7 分

0 2 1 1 2 0 C2 ? C4 C2 ? C4 C2 ? C4 2 8 1 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? …… 10 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

X P


0 2 5

1 8 15

2 1 15 … … … … … … … … … 11

2 8 1 2 EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ………………………………12 分 5 15 15 3 18、 ?1? 证明: DE ? AE,CE ? AE, DE CE ? E,DE, CE ? 平面CDE
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?

AE ? 平面 CDE ……3 分 AE ? 平面 ABCE

? 平面 DCE ? 平面 ABCE ……5 分
? 2 ? (方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系……6 分
DE ? AE,CE ? AE

? ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC =1350 ……7 分
AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1 ? 2 ,

,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0,0) ,D(0, ?1 ,1) ?A(2,0,0) ……9 分
F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点

1 1 1 ?F (0, , 0) (1, ? , ) ……10 分 ,G 2 2 2
1 ? FG =(1, ? 1, ), AE = (?2, 0, 0) ……11 分 2

由 ?1? 知 AE 是平面 DCE 的法向量……12 分
(0 ? ? ? 设直线 FG 与平面 DCE 所成角 ?

?
2

) ,则 sin ? ?|

FG ? AE ?2 2 |?| |? | FG | ? | AE | 3 ? 2 3 2

故求直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为

2 ……14 分(列式 1 分,计算 1 分) 3

(方法二)作 GH // AE ,与 DE 相交于 H ,连接 FH ……6 分 由 ?1? 知 AE ? 平面 CDE 所以 GH ? 平面 CDE , ?GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所成角……7 分
G 是 AD 的中点, GH 是 ?ADE 的中位线, GH ? 1 , EH ?

2 ……8 分 2

因为 DE ? AE,CE ? AE 所以 ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 1350 …9 分 在 ?EFH 中,由余弦定理得, FH 2 ? EF 2 ? EH 2 ? 2 ? EF ? EH ? cos?FEH

?

1 1 1 2 2 5 5 ? ? 2? ? ? (? ) ? (或 FH ? )……11 分(列式 1 分,计算 1 分) 4 2 2 2 2 4 2

GH ? 平面 CDE
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所以 GH ? FH 在 Rt ?GFH 中, GF ? GH 2 ? FH 2 ?
3 ……13 分 2 GH 2 ? ……14 分 GF 3

所以直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为 sin ?GFH ?

19、 ?1? 解:设等比数列 {a n } 的首项为 a1 ,公比为 q ,………………1 分

? a n?1 ? 2Sn ? 2 , a n ? 2Sn?1 ? 2 ( n ? 2 )………………2 分 ? a n?1 ? a n ? 2(Sn ? Sn?1 ) = 2a n a 即 n ?1 ? 3 ( n ? 2 )………3 分 an 当 n ? 1 ,得 a 2 ? 2a1 ? 2 ,即 3a1 ? 2a1 ? 2 ,解得: a1 ? 2 ……………4 分 a n ? a1 ? q n?1 ? 2 ? 3n?1 ………5 分
即 an ? 2 ? 3n?1 .………6 分
4 ? 3n ?1 1 n ?1 , ? ………8 分 n ?1 dn 4 ? 3n?1 n ?1 1 1 1 1 2 3 4 ? ( 0 ? ? 2 ? ? ? ? n?1 ) ………9 分 ? ? ? ??? ? 3 d1 d 2 dn 4 3 3 3 2 3 4 n ?1 1 2 3 4 n ?1 设 Tn ? 0 ? ? 2 ? ? ? ? n ?1 ① 则 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ②………10 分 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? 2+ ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] n ?1 3 =2 + 3 ? n =………12 分 1 3 1? 3 15 3 1 n ? 1 15 ? n ) ? ………13 分 ? Tn ? ? ( n ?1 4 2 2?3 3 4 1 1 1 1 15 15 ? ? ??? ? ? ? ? d1 d 2 d n 4 4 16 ………14 分

? 2 ? 证明: an?1 ? an ? (n ? 1)dn ,则 d n ?

20、 ?1? 解:依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0), 设椭圆 E 的方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 -----------------------2 分 4 b

由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,---------------------4 分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ?
4 3

第 11 页 共 14 页

∴所求的椭圆 E 的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 4 4

? 2 ? 解:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则 2 2 2 | QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,--------①-------------------------------------------------7 分
2 2 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,-----------------② 2 由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0 ? 9x0 ? 2 ? 0 ,-----③

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个---------9 分

? 3? 证明:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是

O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP ,

∴O、M、P、N 四点在同一圆上,-------------------------------------10 分
x1 y1 x1 2 y1 2 x12 ? y12 且圆的直径为 OP,则圆心为 ( , ) , 其方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ---11 2 2 2 2 4

分 即 x2 ? y 2 ? x1x ? y1 y ? 0 -----④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在 O 上, ∴M、N 坐标也满足方程 O : x 2 ? y 2 ? ⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(
4 ----------⑤ 3

4 ----12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? --------13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.-----------------------------------14 分 3m 3n 3m n 4 1 ,?? ) . a

21、 ?1? 解: f ( x ) 的定义域为 ( ?
'

a2 x - a= 其导数 f ( x) = …………………………………………………2 1 ax + 1 x+ a 1


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1 ①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ,?? ) 上是增函数; a 1 ②当 a ? 0 时,在区间 (- , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a 1 所以, f ( x) 在 (- , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………………………… a

4分

? 2 ? 解:当 a ? 0 时,

则 x 取适当的数能使 f ( x) ? ax ,比如取 x ? e ?

1 , a

1 1 1 能使 f (e ? ) ? 1 ? a(e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a(e ? ) , 所以 a ? 0 不合题意… 6 a a a


1 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) a

问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

? 1 x? a 1 1 1 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . …………8 分 ? 在区间 (- , 2a a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h(? ) ,所以只需 h(? ) ? 0 2a 2a 1 1 1 1 e ? ?1 ,? a ? ……………………………10 即 2a ? (? ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln 2a 2a a 2a 2


由于 h' ( x) ? 2a ?

1

2a ( x ?

1 ) 2a 1 x? a

? 3? 证明:由于 f ( x ) ? 0 存在两个异号根 x1, x2 ,不妨设 x1 ? 0 ,因为 ? a ? x1 ? 0 ,
所以 a ? 0 ……………………………………………………………………………… 11 分 构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ?
1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a 1 ? x?0) a

1

g ' ( x) ?

1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 2 x ? 2 a
? 1 ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a

1 所以函数 g ( x) 在区间 (? , 0) 上为减函数. a

第 13 页 共 14 页

于是 f (- x1 ) - f ( x1 ) > 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) , 由 f ( x) 在 (0, ??) 上为 减函数可知 x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ……………………………………………14 分

第 14 页 共 14 页


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